Introducción a la combinatoria
En el almacén del barrio ofrecen un menú: un chivito, un jugo y un postre. ¿Cuántos menús distintos se pueden armar? ¿Y cuántos códigos de 7 dígitos hay para el candado de una bicicleta? Hacer la lista completa a mano sería absurdo. La combinatoria es la parte de la Matemática que cuenta sin tener que enumerar, y la vas a necesitar en probabilidad. Acá van las herramientas básicas.
El principio de la multiplicación
Un restaurante ofrece 4 primeros platos, 3 segundos y 5 postres. Para armar un menú completo tomás una decisión en cada etapa, y las decisiones son independientes entre sí.
Un restaurante ofrece un menú del día con $4$ primeros platos, $3$ segundos platos y $5$ postres. ¿De cuántas formas distintas se puede pedir un menú completo compuesto…
Un restaurante ofrece un menú del día con $4$ primeros platos, $3$ segundos platos y $5$ postres. ¿De cuántas formas distintas se puede pedir un menú completo compuesto por un primero, un segundo y un postre?
Una marca de bicicletas fabrica un modelo que está disponible en $3$ tamaños diferentes de cuadro, $5$ colores y con $2$ tipos de frenos distintos. ¿Cuántas versiones…
Una marca de bicicletas fabrica un modelo que está disponible en $3$ tamaños diferentes de cuadro, $5$ colores y con $2$ tipos de frenos distintos. ¿Cuántas versiones diferentes de este modelo de bicicleta existen en el mercado?
Para ir de la ciudad A a la ciudad B hay $3$ carreteras distintas, y para ir de la ciudad B a la ciudad C hay $2$ carreteras distintas. ¿De cuántas formas se puede…
Para ir de la ciudad A a la ciudad B hay $3$ carreteras distintas, y para ir de la ciudad B a la ciudad C hay $2$ carreteras distintas.
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¿De cuántas formas se puede viajar de A a C pasando obligatoriamente por B?
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Dibuja el diagrama de árbol correspondiente a este viaje.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
En una biblioteca de aula hay $12$ novelas de ciencia ficción, $8$ de novela histórica y $5$ biografías. Si solo tienes tiempo para leer un libro este fin de semana,…
En una biblioteca de aula hay $12$ novelas de ciencia ficción, $8$ de novela histórica y $5$ biografías. Si solo tienes tiempo para leer un libro este fin de semana, ¿cuántas opciones diferentes tienes para elegir?
Una contraseña para un sistema informático debe estar formada por $2$ letras del alfabeto (de $26$ letras posibles) seguidas de $3$ dígitos (del $0$ al $9$), o bien por…
Una contraseña para un sistema informático debe estar formada por $2$ letras del alfabeto (de $26$ letras posibles) seguidas de $3$ dígitos (del $0$ al $9$), o bien por $3$ letras seguidas de $2$ dígitos. Si se permite repetir tanto las letras como los dígitos, ¿cuántas contraseñas distintas se pueden crear en total?
Un examen tipo test consta de $10$ preguntas. Cada pregunta tiene $4$ opciones de respuesta, de las cuales solo una es correcta. ¿De cuántas formas diferentes se puede…
Un examen tipo test consta de $10$ preguntas. Cada pregunta tiene $4$ opciones de respuesta, de las cuales solo una es correcta.
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¿De cuántas formas diferentes se puede contestar el examen si es obligatorio marcar una opción en todas las preguntas?
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¿De cuántas formas se podría contestar si se permite dejar preguntas en blanco?
Un número capicúa es aquel que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda (por ejemplo, el número $35153$). ¿Cuántos números capicúas de $5$ cifras…
Un número capicúa es aquel que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda (por ejemplo, el número $35153$).
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¿Cuántos números capicúas de $5$ cifras existen en total?
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¿Cuántos de esos números capicúas de $5$ cifras son números pares?
Cuando las opciones cambian: restricciones
El principio también funciona cuando el número de opciones de una etapa depende de lo elegido antes, siempre que sepas cuántas quedan. Lo importante es empezar por la etapa más restringida.
Contar lo contrario
A veces es difícil contar los casos que cumplen "al menos una vez" algo, pero es fácil contar los que no lo cumplen. Entonces:
Contar por casos
Otras veces la cantidad de opciones de una etapa depende de una elección anterior de forma que no se puede dar un único producto. Se separan casos que no se superponen, se multiplica dentro de cada caso y después se suman los casos.
Utilizando únicamente los dígitos del conjunto $\{1, 2, 3, 4, 5\}$: ¿Cuántos números de $4$ cifras distintas se pueden formar? ¿Cuántos de esos números formados son…
Utilizando únicamente los dígitos del conjunto $\{1, 2, 3, 4, 5\}$:
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¿Cuántos números de $4$ cifras distintas se pueden formar?
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¿Cuántos de esos números formados son pares?
Se quiere diseñar una bandera con $3$ franjas verticales utilizando una paleta de $5$ colores disponibles. ¿De cuántas formas se puede colorear si dos franjas adyacentes…
Se quiere diseñar una bandera con $3$ franjas verticales utilizando una paleta de $5$ colores disponibles.
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¿De cuántas formas se puede colorear si dos franjas adyacentes no pueden tener el mismo color?
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¿De cuántas formas se puede colorear si, además de la condición anterior, la primera y la última franja también deben ser obligatoriamente de colores distintos?
En el sistema de numeración decimal, consideramos todos los números enteros comprendidos entre el $1000$ y el $9999$ (ambos inclusive). ¿Cuántos de estos números…
En el sistema de numeración decimal, consideramos todos los números enteros comprendidos entre el $1000$ y el $9999$ (ambos inclusive). ¿Cuántos de estos números contienen la cifra $7$ al menos una vez en su escritura?
En una clase de $20$ alumnos se debe elegir un equipo directivo formado por un presidente, un vicepresidente y un secretario (cargos distintos que no puede ocupar la…
En una clase de $20$ alumnos se debe elegir un equipo directivo formado por un presidente, un vicepresidente y un secretario (cargos distintos que no puede ocupar la misma persona simultáneamente). Una vez elegido el equipo directivo, se debe escoger a un delegado de deportes entre los $17$ alumnos restantes. ¿De cuántas formas diferentes se puede realizar todo este proceso de selección?
Diagramas de árbol
Un diagrama de árbol permite ver todos los casos cuando el número de opciones cambia de una etapa a la siguiente. Cada camino de la raíz a una hoja es un resultado posible.
Fijate que después de sacar una bola roja quedan 4 bolas para la segunda extracción (2 rojas y 2 azules), porque no se devuelve. Aun así, el árbol tiene 4 ramas finales: RR, RA, AR, AA.
Dibuja el diagrama de árbol para el experimento que consiste en lanzar una moneda regular y, a continuación, lanzar un dado con forma de tetraedro (con sus caras…
Dibuja el diagrama de árbol para el experimento que consiste en lanzar una moneda regular y, a continuación, lanzar un dado con forma de tetraedro (con sus caras numeradas del $1$ al $4$). ¿Cuántos resultados posibles tiene este experimento compuesto?
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Dos equipos de básquetbol, Alfa y Beta, juegan una eliminatoria al mejor de $3$ partidos (el primero que consiga ganar $2$ partidos se clasifica). Los empates no son…
Dos equipos de básquetbol, Alfa y Beta, juegan una eliminatoria al mejor de $3$ partidos (el primero que consiga ganar $2$ partidos se clasifica). Los empates no son posibles. Dibujá el diagrama de árbol con todos los desarrollos posibles de la eliminatoria. ¿De cuántas formas distintas puede transcurrir la serie de partidos?
En una urna hay $3$ bolas rojas y $2$ bolas azules. Se extraen dos bolas consecutivamente y sin devolverlas a la urna (sin reemplazamiento). Dibuja el diagrama de árbol…
En una urna hay $3$ bolas rojas y $2$ bolas azules. Se extraen dos bolas consecutivamente y sin devolverlas a la urna (sin reemplazamiento). Dibuja el diagrama de árbol del experimento y calcula cuántos resultados distintos se pueden obtener si tenemos en cuenta el orden de extracción y el color de las bolas.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Dos amigos, Ionut y Diana, juegan a un juego de mesa compuesto por varias rondas. El ganador final del juego será el primero que logre ganar $2$ rondas consecutivas o…
Dos amigos, Ionut y Diana, juegan a un juego de mesa compuesto por varias rondas. El ganador final del juego será el primero que logre ganar $2$ rondas consecutivas o bien $3$ rondas en total a lo largo de la partida. Sabiendo que los empates no son posibles en ninguna ronda, dibuja el diagrama de árbol correspondiente y determina el número máximo de rondas que pueden llegar a jugar y cuántos desarrollos distintos tiene el juego.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Caminos en una cuadrícula
Para contar caminos que solo van hacia la derecha o hacia arriba, se escribe en cada nudo cuántas formas hay de llegar a él. Un nudo recibe caminos desde el de su izquierda y desde el de abajo, así que su número es la suma de esos dos. Los nudos del borde tienen un solo camino.
En la figura, el robot sale de A y puede llegar a B avanzando dos pasos a la derecha y dos hacia arriba. Están anotados los caminos hasta cada nudo, menos en B.
Observa la cuadrícula de la figura. Un robot se desplaza desde el punto A hasta el punto B moviéndose únicamente hacia la derecha o hacia arriba a través de las líneas…
Observa la cuadrícula de la figura. Un robot se desplaza desde el punto A hasta el punto B moviéndose únicamente hacia la derecha o hacia arriba a través de las líneas de la cuadrícula. ¿Cuántos caminos diferentes puede tomar el robot para llegar a su destino?
El factorial
Cuando vas ubicando elementos y en cada etapa queda uno menos, aparece siempre el mismo producto: $n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 1$. Por su importancia tiene nombre y símbolo.
Cuando un factorial grande está dividido por uno más chico, no hace falta desarrollarlos: se cancela casi todo.
La misma idea sirve con letras: $\dfrac{(x+2)!}{x!} = (x+2)(x+1)$, porque $(x+2)! = (x+2)(x+1) \cdot x!$.
Calcula el valor de las siguientes expresiones numéricas utilizando las propiedades de los factoriales: $\frac{8!}{6!}$ $4! + 3!$
Calcula el valor de las siguientes expresiones numéricas utilizando las propiedades de los factoriales:
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$\frac{8!}{6!}$
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$4! + 3!$
Expresa los siguientes productos utilizando la notación matemática de factorial: $15 \cdot 14 \cdot 13$ $7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$
Expresa los siguientes productos utilizando la notación matemática de factorial:
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$15 \cdot 14 \cdot 13$
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$7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$
Simplifica la expresión algebraica $\frac{(x+2)!}{x!}$ y, a continuación, resuelve la ecuación $\frac{(x+2)!}{x!} = 72$.
Simplifica la expresión algebraica $\frac{(x+2)!}{x!}$ y, a continuación, resuelve la ecuación $\frac{(x+2)!}{x!} = 72$.
Resuelve la siguiente ecuación con factoriales, sabiendo que $n$ es un número natural: $$ \frac{(n+1)!}{(n-1)!} - \frac{(n-1)!}{(n-3)!} = 22 $$
Resuelve la siguiente ecuación con factoriales, sabiendo que $n$ es un número natural:
$$ \frac{(n+1)!}{(n-1)!} - \frac{(n-1)!}{(n-3)!} = 22 $$Demuestra algebraicamente la siguiente identidad válida para cualquier número natural $n \ge 1$: $$ n! + (n-1)! = (n+1) \cdot (n-1)! $$ Una vez demostrada, aplica este…
Demuestra algebraicamente la siguiente identidad válida para cualquier número natural $n \ge 1$:
$$ n! + (n-1)! = (n+1) \cdot (n-1)! $$Una vez demostrada, aplica este resultado para simplificar y calcular el valor exacto de la expresión $\frac{10! + 9!}{11!}$.
Ampliación: el principio del palomar
Si hay más palomas que palomares, algún palomar tiene al menos dos palomas. Sirve para garantizar que algo se repite sin encontrar el caso concreto.
En el cajón de una cómoda hay calcetines sueltos de $3$ colores distintos (negros, blancos y azules). Si hay un apagón y sacas calcetines a oscuras, ¿cuál es el número…
En el cajón de una cómoda hay calcetines sueltos de $3$ colores distintos (negros, blancos y azules). Si hay un apagón y sacas calcetines a oscuras, ¿cuál es el número mínimo de calcetines que debes extraer para asegurarte de tener al menos un par del mismo color?
En un liceo hay $400$ estudiantes inscriptos. Justificá matemáticamente por qué podés asegurar que al menos dos alumnos cumplen años el mismo día del año. ¿Cuántos…
En un liceo hay $400$ estudiantes inscriptos.
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Justificá matemáticamente por qué podés asegurar que al menos dos alumnos cumplen años el mismo día del año.
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¿Cuántos alumnos se necesitarían como mínimo en el liceo para garantizar que al menos tres de ellos comparten fecha de cumpleaños? (Considerá años no bisiestos de $365$ días).
Se eligen al azar $5$ puntos en el interior de un cuadrado de lado $2\text{ cm}$. Demuestra, utilizando el principio del palomar, que siempre habrá al menos dos puntos…
Se eligen al azar $5$ puntos en el interior de un cuadrado de lado $2\text{ cm}$. Demuestra, utilizando el principio del palomar, que siempre habrá al menos dos puntos cuya distancia entre ellos sea menor o igual a $\sqrt{2}\text{ cm}$. (Pista: divide el cuadrado en regiones estratégicas).
Vuelta al principio: un candado de bicicleta con 7 dígitos, cada uno del 0 al 9, tiene por el principio de la multiplicación $10^7 = 10.000.000$ códigos posibles. Sería absurdo listarlos, pero contarlos lleva un renglón.