Factorización y regla de Ruffini

Extrae el factor común en el siguiente polinomio, simplificando la expresión al máximo:

$P(x) = 15x^5 - 10x^4 + 20x^3$

Factorizá los siguientes polinomios reconociendo en ellos el desarrollo de productos notables (cuadrado de una suma, cuadrado de una diferencia o suma por diferencia):

1. a) $A(x) = x^2 - 14x + 49$
2. b) $B(x) = 9x^2 - 16$

Sin realizar la división, utiliza el teorema del resto para calcular el resto que se obtiene al dividir el polinomio $P(x) = 2x^4 - x^3 + 5x - 3$ entre $(x + 1)$.

Utiliza el teorema del factor para comprobar si $x = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$. Justifica tu respuesta mostrando los cálculos.

Halla el valor del parámetro $k$ para que el polinomio $P(x) = x^3 + kx^2 - 3x + 8$ dé un resto de $10$ al ser dividido entre $(x - 2)$.

Aplicá la regla de Ruffini para dividir el polinomio $P(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ entre el binomio $(x - 2)$. Indicá claramente cuál es el polinomio cociente y cuál es el resto de la división.

Sabiendo que $x = 1$ es una de las raíces del polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$, utilizá la regla de Ruffini para factorizarlo y encontrar las otras dos raíces.

Realizá la división del polinomio $P(x) = 4x^3 - 8x^2 + 5x - 1$ entre el binomio $(2x - 3)$. Pista: Podés utilizar la regla de Ruffini dividiendo entre $(x - \frac{3}{2})$ y ajustando posteriormente el cociente obtenido.

Calcula el valor de $m$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 + mx + 6$ sea exactamente divisible por $(x - 3)$. Una vez hallado el valor de $m$, factoriza completamente el polinomio $P(x)$.

Se sabe que el polinomio $P(x) = 2x^3 + x^2 - 13x + 6$ tiene al menos una raíz entera. Comprobá mediante el teorema del resto o la regla de Ruffini que $x = 2$ es una de sus raíces. A continuación, factorizá el polinomio completamente para encontrar sus otras dos raíces (una de ellas es una fracción).

Un equipo de ingenieros analiza la distribución de tensiones en una viga de metal, la cual se modeliza mediante el polinomio $P(x) = x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$. Encuentra todas las raíces del polinomio para determinar los puntos exactos donde la tensión es nula.

Dado el polinomio ya factorizado $P(x) = 2x(x + 5)(x - 4)^2$, indica directamente cuáles son todas sus raíces y especifica la multiplicidad de cada una de ellas (si son simples, dobles, etc.).

Construye un polinomio de grado 3 que tenga como raíces $x_1 = -2$, $x_2 = 0$ y $x_3 = 4$, y cuyo coeficiente principal sea $1$. Expresa el resultado final en forma desarrollada (operando los factores).

Factoriza completamente el polinomio $P(x) = 2x^4 - 2x^3 - 12x^2$. Para ello, extrae primero el factor común y luego encuentra las raíces del polinomio resultante.

Construye un polinomio $P(x)$ de grado 3 que tenga como raíces $x_1 = 1$, $x_2 = -2$ y $x_3 = 3$, sabiendo además que su valor numérico en $x = 0$ es $12$ (es decir, $P(0) = 12$). Expresa el polinomio final de forma desarrollada.

Factoriza completamente el polinomio $P(x) = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4$. Ten en cuenta que puede contener raíces múltiples. Indica claramente cuáles son sus raíces y la multiplicidad de cada una.

Un depósito de agua tiene forma de prisma rectangular. Su volumen en función de una medida $x$ viene dado por el polinomio $V(x) = x^3 + 5x^2 + 6x$. Si la altura del depósito es exactamente $x$, factoriza el polinomio para encontrar las expresiones algebraicas que corresponden a las dimensiones de su base rectangular.

La altura de un vagón de una montaña rusa, en metros, respecto al tiempo $t$ en segundos desde que inicia una bajada, se modeliza mediante el polinomio $H(t) = -t^3 + 8t^2 - 15t$. Factoriza el polinomio para determinar en qué instantes exactos de tiempo el vagón se encuentra a ras de suelo ($H(t) = 0$).

El número de visitas a una web (en miles) durante el mes $x$ desde su lanzamiento viene dado por la expresión $V(x) = x^3 - 14x^2 + 49x$. Factoriza la expresión para averiguar en qué mes o meses las visitas fueron exactamente cero.

Una empresa de embalaje diseña una caja de cartón cuyo volumen viene dado por el polinomio $V(x) = x^3 - 12x^2 + 36x$. Factoriza el polinomio al máximo para expresar el volumen como el producto de tres dimensiones lineales (largo, ancho y alto).

Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 4x + 4$ sea divisible simultáneamente por $(x - 1)$ y por $(x + 2)$.

Un panel solar tiene forma rectangular y su área viene dada por el polinomio $A(x) = x^4 - 81$. Factoriza el polinomio completamente en polinomios irreducibles con coeficientes reales para hallar las posibles expresiones algebraicas de su base y su altura.

Utilizando la factorización de polinomios y los productos notables, demostrá algebraicamente que la diferencia entre los cuadrados de dos números impares consecutivos, $(2n+1)^2 - (2n-1)^2$, es siempre un múltiplo de $8$ para cualquier número entero $n$.

En un sistema de criptografía, una clave de seguridad se valida si coincide con las raíces del polinomio $C(x) = x^5 - 4x^4 + 4x^3 + 2x^2 - 5x + 2$. Factoriza el polinomio completamente para descubrir todas las raíces y sus respectivas multiplicidades, logrando así descifrar el código.