Fracciones algebraicas
En la casa de Valentina, en el Cerro, la canilla de agua caliente llena la bañera en $x$ horas y la de agua fría en $x+3$ horas. ¿Qué parte de la bañera se llena en una hora si abrís las dos a la vez? La respuesta es $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+3}$. Esa suma, con la incógnita en el denominador, es una fracción algebraica: se maneja igual que una fracción numérica, pero con polinomios arriba y abajo.
Qué es una fracción algebraica
Como en cualquier fracción, el denominador no puede valer $0$. Por eso una fracción algebraica solo existe para los valores de $x$ que no anulan el denominador. Los demás valores se pueden sustituir para calcular el valor numérico: en $\frac{x+1}{x-2}$, con $x=3$ da $\frac{4}{1}=4$.
Calcula el valor numérico de la fracción algebraica $\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 + 1}$ para $x = -2$.
Calcula el valor numérico de la fracción algebraica $\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 + 1}$ para $x = -2$.
Fracciones equivalentes
Con fracciones numéricas, $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$ porque $2\cdot 6 = 3\cdot 4$. Con las algebraicas pasa lo mismo.
Comprueba, realizando los productos cruzados, si las fracciones algebraicas $\frac{x-3}{x+1}$ y $\frac{x^2-9}{x^2+4x+3}$ son equivalentes.
Comprueba, realizando los productos cruzados, si las fracciones algebraicas $\frac{x-3}{x+1}$ y $\frac{x^2-9}{x^2+4x+3}$ son equivalentes.
Halla el polinomio $P(x)$ que hace que la siguiente igualdad entre fracciones algebraicas sea cierta: $\frac{x^2-9}{P(x)} = \frac{x-3}{x^2+2x}$
Halla el polinomio $P(x)$ que hace que la siguiente igualdad entre fracciones algebraicas sea cierta: $\frac{x^2-9}{P(x)} = \frac{x-3}{x^2+2x}$
Simplificar factorizando
Para simplificar, factorizá el numerador y el denominador y cancelá los factores que se repiten arriba y abajo. Es lo mismo que con números: $\frac{12}{18} = \frac{2\cdot2\cdot3}{2\cdot3\cdot3} = \frac{2}{3}$.
Las herramientas para factorizar son cuatro: el factor común, las identidades notables (suma por diferencia, cuadrado de un binomio), los trinomios sencillos y la agrupación de términos. Las cuatro forman parte del método de esta página.
Factorizar por agrupación
Cuando el polinomio tiene cuatro términos y no hay un factor común a todos, se agrupan de a dos, se saca factor común en cada grupo y aparece un factor repetido que se vuelve a sacar como factor común. Lo vas a necesitar, por ejemplo, para factorizar polinomios de grado 3 como $x^3-2x^2-4x+8$.
Simplifica la siguiente fracción algebraica extrayendo factor común en el numerador y en el denominador: $\frac{4x^3 - 2x^2}{6x^2 - 2x}$
Simplifica la siguiente fracción algebraica extrayendo factor común en el numerador y en el denominador: $\frac{4x^3 - 2x^2}{6x^2 - 2x}$
Simplificá la siguiente fracción algebraica aplicando los productos notables: $\frac{x^2 - 25}{x^2 - 10x + 25}$
Simplificá la siguiente fracción algebraica aplicando los productos notables: $\frac{x^2 - 25}{x^2 - 10x + 25}$
Simplifica la siguiente fracción algebraica factorizando previamente el numerador y el denominador: $\frac{x^3 - 4x^2 + 4x}{x^3 - 2x^2 - 4x + 8}$
Simplifica la siguiente fracción algebraica factorizando previamente el numerador y el denominador: $\frac{x^3 - 4x^2 + 4x}{x^3 - 2x^2 - 4x + 8}$
Ampliación: cubos y divisibilidad
Suma y diferencia de cubos
Divisibilidad entre $x-a$
Determina el valor del parámetro $k$ para que la fracción algebraica $\frac{x^2 - kx + 10}{x-5}$ se pueda simplificar (es decir, que el numerador sea divisible entre el…
Determina el valor del parámetro $k$ para que la fracción algebraica $\frac{x^2 - kx + 10}{x-5}$ se pueda simplificar (es decir, que el numerador sea divisible entre el denominador). Una vez hallado $k$, escribe la expresión simplificada.
El dominio: valores que anulan el denominador
Una fracción no existe si su denominador vale $0$. Esas restricciones se leen en el denominador original, antes de simplificar, y se mantienen aunque algún factor desaparezca al simplificar.
Fijate en la gráfica: en $x=-1$ el denominador se anula y la función no tiene valor ahí (hay una asíntota vertical).
La base de un panel solar rectangular mide $x+5$ metros y su altura mide $x-5$ metros. El lado de un panel solar cuadrado mide $x$ metros. Escribe la fracción algebraica…
La base de un panel solar rectangular mide $x+5$ metros y su altura mide $x-5$ metros. El lado de un panel solar cuadrado mide $x$ metros. Escribe la fracción algebraica que representa el cociente entre el área del panel rectangular y el área del panel cuadrado. Calcula el valor numérico de esta fracción si $x = 10$ metros.
Multiplicar y dividir fracciones algebraicas
Igual que con números: para multiplicar, numerador por numerador y denominador por denominador; para dividir, se multiplica por la fracción inversa. Conviene factorizar antes de multiplicar, para simplificar en el camino.
Multiplica las siguientes fracciones algebraicas y da el resultado lo más simplificado posible: $\frac{x}{x+2} \cdot \frac{x^2-4}{x^2}$
Multiplica las siguientes fracciones algebraicas y da el resultado lo más simplificado posible: $\frac{x}{x+2} \cdot \frac{x^2-4}{x^2}$
Efectúa la división de fracciones algebraicas y simplifica: $\frac{2x+2}{x-1} : \frac{4x+4}{x^2-1}$
Efectúa la división de fracciones algebraicas y simplifica: $\frac{2x+2}{x-1} : \frac{4x+4}{x^2-1}$
El costo total en pesos de fabricar $x$ bicicletas viene dado por el polinomio $C(x) = 120x^2 + 6\,000x$. Los ingresos totales en pesos por vender esas $x$ bicicletas se…
El costo total en pesos de fabricar $x$ bicicletas viene dado por el polinomio $C(x) = 120x^2 + 6\,000x$. Los ingresos totales en pesos por vender esas $x$ bicicletas se expresan mediante el polinomio $I(x) = 200x^2 + 8\,000x$. Escribí la fracción algebraica irreducible que representa la razón entre los ingresos y los costos.
Sumar y restar fracciones algebraicas
Hace falta un denominador común, que se busca factorizando cada denominador: el mínimo común múltiplo toma cada factor con su mayor exponente, sin repetirlo. Si los denominadores ya son iguales, se suman o restan los numeradores y se deja el denominador.
Realiza la siguiente suma de fracciones algebraicas y simplifica el resultado: $\frac{3x+2}{x-2} + \frac{-x-6}{x-2}$
Realiza la siguiente suma de fracciones algebraicas y simplifica el resultado: $\frac{3x+2}{x-2} + \frac{-x-6}{x-2}$
Efectúa la siguiente operación y simplifica el resultado: $\frac{x^2+5x}{x+3} - \frac{x^2-9}{x+3}$
Efectúa la siguiente operación y simplifica el resultado: $\frac{x^2+5x}{x+3} - \frac{x^2-9}{x+3}$
Realiza las siguientes operaciones reduciendo a común denominador y simplifica el resultado: $\frac{2}{x-1} + \frac{x}{x+1} - \frac{2x}{x^2-1}$
Realiza las siguientes operaciones reduciendo a común denominador y simplifica el resultado: $\frac{2}{x-1} + \frac{x}{x+1} - \frac{2x}{x^2-1}$
Operaciones combinadas y fracciones complejas
Una fracción compleja (o «castillo de fracciones») tiene fracciones en el numerador, en el denominador o en ambos. Se resuelve de adentro hacia afuera: primero se reduce cada piso a una sola fracción.
En las operaciones combinadas se respeta el orden de siempre: paréntesis primero, luego multiplicaciones y divisiones, y al final sumas y restas. Conviene factorizar en cada paso.
Realiza la siguiente operación combinada con fracciones algebraicas y simplifica el resultado: $\left( \frac{1}{x} - \frac{2}{x+2} \right) : \frac{x-2}{x^2+2x}$
Realiza la siguiente operación combinada con fracciones algebraicas y simplifica el resultado: $\left( \frac{1}{x} - \frac{2}{x+2} \right) : \frac{x-2}{x^2+2x}$
Efectúa y simplifica todo lo posible la siguiente expresión: $\frac{x^2-1}{x^2+2x+1} \cdot \left( \frac{2x}{x-1} - \frac{x+1}{x} \right)$
Efectúa y simplifica todo lo posible la siguiente expresión: $\frac{x^2-1}{x^2+2x+1} \cdot \left( \frac{2x}{x-1} - \frac{x+1}{x} \right)$
Simplifica la siguiente expresión algebraica en forma de "castillo de fracciones": $1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x-1}}$
Simplifica la siguiente expresión algebraica en forma de "castillo de fracciones": $1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x-1}}$
Problemas con fracciones algebraicas
Muchas situaciones (tiempos, velocidades, costos) se escriben con fracciones algebraicas. Se plantea la expresión, se reduce a una sola fracción y se simplifica.
Una canilla de agua caliente tarda $x$ horas en llenar una bañera, mientras que la canilla de agua fría tarda $x+3$ horas. Escribí una fracción algebraica simplificada…
Una canilla de agua caliente tarda $x$ horas en llenar una bañera, mientras que la canilla de agua fría tarda $x+3$ horas. Escribí una fracción algebraica simplificada que represente la parte de la bañera que se llena en una hora si se abren ambas canillas a la vez.
Un tren recorre una distancia de $120$ km a una velocidad constante de $v$ km/h. En el trayecto de vuelta, debido a la lluvia, su velocidad disminuye en $10$ km/h.…
Un tren recorre una distancia de $120$ km a una velocidad constante de $v$ km/h. En el trayecto de vuelta, debido a la lluvia, su velocidad disminuye en $10$ km/h. Escribe la fracción algebraica que representa el tiempo total del viaje de ida y vuelta en función de $v$, reduciendo a una sola fracción.
Un atleta corre en una pista circular. Durante la primera mitad del recorrido corre a una velocidad de $v$ m/s, y durante la segunda mitad corre a una velocidad de $v-2$…
Un atleta corre en una pista circular. Durante la primera mitad del recorrido corre a una velocidad de $v$ m/s, y durante la segunda mitad corre a una velocidad de $v-2$ m/s. Sabiendo que la velocidad media de todo el recorrido se calcula como el espacio total dividido entre el tiempo total, demuestra mediante fracciones algebraicas que la velocidad media es $\frac{2v(v-2)}{2v-2}$ m/s.
Volvé al principio: las dos canillas llenan juntas $\dfrac{2x+3}{x^2+3x}$ de la bañera por hora.