Combinaciones: selecciones sin ordenación
Un sábado, 12 amigos se juntan a tomar mate y, al llegar, todos se saludan con un apretón de manos. ¿Cuántos apretones hay en total? Contarlos de a uno es un lío. En este apartado vas a ver cómo contarlos con una fórmula, y también cómo contar equipos, caminos y repartos.
Elegir sin importar el orden
Un saludo entre Valentina y Mateo es el mismo que entre Mateo y Valentina. Cuando en una selección el orden no importa, hablamos de combinaciones: el número de formas de elegir $k$ elementos entre $n$ se escribe $C_{n,k}$.
¿Por qué ese cociente? Si importara el orden habría $n(n-1)\cdots(n-k+1)$ listas. Cada grupo aparece repetido $k!$ veces (todas las formas de ordenarlo), así que se divide entre $k!$.
En un torneo de ajedrez participan $14$ jugadores. Si cada jugador debe enfrentarse una sola vez a todos los demás, determina el número total de partidas que se…
En un torneo de ajedrez participan $14$ jugadores. Si cada jugador debe enfrentarse una sola vez a todos los demás, determina el número total de partidas que se disputarán en el torneo.
Para preparar una ensalada, dispones de $8$ ingredientes diferentes (lechuga, tomate, zanahoria, cebolla, pepino, atún, maíz y aceitunas). Calcula cuántas ensaladas…
Para preparar una ensalada, dispones de $8$ ingredientes diferentes (lechuga, tomate, zanahoria, cebolla, pepino, atún, maíz y aceitunas). Calcula cuántas ensaladas distintas de $4$ ingredientes puedes elaborar.
De una baraja española de $40$ cartas, se extraen simultáneamente $3$ cartas al azar. Determiná cuántos resultados distintos se pueden obtener.
De una baraja española de $40$ cartas, se extraen simultáneamente $3$ cartas al azar. Determiná cuántos resultados distintos se pueden obtener.
Propiedades del número combinatorio
Halla el valor de $x$ en la siguiente igualdad entre números combinatorios, sabiendo que $x \neq 4$: $\binom{x}{4} = \binom{x}{7}$
Halla el valor de $x$ en la siguiente igualdad entre números combinatorios, sabiendo que $x \neq 4$:
$\binom{x}{4} = \binom{x}{7}$
Calcula el valor de la siguiente expresión utilizando las propiedades de los números combinatorios: $\binom{8}{3} + \binom{8}{4}$
Calcula el valor de la siguiente expresión utilizando las propiedades de los números combinatorios:
$\binom{8}{3} + \binom{8}{4}$
Ecuaciones combinatorias
Cuando la incógnita está dentro del número combinatorio, desarrollá el factorial, simplificá y resolvé la ecuación que queda (muchas veces de segundo grado: podés repasarla con la fórmula resolvente).
Resuelve la siguiente ecuación para encontrar el valor del número natural $n$: $C_{n, 2} = 45$
Resuelve la siguiente ecuación para encontrar el valor del número natural $n$:
$C_{n, 2} = 45$
Encuentra el valor de $x$ que satisface la siguiente ecuación combinatoria: $\binom{x}{2} + \binom{x-1}{2} = 25$
Encuentra el valor de $x$ que satisface la siguiente ecuación combinatoria:
$\binom{x}{2} + \binom{x-1}{2} = 25$
Selecciones con condiciones
Muchas veces hay que formar un grupo con cantidades fijas de cada tipo, o con algún elemento obligatorio.
Una empresa necesita formar un equipo de proyecto compuesto por $3$ ingenieros y $2$ economistas. Si en la plantilla hay $8$ ingenieros y $5$ economistas disponibles,…
Una empresa necesita formar un equipo de proyecto compuesto por $3$ ingenieros y $2$ economistas. Si en la plantilla hay $8$ ingenieros y $5$ economistas disponibles, calcula cuántos equipos distintos se pueden formar.
En un cuestionario de $12$ preguntas, debes contestar obligatoriamente un total de $8$. Sin embargo, las $3$ primeras preguntas son de respuesta obligatoria. Determina…
En un cuestionario de $12$ preguntas, debes contestar obligatoriamente un total de $8$. Sin embargo, las $3$ primeras preguntas son de respuesta obligatoria. Determina de cuántas formas diferentes puedes completar tu selección de preguntas.
Un hospital debe formar un equipo de guardia nocturna de $5$ personas, seleccionado de un grupo de $7$ médicos y $6$ enfermeros. Calcula cuántos equipos distintos se…
Un hospital debe formar un equipo de guardia nocturna de $5$ personas, seleccionado de un grupo de $7$ médicos y $6$ enfermeros. Calcula cuántos equipos distintos se pueden formar si la normativa exige que el equipo contenga al menos $3$ médicos.
Otros problemas piden contar todo menos lo que no sirve. Para «exactamente 3 oros» en una mano de 5 cartas de una baraja de 40 (10 por palo), elegís 3 de los 10 oros y las otras 2 de las 30 que no son oros.
Se extraen $5$ cartas simultáneamente de una baraja española de $40$ cartas (dividida en $4$ palos de $10$ cartas cada uno). Determiná en cuántos de los resultados…
Se extraen $5$ cartas simultáneamente de una baraja española de $40$ cartas (dividida en $4$ palos de $10$ cartas cada uno). Determiná en cuántos de los resultados posibles hay exactamente $3$ cartas del palo de oros.
Una urna contiene $6$ bolas rojas, $5$ bolas azules y $4$ bolas verdes. Se extraen $4$ bolas simultáneamente. Calcula cuántos resultados distintos contienen exactamente…
Una urna contiene $6$ bolas rojas, $5$ bolas azules y $4$ bolas verdes. Se extraen $4$ bolas simultáneamente. Calcula cuántos resultados distintos contienen exactamente $2$ bolas rojas y al menos $1$ bola azul.
El juego de la Lotería Primitiva consiste en elegir $6$ números de un total de $49$. Si ya se conoce la combinación ganadora de $6$ números, calcula cuántas apuestas…
El juego de la Lotería Primitiva consiste en elegir $6$ números de un total de $49$. Si ya se conoce la combinación ganadora de $6$ números, calcula cuántas apuestas diferentes de las posibles obtendrían exactamente $4$ aciertos.
Combinaciones en la geometría
Cada segmento queda determinado por dos puntos y no importa el orden: hay $C_{n,2}$ segmentos entre $n$ puntos. Las diagonales de un polígono son esos segmentos, menos los lados.
Se marcan $7$ puntos sobre una circunferencia. Calcula cuántos segmentos distintos se pueden trazar uniendo dos de estos puntos.
Se marcan $7$ puntos sobre una circunferencia. Calcula cuántos segmentos distintos se pueden trazar uniendo dos de estos puntos.
Calcula el número total de diagonales que se pueden trazar en un polígono regular de $10$ lados (decágono).
Calcula el número total de diagonales que se pueden trazar en un polígono regular de $10$ lados (decágono).
En una cuadrícula formada por $9$ puntos distribuidos en $3$ filas y $3$ columnas, determina cuántos triángulos distintos se pueden formar utilizando estos puntos como…
En una cuadrícula formada por $9$ puntos distribuidos en $3$ filas y $3$ columnas, determina cuántos triángulos distintos se pueden formar utilizando estos puntos como vértices. Ten en cuenta que tres puntos alineados no forman un triángulo.
Caminos en una cuadrícula
Un robot va de $A$ a $B$ moviéndose solo a la derecha o hacia arriba. Si debe dar $m$ pasos a la derecha y $p$ hacia arriba, el camino tiene $m+p$ pasos, y queda determinado al elegir cuáles $m$ son «derecha».
Un robot se desplaza por una cuadrícula desde el punto $A$ hasta el punto $B$. Solo puede realizar movimientos hacia la derecha o hacia arriba, avanzando una…
Un robot se desplaza por una cuadrícula desde el punto $A$ hasta el punto $B$. Solo puede realizar movimientos hacia la derecha o hacia arriba, avanzando una intersección en cada paso. Calcula el número de trayectorias distintas que puede seguir.
Un robot se desplaza por una cuadrícula desde el nodo $A$ hasta el nodo $B$, moviéndose únicamente hacia la derecha y hacia arriba. Debe pasar obligatoriamente por el…
Un robot se desplaza por una cuadrícula desde el nodo $A$ hasta el nodo $B$, moviéndose únicamente hacia la derecha y hacia arriba. Debe pasar obligatoriamente por el nodo $C$ para recoger un paquete. Determina cuántas rutas válidas existen.
Combinaciones con repetición
En una pastelería hay 6 tipos de pasteles y querés llevar 4, pudiendo repetir tipos. Acá importa cuántos de cada tipo, no el orden, pero un tipo puede aparecer varias veces.
En una pastelería se venden $6$ tipos diferentes de pasteles. Determina de cuántas formas distintas se pueden comprar $4$ pasteles, teniendo en cuenta que se pueden…
En una pastelería se venden $6$ tipos diferentes de pasteles. Determina de cuántas formas distintas se pueden comprar $4$ pasteles, teniendo en cuenta que se pueden elegir varios del mismo tipo.
Dispones de $8$ entradas idénticas para un concierto y quieres repartirlas entre tus $4$ mejores amigos. Calcula de cuántas formas puedes distribuirlas, sabiendo que a…
Dispones de $8$ entradas idénticas para un concierto y quieres repartirlas entre tus $4$ mejores amigos. Calcula de cuántas formas puedes distribuirlas, sabiendo que a un amigo le pueden tocar varias entradas o incluso ninguna.
En una heladería ofrecen $5$ sabores diferentes. Quieres comprar $8$ tarrinas de helado para una fiesta, pero deseas asegurarte de llevar al menos una tarrina de cada…
En una heladería ofrecen $5$ sabores diferentes. Quieres comprar $8$ tarrinas de helado para una fiesta, pero deseas asegurarte de llevar al menos una tarrina de cada uno de los $5$ sabores. Calcula de cuántas formas distintas puedes hacer tu pedido.
El juego del dominó tradicional llega hasta el doble seis (las puntuaciones van del $0$ al $6$). Un fabricante decide crear un "súper dominó" que llegue hasta el doble…
El juego del dominó tradicional llega hasta el doble seis (las puntuaciones van del $0$ al $6$). Un fabricante decide crear un "súper dominó" que llegue hasta el doble nueve (las puntuaciones van del $0$ al $9$). Calcula cuántas fichas en total tendrá este nuevo juego y cuántas de ellas no serán dobles.
Volvé al principio: 12 personas que se saludan de a pares dan $C_{12,2} = 66$ apretones de manos.
Un examen consta de $10$ preguntas. El profesor indica que los alumnos deben elegir y responder únicamente $6$ de ellas. Determina de cuántas formas distintas puede un…
Un examen consta de $10$ preguntas. El profesor indica que los alumnos deben elegir y responder únicamente $6$ de ellas. Determina de cuántas formas distintas puede un alumno seleccionar las preguntas a responder.
En una reunión de trabajo hay $12$ personas. Al finalizar, todos se despiden estrechándose la mano una sola vez. Calcula cuántos apretones de manos se producen en total.
En una reunión de trabajo hay $12$ personas. Al finalizar, todos se despiden estrechándose la mano una sola vez. Calcula cuántos apretones de manos se producen en total.