Ecuación punto-pendiente de la recta
Un taller mecánico de Canelones cobra un monto fijo por la salida más un precio por hora. Sabés que por 2 horas cobraron $\$2.800$, pero nadie te dijo cuánto es la salida. ¿Se puede escribir la fórmula del costo igual? Sí: la ecuación punto-pendiente usa cualquier punto de la recta y la pendiente, sin necesidad de conocer la ordenada en el origen. Al final volvemos a este taller.
Deducción de la ecuación punto-pendiente
Si una recta tiene pendiente $m$ y pasa por $P(x_1, y_1)$, cualquier otro punto $(x, y)$ de la recta cumple, por definición de pendiente, $$m = \frac{y-y_1}{x-x_1}$$ Multiplicando ambos miembros por $(x-x_1)$ queda la forma punto-pendiente.
Escribe la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto $P(3, -2)$ y tiene pendiente $m = 4$.
Escribe la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto $P(3, -2)$ y tiene pendiente $m = 4$.
Dada la recta de ecuación $y - 5 = -2(x + 1)$, indica cuál es su pendiente y obtén directamente de la fórmula las coordenadas de un punto por el que pasa.
Dada la recta de ecuación $y - 5 = -2(x + 1)$, indica cuál es su pendiente y obtén directamente de la fórmula las coordenadas de un punto por el que pasa.
Formas explícita y general
Cortes con los ejes
La raíz es el punto donde la recta corta el eje $x$ (se hace $y = 0$) y la ordenada en el origen es donde corta el eje $y$ (se hace $x = 0$).
Transforma la ecuación punto-pendiente $y + 3 = \frac{1}{2}(x - 4)$ a su forma explícita $y = mx + n$.
Transforma la ecuación punto-pendiente $y + 3 = \frac{1}{2}(x - 4)$ a su forma explícita $y = mx + n$.
A partir de la ecuación general de la recta $3x - 5y + 15 = 0$, halla un punto de la misma cuya coordenada $x$ sea entera, calcula su pendiente y escribe la ecuación…
A partir de la ecuación general de la recta $3x - 5y + 15 = 0$, halla un punto de la misma cuya coordenada $x$ sea entera, calcula su pendiente y escribe la ecuación correspondiente en forma punto-pendiente.
Calcula el área del triángulo que forma la recta de ecuación $y - 4 = -\frac{2}{3}(x + 3)$ con los ejes de coordenadas. Para ello, halla en primer lugar los puntos de…
Calcula el área del triángulo que forma la recta de ecuación $y - 4 = -\frac{2}{3}(x + 3)$ con los ejes de coordenadas. Para ello, halla en primer lugar los puntos de corte de la recta con los ejes.
Recta determinada por dos puntos
Si conocés $A(x_1, y_1)$ y $B(x_2, y_2)$ con $x_1 \neq x_2$: primero calculás la pendiente y después aplicás punto-pendiente con cualquiera de los dos puntos.
Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos $A(-1, 5)$ y $B(2, 11)$. A continuación, escribe su ecuación en forma punto-pendiente utilizando el punto $A$.
Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos $A(-1, 5)$ y $B(2, 11)$. A continuación, escribe su ecuación en forma punto-pendiente utilizando el punto $A$.
En la gráfica de una recta se destacan los puntos $(0, 0)$ y $P(2, 3)$. A partir de los puntos destacados, calcula la pendiente de la recta y escribe su ecuación en…
En la gráfica de una recta se destacan los puntos $(0, 0)$ y $P(2, 3)$. A partir de los puntos destacados, calcula la pendiente de la recta y escribe su ecuación en forma punto-pendiente tomando como referencia el punto $P$.
Obtén la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto $P(-3, 5)$ y es paralela a la recta que une los puntos $M(1, -2)$ y $N(4, 7)$.
Obtén la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto $P(-3, 5)$ y es paralela a la recta que une los puntos $M(1, -2)$ y $N(4, 7)$.
Rectas paralelas y perpendiculares
Escribe la ecuación punto-pendiente de la recta paralela a $y = 3x - 7$ que pasa por el punto $Q(-4, 1)$.
Escribe la ecuación punto-pendiente de la recta paralela a $y = 3x - 7$ que pasa por el punto $Q(-4, 1)$.
Halla la ecuación punto-pendiente de la recta que es perpendicular a la recta $y - 2 = \frac{3}{4}(x + 1)$ y que pasa por el origen de coordenadas.
Halla la ecuación punto-pendiente de la recta que es perpendicular a la recta $y - 2 = \frac{3}{4}(x + 1)$ y que pasa por el origen de coordenadas.
Alineación, mediatriz, bisectriz y altura
Escribe la ecuación punto-pendiente de la recta bisectriz del primer y tercer cuadrante. Después, escribe la ecuación punto-pendiente de la recta bisectriz del segundo y…
Escribe la ecuación punto-pendiente de la recta bisectriz del primer y tercer cuadrante. Después, escribe la ecuación punto-pendiente de la recta bisectriz del segundo y cuarto cuadrante, utilizando en ambos casos el origen de coordenadas.
Comprueba analíticamente si los puntos $A(-2, 4)$, $B(1, -2)$ y $C(5, -10)$ están alineados. Para ello, halla primero la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa…
Comprueba analíticamente si los puntos $A(-2, 4)$, $B(1, -2)$ y $C(5, -10)$ están alineados. Para ello, halla primero la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por $A$ y $B$, y luego verifica si las coordenadas de $C$ satisfacen dicha ecuación.
Dado el triángulo de vértices $A(1, 1)$, $B(7, 4)$ y $C(3, 7)$, halla la ecuación punto-pendiente de la altura correspondiente al vértice $C$.
Dado el triángulo de vértices $A(1, 1)$, $B(7, 4)$ y $C(3, 7)$, halla la ecuación punto-pendiente de la altura correspondiente al vértice $C$.
Intersección de rectas y reflexión
Dos rectas no paralelas se cortan en un único punto. Sus coordenadas cumplen las dos ecuaciones a la vez, así que se hallan resolviendo el sistema, por sustitución o igualación.
Reflexión en el eje $x$
Si un rayo choca contra el eje $x$ (como un espejo), el ángulo de incidencia es igual al de reflexión. La recta reflejada es la simétrica de la original respecto del eje $x$: cada punto $(x, y)$ pasa a $(x, -y)$. Entonces:
-
el punto de impacto (sobre el eje, $y = 0$) no cambia;
-
la pendiente cambia de signo: $m' = -m$.
Determina el valor del parámetro $k$ para que la recta de ecuación $y - 3 = k(x + 2)$ pase por el punto de intersección de las rectas $r: 2x + y - 8 = 0$ y…
Determina el valor del parámetro $k$ para que la recta de ecuación $y - 3 = k(x + 2)$ pase por el punto de intersección de las rectas $r: 2x + y - 8 = 0$ y $s: x - 3y + 3 = 0$.
Un rayo de luz sigue una trayectoria en línea recta dada por la ecuación $y - 5 = -\frac{1}{2}(x - 2)$. Al llegar al eje de abscisas (que actúa como un espejo plano…
Un rayo de luz sigue una trayectoria en línea recta dada por la ecuación $y - 5 = -\frac{1}{2}(x - 2)$. Al llegar al eje de abscisas (que actúa como un espejo plano perfecto), el rayo se refleja. Sabiendo que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión, halla la ecuación punto-pendiente del rayo reflejado tomando como referencia el punto de impacto en el espejo.
Problemas con rectas
Cuando una magnitud varía a ritmo constante, su gráfica es una recta: la pendiente es el ritmo de cambio (pesos por hora, km por hora, etc.) y cualquier dato conocido sirve de punto.
Un sanitario cobra $1\,200$ pesos por el traslado a domicilio y $800$ pesos por cada hora de trabajo. Si sabemos que por un trabajo de $2$ horas cobró un total de…
Un sanitario cobra $1\,200$ pesos por el traslado a domicilio y $800$ pesos por cada hora de trabajo. Si sabemos que por un trabajo de $2$ horas cobró un total de $2\,800$ pesos, escribí la ecuación punto-pendiente que relaciona el costo total con las horas trabajadas, tomando como referencia este punto conocido.
Un auto circula por una ruta recta a velocidad constante. A las $10:00$ horas se encuentra en el kilómetro $45$ y a las $12:30$ horas pasa por el kilómetro $245$.…
Un auto circula por una ruta recta a velocidad constante. A las $10:00$ horas se encuentra en el kilómetro $45$ y a las $12:30$ horas pasa por el kilómetro $245$. Escribí la ecuación punto-pendiente que modeliza la posición del auto en función del tiempo transcurrido desde las $10:00$ horas, expresando el tiempo en horas.
La escala de temperaturas Celsius ($^\circ C$) y Fahrenheit ($^\circ F$) tienen una relación lineal. Sabiendo que el agua se congela a $0^\circ C$ ($32^\circ F$) y…
La escala de temperaturas Celsius ($^\circ C$) y Fahrenheit ($^\circ F$) tienen una relación lineal. Sabiendo que el agua se congela a $0^\circ C$ ($32^\circ F$) y hierve a $100^\circ C$ ($212^\circ F$), deduce la ecuación punto-pendiente que permite convertir grados Celsius a Fahrenheit utilizando el punto de congelación. A continuación, úsala para calcular la temperatura en Fahrenheit equivalente a la temperatura corporal humana normal de $37^\circ C$.