Exercícios: Operações com frações algébricas

Simplifique ao máximo a seguinte fração algébrica fatorando o numerador e o denominador:

$\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}$

Realize a seguinte multiplicação de frações algébricas e expresse o resultado em sua forma mais simples:

$\frac{2x}{x-1} \cdot \frac{x^2 - 1}{4x^2}$

Calcule a divisão das seguintes frações algébricas e simplifique o resultado obtido:

$\frac{x^2 + 2x}{x - 3} : \frac{x^2 - 4}{x^2 - 9}$

Efetue a soma das seguintes frações algébricas que têm o mesmo denominador:

$\frac{3x - 1}{x^2 + 1} + \frac{x + 5}{x^2 + 1}$

Subtraia as seguintes frações algébricas reduzindo previamente ao mesmo denominador:

$\frac{5}{x+2} - \frac{3}{x^2 - 4}$

Realize a seguinte soma de frações algébricas com denominadores de grau um:

$\frac{x}{x-2} + \frac{2}{x+3}$

Efetue as operações dentro dos parênteses e depois multiplique para simplificar o resultado final:

$\frac{x^2 - x}{x+1} \cdot \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x-1} \right)$

Efetue a seguinte operação combinada de frações algébricas e simplifique ao máximo:

$\frac{x^2+x}{x^2-1} - \frac{1}{x-1}$

A Lucía precisa simplificar em uma prova a fração algébrica $\frac{x^2 - 4x}{x^2 - 16}$. O desenvolvimento dela foi o seguinte: «Como aparece $x^2$ tanto no numerador quanto no denominador, cancelo ambos os termos e fico com $\frac{-4x}{-16}$, que, ao simplificar os sinais negativos e dividir por $4$, resulta em $\frac{x}{4}$».

1. a) Explique detalhadamente que erro conceitual a Lucía comete em relação à propriedade fundamental da simplificação de frações algébricas (cancelamento de parcelas versus cancelamento de fatores).
2. b) Escolha um valor numérico concreto para $x$ (por exemplo, $x = 5$) que sirva de contraexemplo para demonstrar que a fração original e o resultado obtido pela Lucía não têm o mesmo valor.
3. c) Faça a simplificação correta fatorando previamente por completo o numerador e o denominador.

Encontre um polinômio $P(x)$ de segundo grau que torne verdadeira a seguinte igualdade de operações com frações algébricas:

1. a) Formule a divisão como uma multiplicação pela fração inversa e deduza a expressão fatorada de $P(x)$ após simplificar os fatores comuns.
2. b) Escreva o polinômio $P(x)$ na sua forma polinomial desenvolvida ($a \cdot x^2 + b \cdot x + c$).
3. c) Indique, justificando, que valores reais de $x$ devem ser excluídos do domínio para que nenhuma das frações nem divisões intermediárias fique indefinida (denominadores nulos).

Em um circuito elétrico, dois resistores $R_1$ e $R_2$ estão conectados em paralelo. A resistência equivalente $R_{eq}$ satisfaz a relação $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$. Se o valor dos resistores é dado pelos polinômios $R_1 = x^2 - 4$ e $R_2 = x^2 + 4x + 4$, obtenha a expressão simplificada da resistência equivalente $R_{eq}$ em função de $x$.

A base de um painel solar retangular é dada pela expressão $b = \frac{x^3 - x}{x^2 + 2x + 1}$ metros, e sua altura por $h = \frac{x^2 + x}{x^2 - 2x + 1}$ metros. Calcule a área do painel solar expressando o resultado como uma única fração algébrica simplificada.

Realize as seguintes operações combinadas respeitando a ordem das operações e simplifique o resultado ao máximo:

$\left( \frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} \right) : \frac{4x}{x^2 - 1}$

A equação das lentes finas em óptica estabelece que $\frac{1}{f} = \frac{1}{s_o} + \frac{1}{s_i}$. Se a distância do objeto ao centro óptico é $s_o = \frac{x^2+x}{2}$ e a distância da imagem é $s_i = \frac{x^2-1}{3}$, determine a expressão algébrica simplificada da distância focal $f$.

Duas impressoras 3D industriais fabricam um lote de peças trabalhando em equipe. A primeira impressora leva $x$ horas para concluir o trabalho sozinha, e a segunda leva $x+3$ horas. A fração do trabalho que realizam juntas em uma hora é a soma de suas taxas de trabalho individuais. Escreva e simplifique a fração algébrica que representa essa fração do trabalho por hora.

Simplifique a seguinte fração algébrica complexa reduzindo primeiro o numerador e o denominador de forma independente:

$\frac{1 - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x}}$

Efetue a adição e a subtração das seguintes frações algébricas. Utilize o dispositivo de Briot-Ruffini e os produtos notáveis para fatorar previamente os denominadores e encontrar o mínimo múltiplo comum:

$\frac{2x}{x^3 - 3x^2 + 3x - 1} - \frac{1}{x^2 - 2x + 1} + \frac{3}{x-1}$

O custo médio de produção de um componente eletrônico é dado pela expressão $C_m(x) = \frac{x^3 + 2x^2 - 5x - 6}{x^2 - 4}$, em que $x$ é o volume de produção em milhares de unidades. Por um ajuste de subsídios, deve-se subtrair uma taxa representada pela fração $\frac{x^2-1}{x+2}$. Calcule a nova expressão do custo médio simplificando previamente a primeira fração.

Para simplificar a seguinte fração complexa:

propõem-se duas estratégias algébricas distintas:

• Método 1: Operar separadamente o numerador e o denominador globais, obtendo em cada um uma única fração irredutível com o seu respectivo mínimo múltiplo comum, e efetuar no final a divisão multiplicando pela fração inversa.

• Método 2: Multiplicar simultaneamente o numerador e o denominador principais pelo mínimo múltiplo comum global de todos os denominadores parciais presentes, eliminando todas as frações internas em um único passo.

1. a) Realize a simplificação completa aplicando ambos os métodos e verifique que você chega exatamente ao mesmo resultado irredutível.
2. b) Compare o número de passos, fatorações intermediárias e possíveis pontos de erro na gestão de sinais de cada método. Justifique qual dos dois se mostra mais eficiente neste caso.

Em uma instalação solar fotovoltaica para autoconsumo em uma propriedade rural do Mato Grosso, ligam-se em paralelo dois ramos de painéis cujas resistências internas são $R_1$ e $R_2$. A resistência equivalente $R_{eq}$ do circuito é dada pela relação física:

Devido às oscilações térmicas durante o dia, as resistências de cada ramo (em ohms) dependem da temperatura $T$ do painel (em graus Celsius, com $T > 10$) de acordo com os modelos racionais:

1. a) Escreva as expressões de $\frac{1}{R_1}$ e $\frac{1}{R_2}$ fatorando previamente os seus termos e calcule a soma $\frac{1}{R_{eq}}$ reduzindo ao mínimo múltiplo comum dos denominadores.
2. b) Obtenha a expressão simplificada de $R_{eq}$ como uma única fração algébrica em função de $T$.
3. c) Se nas horas de máxima insolação de verão se registrar uma temperatura de $T = 30\text{ }^\circ\text{C}$, calcule o valor exato de $R_{eq}$ expresso como fração irredutível e determine se ele se mantém abaixo do limite regulamentar de segurança de $0,7$ ohms.

Demonstre que a seguinte igualdade algébrica é verdadeira para qualquer valor das variáveis $x$ e $y$ que não anule os denominadores, desenvolvendo as operações e simplificando o membro esquerdo:

$\left( \frac{x^2 - y^2}{x+y} \right) \cdot \left( \frac{x^3 + y^3}{x^2 - xy + y^2} \right) = x^2 - y^2$

Uma lancha a motor viaja por um canal do ancoradouro até uma boia a uma velocidade $v+w$ (em que $w$ é a velocidade da correnteza a favor) e retorna a uma velocidade $v-w$ (correnteza contra). A distância entre os pontos é $d$. Obtenha a expressão simplificada da velocidade média do percurso completo, dada por $v_m = \frac{2d}{\frac{d}{v+w} + \frac{d}{v-w}}$, e verifique se é equivalente à expressão $\frac{v^2 - w^2}{v}$.

Determine os valores numéricos dos parâmetros $A$, $B$ e $C$ para que a seguinte identidade de decomposição em frações parciais seja satisfeita para todo $x$:

$\frac{5x^2 - x + 2}{x^3 - x^2 + x - 1} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$

Um circuito misto tem uma resistência equivalente entre os terminais A e B dada pela fórmula $R_{eq} = R_1 + \frac{1}{\frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}}$. Se os valores das resistências em ohms são dados pelas expressões algébricas $R_1 = \frac{x}{x+1}$, $R_2 = \frac{x^2-1}{x}$ e $R_3 = \frac{x^2-1}{2}$, calcule a expressão simplificada da resistência equivalente $R_{eq}$.

Simplifique a seguinte expressão algébrica iterada (fração contínua) operando do nível mais profundo para cima, até obter uma fração irredutível:

$1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x-1}}}$

Realize as operações indicadas com três variáveis e demonstre que o resultado final se simplifica para um número inteiro constante:

$\frac{x^2}{(x-y)(x-z)} + \frac{y^2}{(y-x)(y-z)} + \frac{z^2}{(z-x)(z-y)}$

Em um laboratório de química, há duas soluções de um mesmo ácido. A primeira tem concentração $C_1 = \frac{x}{x^2+2x+1}$ e a segunda $C_2 = \frac{2}{x^2-1}$. Misturam-se volumes iguais de ambas as soluções, portanto a concentração da mistura resultante é a média aritmética de ambas as concentrações, ou seja, $C_m = \frac{1}{2}(C_1 + C_2)$. Obtenha a expressão algébrica simplificada da concentração final da mistura $C_m$.

A área superficial de uma embalagem cilíndrica projetada para minimizar o uso de material plástico é dada pela expressão $S(x) = 2\pi x^2 + \frac{1000}{x}$. Para analisar a taxa de variação do material em relação ao raio $x$, um engenheiro precisa calcular e simplificar a expressão da razão de diferenças $\frac{S(x+h) - S(x)}{h}$. Realize esta operação e expresse o resultado como uma única fração algébrica simplificada em termos de $x$ e $h$.

Duas tubulações da rede de distribuição da companhia de águas despejam água simultaneamente em um reservatório de retenção em São Paulo. A tubulação moderna $A$ leva $x$ horas para encher o reservatório completo sozinha, enquanto a tubulação antiga $B$, com menor vazão, leva $x + 4$ horas (com $x > 0$).

1. a) Estime: Sem fazer operações algébricas exatas, considere o caso em que $x = 6$ horas (a tubulação $A$ leva 6 horas e a $B$ leva 10 horas). Raciocine de forma qualitativa entre quais dois números inteiros de horas deve situar-se obrigatoriamente o tempo total de enchimento conjunto $T$. (Dica: compare a vazão do sistema com duas situações hipotéticas: duas tubulações idênticas à rápida ou duas idênticas à lenta).
2. b) Calcule: Sabendo que as vazões por hora se somam (satisfazendo a relação $\frac{1}{T(x)} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+4}$), opere e simplifique para expressar o tempo conjunto $T(x)$ como uma única fração algébrica irredutível.
3. c) Verifique e generalize: Calcule o valor exato de $T(6)$ a partir da fórmula encontrada, converta-o para horas e minutos, e verifique se a sua estimativa do item (a) estava correta. Em seguida, analise o sinal da diferença algébrica $T(x) - \frac{x}{2}$ e demonstre formalmente por que o tempo conjunto nunca poderá ser inferior à metade do tempo da tubulação mais rápida, seja qual for o valor de $x$.

Em um laboratório de óptica aplicada do CSIC, ajusta-se uma bancada óptica que contém uma lente convergente delgada de distância focal $f$ conhecida e fixa ($f > 0$). A distância do objeto luminoso até a lente é $s$ (com $s > f$) e a distância da lente até a imagem focada sobre uma tela é $s'$. Essas variáveis satisfazem a equação de Descartes:

1. a) Isole $s'$ como uma única fração algébrica em função de $s$ e $f$. A partir dela, obtenha a expressão simplificada da distância total entre o objeto e a tela de projeção, $L(s) = s + s'$, como uma única fração algébrica com o denominador fatorado.
2. b) Problema inverso: Para verificar de forma puramente algébrica que a separação total entre o objeto e a tela nunca pode ser inferior a quatro vezes a distância focal ($L(s) \ge 4f$), formule a subtração $D(s) = L(s) - 4f$, reduza ao mesmo denominador e fatore completamente o numerador resultante, reconhecendo um produto notável.
3. c) Analise o sinal do numerador e do denominador da fração obtida para $D(s)$ levando em conta que $s > f$. Conclua rigorosamente por que $L(s) \ge 4f$ e deduza de forma fundamentada que posição o objeto deve ocupar ($s$ em função de $f$) para que a distância entre o objeto e a tela seja exatamente a mínima possível ($4f$).

Desafio do tema. Otimização de uma microrrede solar doméstica.

1. Dados e fasores: Acesse o site da Red Eléctrica (REE) e anote a geração solar fotovoltaica horária da sua região em dois momentos-chave, associando a eles fasores de potência na forma polar: $z_1 = r_{1,\alpha}$ e $z_2 = r_{2,\beta}$. Calcule o quociente deles na forma polar para avaliar a defasagem de geração.

2. Álgebra complexa e trigonometria: Converta o referido quociente para a forma algébrica para multiplicá-lo pela impedância de rede $Z = 2 + 1,5i$. Verifique analiticamente a parte real e a parte imaginária aplicando as razões trigonométricas da diferença de ângulos: $\cos(\alpha - \beta)$ e $\sin(\alpha - \beta)$.

3. Modelagem polinomial: No GeoGebra, ajuste um polinômio cúbico $P(t)$ à curva diária de potência. Conhecendo a hora inteira de início da produção solar como raiz, fatore $P(t)$ aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini até a sua fatoração completa. Depois, calcule a derivada do polinômio $P'(t)$ para encontrar a hora exata de máxima produção ($P'(t) = 0$).

4. Proposta técnica: Redija um relatório breve com o gráfico do GeoGebra e os cálculos realizados, justificando a hora ideal de consumo.

Serão avaliados:

• Precisão nas operações com números complexos na forma polar e algébrica, e no desenvolvimento da diferença de ângulos.

• Destreza no dispositivo de Briot-Ruffini, na fatoração de polinômios e no cálculo da derivada polinomial.

• Rigor no uso de dados reais da REE e clareza argumentativa no relatório final.