Exercícios: Binômio de Newton

Calcule o valor da seguinte expressão utilizando as propriedades dos fatoriais e dos números combinatórios: $\frac{10!}{8! \cdot 2!} + \binom{7}{3}$.

Desenvolva completamente o binômio $(x + 3)^4$ utilizando a fórmula do binômio de Newton.

Desenvolva a expressão $(2a - b)^5$ e indique quantos termos tem o desenvolvimento final.

Escreva diretamente o quarto termo do desenvolvimento do binômio $(x^2 - 2y)^7$, sem calcular todo o desenvolvimento.

Utilize o triângulo de Pascal (ou de Tartaglia) para obter os coeficientes da sexta linha e desenvolva a expressão $(m + 2n)^6$.

Calcule o coeficiente do termo que contém $x^3$ no desenvolvimento do binômio $(x - 4)^5$.

Simplifique ao máximo a seguinte expressão algébrica com fatoriais: $\frac{(n+2)!}{n! \cdot (n+1)}$.

Encontre o valor do número natural $x$ que satisfaz a seguinte equação com números combinatórios: $\binom{x}{2} = 21$.

Desenvolva o binômio com frações $\left(x + \frac{1}{2}\right)^3$ e simplifique cada um dos termos resultantes.

A Sofia está calculando o termo que ocupa a quarta posição ($T_4$) no desenvolvimento do binômio $(x^2 - 2)^6$. Na prova ela escreve o seguinte:

«Como pedem o quarto termo, uso $k = 4$:

$T_4 = \binom{6}{4} (x^2)^{6-4} (-2)^4 = 15 \cdot x^4 \cdot 16 = 240x^4$».

1. a) Identifique e explique de forma fundamentada o erro conceitual que a Sofia comete ao associar o número do termo ao índice $k$ da fórmula geral $T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$.
2. b) Corrija a resolução calculando passo a passo o verdadeiro quarto termo do desenvolvimento, indicando claramente o seu sinal, o seu coeficiente numérico e o seu grau.
3. c) Que termo do desenvolvimento a Sofia realmente calculou no seu procedimento?

Uma empresa de telecomunicações na Espanha aplica a uma tarifa plana de fibra óptica um ajuste por inflação de $3\,\%$ anual ($0,03$) durante $4$ anos consecutivos. O custo ao fim desse tempo resulta multiplicado pelo fator $(1 + 0,03)^4$.

1. a) Estime mentalmente o valor desse fator multiplicador utilizando unicamente as duas primeiras parcelas do binômio de Newton, $(1 + 0,03)^4 \approx \binom{4}{0} \cdot 1^4 + \binom{4}{1} \cdot 1^3 \cdot 0,03$, e indique que porcentagem de aumento total representa a sua estimativa.
2. b) Desenvolva por completo a potência $(1 + 0,03)^4$ por meio do binômio de Newton e calcule o valor exato do fator multiplicador com quatro casas decimais.
3. c) Verifique se a estimativa do item a) foi por excesso ou por falta. Justifique por que, no âmbito econômico, costuma ser suficiente ficar com os dois primeiros termos quando o aumento anual é pequeno.

Em um estudo de genética de populações, a distribuição teórica de certos genótipos em uma geração é dada pelo desenvolvimento do binômio $(p + q)^4$, em que $p$ e $q$ são as frequências alélicas. Se $p = 0,6$ e $q = 0,4$, calcule o valor numérico do termo que contém a expressão $p^2q^2$ e interprete seu significado matemático dentro do desenvolvimento.

Encontre o termo independente de $x$ (ou seja, o termo que não contém a variável $x$) no desenvolvimento do binômio $\left(x^2 - \frac{1}{x}\right)^9$.

Em economia, o capital final acumulado após $5$ anos a juros compostos anuais de $r$ é calculado pela fórmula $C = C_0(1 + r)^5$. Utilize o binômio de Newton para desenvolver $(1 + r)^5$. Se a taxa de juros for $r = 0,03$, calcule uma aproximação do capital final para um capital inicial de $1000$ reais utilizando apenas os três primeiros termos do desenvolvimento.

Encontre o coeficiente numérico que acompanha $x^4$ no desenvolvimento do binômio $\left(2x + \frac{1}{x^2}\right)^7$.

Demonstre que a soma de todos os números combinatórios de uma mesma linha $n$ satisfaz $\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \dots + \binom{n}{n} = 2^n$ utilizando o desenvolvimento do binômio de Newton para $(1+1)^n$. Aplique este resultado para determinar quantos grupos distintos (de qualquer tamanho, incluindo o grupo vazio) podem ser formados com os $8$ funcionários de um escritório.

Resolva a seguinte equação na qual aparecem números binomiais, encontrando o valor do número natural $x$: $\binom{x}{3} + \binom{x}{2} = 4 \binom{x}{1}$.

O volume de um cubo metálico de aresta $L$ a uma certa temperatura é $V = L^3$. Ao ser aquecido, sua aresta se dilata linearmente passando a medir $L(1 + \alpha \Delta T)$. Desenvolva a expressão do novo volume utilizando o binômio de Newton e, sabendo que o produto $\alpha \Delta T$ é um valor muito pequeno (da ordem de $10^{-5}$), justifique matematicamente por que o aumento de volume $\Delta V$ pode ser aproximado pela expressão $3 L^3 \alpha \Delta T$.

Determine o termo central no desenvolvimento do binômio $\left(\sqrt{x} - \frac{2}{x}\right)^6$ e simplifique a expressão resultante.

Em um estudo de genética, a combinação de certos alelos é modelada pela expressão matemática $(p + q)^5$. Desenvolva esta expressão sabendo que as probabilidades são dadas por $p = 2x$ e $q = y^2$.

Encontre o quinto termo no desenvolvimento do binômio $\left(2x^2 - \frac{1}{x}\right)^7$. Simplifique o resultado combinando as potências de $x$.

Determine o coeficiente do termo que contém $x^4$ ao desenvolver a expressão $(x - \sqrt{2})^6$. Expresse o resultado como um número inteiro.

A intensidade da luz que atravessa uma série de $4$ filtros fotográficos com um fator de atenuação variável $x$ pode ser aproximada pelo binômio $(1 - 0,2x)^4$. Desenvolva esta expressão ordenando os termos do menor para o maior grau.

No desenvolvimento do binômio $(x + k)^4$, sabe-se que o coeficiente do termo em $x^2$ é igual a $54$. Calcule o valor positivo do parâmetro $k$.

Calcule a soma de todos os coeficientes do polinômio resultante ao desenvolver $(3x - 2y)^5$. Dica: Pense em quais valores numéricos você pode atribuir às variáveis $x$ e $y$ para que a expressão avaliada coincida exatamente com a soma de seus coeficientes.

Desenvolva e simplifique ao máximo a expressão com radicais $\left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^4$. Agrupe os termos semelhantes e deixe o resultado sem expoentes negativos.

Um aparelho de Galton (ou quincunx) é utilizado para demonstrar a distribuição binomial. Uma bola que cai tem a mesma probabilidade de ir para a direita ($D$) que para a esquerda ($I$) em cada prego. O aparelho da figura tem $4$ fileiras de pregos, de modo que a bola faz $4$ movimentos e pode cair em $5$ compartimentos. Cada compartimento tem escrito o número de movimentos para a direita que a bola fez. Os caminhos possíveis são modelados com o desenvolvimento de $(I + D)^4$.

Observe a figura: a linha azul tracejada mostra um caminho possível até o compartimento destacado em vermelho, que corresponde a $1$ movimento para a esquerda e $3$ para a direita.

1. a) Desenvolva o binômio $(I + D)^4$.

1. b) Indique algebricamente quantos caminhos distintos levam ao compartimento destacado em vermelho.

O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) realiza uma auditoria no serviço de encomendas expresso de um estado, analisando uma amostra de $7$ envios independentes. Cada encomenda pode chegar no horário ($P$) ou com atraso ($R$). Todos os possíveis resultados amostrais são modelados algebricamente por meio do desenvolvimento do binômio $(P + R)^7$.

1. a) Escreva o desenvolvimento completo do binômio por meio da fórmula de Newton e interprete o significado de cada termo da forma $\binom{7}{k} P^{7-k} R^k$ neste contexto.
2. b) Quantas configurações amostrais distintas contêm pelo menos $5$ entregas no horário?
3. c) O regulamento estadual estabelece que a qualidade é aceitável se o número de configurações com mais entregas no horário do que atrasadas ultrapassar estritamente os $50\,\%$ do total de casos possíveis ($2^7 = 128$). Utilizando a simetria dos números binomiais no triângulo de Pascal, determine a porcentagem exata de configurações favoráveis e conclua, justificando, se o critério do regulamento é cumprido.

No desenvolvimento algébrico do binômio $\left(2x^3 - \frac{k}{x}\right)^8$, onde $k$ representa uma constante real positiva:

1. a) Escreva a expressão simplificada do termo geral $T_{m+1} = \binom{8}{m} a^{8-m} b^m$ e defina a equação sobre o expoente de $x$ para determinar que posição ocupa o termo independente de $x$.
2. b) Sabendo que o valor numérico desse termo independente é $7\,168$, calcule de forma fundamentada o valor exato da constante $k$.
3. c) Verifique algebricamente se existe neste desenvolvimento algum termo de grau $5$ na variável $x$, justificando a sua conclusão a partir do conjunto de valores admissíveis para o índice $m$.

Encontre o valor do parâmetro real $k$ para que o coeficiente do termo em $x^3$ no desenvolvimento do binômio $\left(x^2 + \frac{k}{x}\right)^6$ seja exatamente igual a $-160$.

No controle de qualidade de uma fábrica de componentes eletrônicos, a probabilidade de um lote de $n$ componentes ter exatamente $k$ defeituosos é dada pelo termo geral $\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$, em que $p$ é a probabilidade de um componente individual ser defeituoso. Se em um lote de $10$ componentes, a probabilidade de encontrar exatamente $4$ defeituosos é o dobro da de encontrar $3$ defeituosos, monte a equação correspondente e encontre o valor exato de $p$.

Calcule o coeficiente que acompanha $x^5$ no desenvolvimento completo do produto de polinômios $(1 + x)^4 \cdot (1 - 2x)^5$.

Demonstre a propriedade fundamental dos números combinatórios $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$ utilizando a definição algébrica com fatoriais. Posteriormente, utilize as propriedades dos números combinatórios para resolver o seguinte sistema de equações para $x$ e $y$ naturais:

$\binom{x}{y} = \binom{x}{y+1}$

$4x - 5y = 19$

Encontre o termo independente de $x$ no desenvolvimento do binômio $\left(\sqrt[3]{x^2} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{14}$ e determine qual posição ocupa esse termo no desenvolvimento ordenado segundo as potências decrescentes da primeira parcela.

Em um experimento de óptica, a intensidade da luz em um padrão de interferência múltipla requer calcular o desenvolvimento do binômio $(1 + \cos \theta)^n$. Para um sistema de $6$ fendas ($n=6$), desenvolva a expressão indicando os coeficientes combinatórios e determine o coeficiente do termo que contém $\cos^4 \theta$. Se em um ponto da tela se verifica que $\cos \theta = \frac{1}{2}$, qual é o valor exato da soma dos três últimos termos desse desenvolvimento?

Resolva a seguinte equação algébrica na qual aparecem números binomiais e fatoriais, determinando o valor do número natural $x$: $\frac{(x+1)!}{(x-1)!} - 2\binom{x}{2} = 14 + \binom{x-1}{1}$.

Determine os valores reais positivos dos parâmetros $a$ e $b$ no binômio $(ax + b)^5$ sabendo que o segundo termo do seu desenvolvimento é $240x^4$ e o terceiro termo do seu desenvolvimento é $720x^3$.

Encontre o termo independente de $x$ no desenvolvimento da expressão $\left(\frac{3x^2}{2} - \frac{1}{3x}\right)^9$. Mostre o equacionamento geral do $k$-ésimo termo antes de resolvê-lo.

Desenvolva a soma dos binômios $(\sqrt{3} + \sqrt{2})^4 + (\sqrt{3} - \sqrt{2})^4$. Demonstre que, apesar de conter números irracionais em sua formulação inicial, o resultado final é um número inteiro.

Na engenharia, a tolerância de volume de um recipiente cúbico de lado $L$ com um erro de fabricação $\Delta L$ é dada pela expressão $(L \pm \Delta L)^3$. Desenvolva este binômio. Se $L = 10\ \text{cm}$ e o erro máximo é $\Delta L = 0,1\ \text{cm}$, calcule o termo de erro linear, o quadrático e o cúbico. Qual porcentagem do erro total é representada pelo termo linear $3L^2\Delta L$?

Deseja-se simplificar a expressão combinatória $E = \binom{n}{k} + 2\binom{n}{k+1} + \binom{n}{k+2}$, em que $n, k \in \mathbb{N}$ com $n \ge k+2$. Propõem-se dois procedimentos de resolução:

• Método A (desenvolvimento fatorial): Expressar cada número combinatório segundo a fórmula $\frac{n!}{p!\,(n-p)!}$, determinar o mínimo múltiplo comum entre fatoriais e simplificar a fração resultante.

• Método B (propriedades do triângulo de Pascal): Decompor a parcela central como $\binom{n}{k+1} + \binom{n}{k+1}$ e aplicar repetidamente a identidade $\binom{m}{p} + \binom{m}{p+1} = \binom{m+1}{p+1}$.

1. a) Aplique o Método B justificando detalhadamente cada passo para condensar a expressão $E$ em um único número combinatório.
2. b) Explique por que o Método B é notavelmente mais eficiente e menos propenso a erros algébricos do que o Método A neste tipo de simplificação.
3. c) Generalize o raciocínio: determine, sem recorrer a fatoriais, a qual único número combinatório equivale a soma $\binom{n}{k} + 3\binom{n}{k+1} + 3\binom{n}{k+2} + \binom{n}{k+3}$, fundamentando a relação existente entre os coeficientes $(1, 3, 3, 1)$ e as linhas sucessivas do triângulo de Pascal.

A empresa pública responsável pela gestão do traçado das linhas de alta velocidade no Brasil administra a malha ferroviária. Durante episódios de onda de calor registrados pelo INMET, certos componentes cúbicos de aço das catenárias, com volume inicial $V_0$, sofrem uma dilatação linear relativa $\varepsilon = \alpha \cdot \Delta T = 4 \cdot 10^{-4}$ (adimensional). O novo volume após a dilatação é dado por $V = V_0(1 + \varepsilon)^3$.

1. a) Desenvolva $(1 + \varepsilon)^3$ por meio do binômio de Newton e expresse o aumento relativo exato do volume, $\frac{\Delta V}{V_0} = \frac{V - V_0}{V_0}$, em função das potências de $\varepsilon$.
2. b) Nos manuais técnicos costuma-se empregar a aproximação linear $\frac{\Delta V}{V_0} \approx 3\varepsilon$. Estime o limite superior do erro absoluto cometido com essa aproximação somando os termos omitidos ($3\varepsilon^2 + \varepsilon^3$) e calcule a porcentagem que esse erro representa em relação ao valor aproximado $3\varepsilon$.
3. c) Um relatório técnico preliminar sustenta que «se uma onda de calor mais severa duplicar o aumento de temperatura ($\Delta T' = 2\Delta T$), o erro absoluto da aproximação linear também duplicará». Demonstre analiticamente, por meio do desenvolvimento do binômio, por que essa afirmação é falsa e determine por qual fator o erro cometido é multiplicado aproximadamente.