Exercícios: Operações com complexos na forma polar

Dados os números complexos $z_1 = 4_{30^\circ}$ e $z_2 = 3_{60^\circ}$, calcule o produto $z_1 \cdot z_2$ expressando o resultado na forma polar.

Calcule o quociente $\frac{12_{150^\circ}}{3_{45^\circ}}$ e expresse o resultado na forma polar.

Utilizando a fórmula de De Moivre, calcule a potência $(2_{40^\circ})^3$ e expresse o resultado na forma polar.

Encontre o inverso do número complexo $z = 5_{120^\circ}$, expressando o resultado final na forma polar.

Um navio navega na direção e distância indicadas pelo vetor associado ao número complexo $z = 10_{30^\circ}$. Por motivos climáticos, o capitão decide realizar uma rotação de $90^\circ$ no sentido anti-horário mantendo a mesma distância. Por qual número complexo na forma polar você deve multiplicar $z$ para obter a nova trajetória, e qual é a posição final?

Calcule as duas raízes quadradas do número complexo $16_{120^\circ}$ e expresse os resultados na forma polar.

Efetue a seguinte operação combinada e expresse o resultado na forma polar:

Dado o número complexo $z = 3_{50^\circ}$, expresse o seu conjugado $\bar{z}$ e o seu oposto $-z$ na forma polar.

A Carmen está resolvendo um exercício de potências de números complexos na forma polar e escreve em seu caderno o seguinte desenvolvimento: $(2_{30^\circ})^5 = (2 \cdot 5)_{30^\circ \cdot 5} = 10_{150^\circ}$.

1. a) Localize e explique de forma fundamentada o erro conceitual cometido pela Carmen ao calcular o módulo. Justifique geometricamente por que, na fórmula de De Moivre, o módulo é elevado à potência e não multiplicado pelo expoente.
2. b) Corrija o cálculo escrevendo o resultado correto na forma polar.
3. c) Passe o resultado correto para a forma algébrica e indique em que quadrante do plano complexo se situa o seu afixo.

Dados os números complexos $z_1 = 4_{45^\circ}$ e $z_2 = 2_{120^\circ}$:

1. a) Antes de calcular, faça uma estimativa fundamentada: em que quadrante do plano complexo se encontrará o produto $z_1 \cdot z_2$? A sua distância à origem será maior ou menor do que a de $z_1$? Raciocine de forma semelhante para o quociente $\dfrac{z_1}{z_2}$.
2. b) Verifique as suas estimativas calculando de forma exata o produto $z_1 \cdot z_2$ e o quociente $\dfrac{z_1}{z_2}$ na forma polar, reduzindo os argumentos ao intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$.
3. c) A partir do resultado do quociente, calcule o seu inverso $\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)^{-1}$ na forma polar e verifique se o seu módulo é $0,5$ e se o seu argumento coincide com o que você obteria ao calcular diretamente $\dfrac{z_2}{z_1}$.

Resolva a equação $z^4 + 81 = 0$ no conjunto dos números complexos. Expresse as soluções na forma polar e represente-as graficamente no plano complexo (eixo real horizontal e eixo imaginário vertical).

Em um circuito de corrente alternada, a impedância total $Z_T$ de dois componentes conectados em paralelo é calculada pela fórmula $\frac{1}{Z_T} = \frac{1}{Z_1} + \frac{1}{Z_2}$. Se as impedâncias dos componentes são $Z_1 = 10_{30^\circ} \ \Omega$ e $Z_2 = 10_{-30^\circ} \ \Omega$, encontre a impedância total $Z_T$ na forma polar. Dica: passe para a forma binômica para realizar a soma.

Resolva a equação $z^3 = -8i$. Passe primeiro o número $-8i$ para a forma polar antes de calcular as raízes e expresse os resultados finais tanto na forma polar quanto na forma algébrica.

Calcule o valor de $(1 - \sqrt{3}i)^5$. Para isso, transforme primeiro a base para a forma polar, aplique a fórmula de De Moivre e forneça o resultado final na forma binômica.

Determine o menor número inteiro positivo $n$ para que o resultado de $(\sqrt{3} + i)^n$ seja um número real negativo.

Um drone de exploração submarina parte da origem e se desloca em linha reta até o ponto correspondente ao afixo do número complexo $z_1 = 2_{45^\circ}$ (em quilômetros). Em seguida, o centro de controle envia a ele uma instrução que equivale a multiplicar a sua posição atual pelo complexo $z_2 = 3_{90^\circ}$. Calcule as coordenadas polares da sua posição final e explique que transformação geométrica ele sofreu em relação ao seu vetor de posição inicial.

Encontre a área do triângulo cujos vértices são os afixos das raízes cúbicas do número complexo $z = 64_{90^\circ}$.

Efetue a seguinte operação com números complexos, expressando o resultado final na forma polar:

Para calcular a potência $(-\sqrt{3} + i)^6$, dois estudantes da 1ª série do Ensino Médio propõem caminhos diferentes:

• O Mateo propõe desenvolvê-la diretamente através do binômio de Newton: $\sum_{k=0}^6 \binom{6}{k} (-\sqrt{3})^{6-k} i^k$.

• A Sofia propõe transformar a base para a forma polar, aplicar a fórmula de De Moivre e expressar o resultado final na forma algébrica.

1. a) Compare de forma fundamentada ambos os métodos, analisando o número de termos a calcular e a probabilidade de cometer erros de cálculo (sinais, potências de $i$, coeficientes binomiais).
2. b) Justifique qual é o método ideal e execute-o passo a passo para encontrar o resultado final exato na forma polar e na forma algébrica.
3. c) Se o expoente fosse $2$ em vez de $6$, o método da Sofia continuaria sendo claramente superior? Justifique a sua resposta comparando o esforço algébrico nesse caso.

Num parque eólico situado no interior da Bahia, um aerogerador tem três pás de $60\text{ m}$ de comprimento dispostas simetricamente em torno do cubo central com uma defasagem angular de $120^\circ$ entre si. Situamos a origem das coordenadas no centro do rotor e o ângulo $0^\circ$ na horizontal para a direita.

Em um instante inicial, a extremidade da pá 1 localiza-se na posição $z_1 = 60_{40^\circ}$ (em metros).

1. a) Modele a posição das extremidades das pás 2 e 3 ($z_2$ e $z_3$) na forma polar nesse instante, explicando que operação com complexos na forma polar permite passar de uma pá para a seguinte.
2. b) Uma rajada de vento constante faz o rotor girar $85^\circ$ no sentido anti-horário. Modele essa rotação por meio da multiplicação por um número complexo unitário e calcule a nova posição, na forma polar, de cada uma das três pás.
3. c) Após a rotação, determine, justificando, qual das três pás se encontra a maior altura em relação ao solo (maior coordenada vertical) e calcule essa altura em relação ao eixo do rotor utilizando a forma trigonométrica.

Um radar de tráfego aéreo detecta três aviões cujas posições formam um triângulo equilátero centrado na torre de controle (situada na origem das coordenadas). Se um dos aviões se encontra na posição descrita pelo número complexo $z_1 = 4 + 4\sqrt{3}i$ (em quilômetros), determine a posição dos outros dois aviões na forma polar e calcule a distância em linha reta que separa dois aviões quaisquer.

Utilize a fórmula de De Moivre para desenvolver a potência $(\cos \alpha + i \sin \alpha)^3$. A partir do resultado, igualando as partes reais e imaginárias, demonstre as identidades trigonométricas do ângulo triplo:

• $\cos(3\alpha) = 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha$

• $\sin(3\alpha) = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha$

Resolva a equação $(z - 2i)^4 = 16_{180^\circ}$. Expresse as quatro soluções de $z$ na forma binômica.

No projeto do software de um braço robótico, a posição final do efetuador é calculada aplicando uma rotação e uma escala à sua posição inicial $z_0 = 5_{20^\circ}$. Esta transformação equivale a multiplicar $z_0$ pela raiz cúbica do número complexo $W = 27_{150^\circ}$ que tem o argumento no primeiro quadrante. Determine a posição final do efetuador na forma polar e o ângulo total de rotação aplicado em relação à posição inicial.

Encontre dois números complexos $z_1$ e $z_2$ na forma polar sabendo que satisfazem simultaneamente as seguintes condições:

• O quociente deles $\frac{z_1}{z_2}$ é igual a $2_{150^\circ}$

• O produto deles $z_1 \cdot z_2$ é igual a $18_{90^\circ}$

Calcule a soma das seis raízes sextas da unidade ($z^6 = 1$). Justifique a sua resposta de duas maneiras distintas: algebricamente (usando a soma de uma progressão geométrica ou as propriedades das raízes) e geometricamente (interpretando os afixos como vetores).

Um sistema de criptografia gera chaves baseadas nas coordenadas dos afixos das soluções da equação $z^5 + 32 = 0$. Calcule todas as soluções na forma polar e determine o perímetro do polígono regular que elas formam.

Determine todos os números complexos $z$ expressos na forma polar que satisfazem a equação $z^3 = (\bar{z})^2$, onde $\bar{z}$ é o conjugado de $z$.

As soluções de uma equação binômia da forma $z^n = w$ ($n \in \mathbb{N}$, $n \ge 3$, $w \in \mathbb{C}$) determinam no plano complexo os vértices de um polígono regular centrado na origem de coordenadas.

Conhecem-se as seguintes três condições sobre este conjunto de soluções:

1. Uma das soluções é o número complexo $z_1 = \sqrt{3} + i$.

2. Outra das soluções encontra-se exatamente sobre o semieixo imaginário positivo (o seu argumento é $90^\circ$).

3. O polígono regular tem o menor número de lados possível ($n$) que satisfaz simultaneamente as duas condições anteriores.

1. a) Escreva $z_1$ na forma polar e deduza algebricamente o menor valor inteiro de $n$ compatível com o fato de uma das soluções ter argumento $90^\circ$.
2. b) Determine o valor exato do número complexo $w$ tanto na forma polar como na forma algébrica.
3. c) Escreva na forma polar todas as soluções da equação $z^n = w$, calculando o passo angular entre vértices consecutivos e verificando que $z_1$ e a solução sobre o semieixo imaginário fazem parte da lista.

Considere o número complexo $w = \dfrac{\sqrt{3}+i}{1-i}$.

1. a) Antes de operar analiticamente, faça uma estimativa fundamentada:

• Compare os módulos do numerador e do denominador. A partir dessa comparação, deduza se os afixos das potências sucessivas $w, w^2, w^3, \ldots, w^n$ formarão uma espiral que se afasta da origem, uma que converge para a origem ou se se manterão sobre uma circunferência fixa.

• Analise os argumentos do numerador e do denominador para estimar se é possível que exista uma potência $w^n$ (com $n \in \mathbb{N}$, $n \ge 1$) cujo resultado seja um número real estritamente positivo. Você espera que o menor $n$ com essa propriedade seja um valor pequeno ou um múltiplo notável?

1. b) Verifique as suas estimativas:

• Passe o numerador e o denominador para a forma polar e obtenha a expressão exata de $w$ na forma polar.

• Aplique a fórmula de De Moivre para determinar de forma exata o menor inteiro positivo $n$ tal que $w^n$ seja um número real positivo, estabelecendo e resolvendo a condição sobre o argumento.

1. c) Para o referido valor mínimo de $n$, calcule o valor exato de $w^n$ e do seu inverso $(w^n)^{-1}$ na forma polar e algébrica, e avalie se o módulo obtido confirma a sua conjetura inicial sobre o afastamento em relação à origem.

Desafio do tema. Elabore um relatório técnico sobre a resposta de uma instalação elétrica ligada à rede a partir de dados reais:

1. Consulte no site da REE (Red Eléctrica de España) a demanda do sistema peninsular em tempo real (em GW) e tome os dois primeiros algarismos inteiros como valor de $k$ (por exemplo, se indicar $27{,}4$ GW, $k = 27$).

2. Modele a resposta do circuito com o polinômio de potência $P(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{k}{2}x^2 + 50x$. Encontre a derivada $P'(x)$, calcule a maior das frequências críticas positivas resolvendo $P'(x) = 0$ e arredonde o seu valor para duas casas decimais, ao qual você chamará de $\omega$.

3. Defina a impedância do circuito na forma algébrica como $Z = 4 + \omega i$ (em $\Omega$) e uma corrente de consumo $I = 3 - 2i$ (em A). Opere na forma algébrica para determinar a tensão complexa $V = Z \cdot I$.

4. Passe $Z$ e $I$ para a forma polar ($r_\alpha$). Realize o produto em polar para recalcular $V$, verifique que ambos os resultados coincidem e represente no GeoGebra os três afixos vetoriais, analisando a defasagem angular entre corrente e tensão.

Entregue um relatório breve de uma página com os cálculos manuscritos e a captura de tela do GeoGebra.

Será valorizado:

• Extração rigorosa do dado da REE e resolução algébrica correta da derivada $P'(x)$.

• Domínio e equivalência nas operações complexas, tanto na forma algébrica quanto na polar.

• Construção gráfica no GeoGebra e interpretação física coerente da defasagem.