Funciones exponenciales
Una cuenta de Instagram se hace viral y triplica sus seguidores cada día. Una muestra radiactiva pierde la mitad de su masa cada cierto tiempo. En los dos casos la cantidad no cambia sumando siempre lo mismo (como en una recta), sino multiplicando siempre por el mismo factor. Eso es crecimiento o decrecimiento exponencial, y la variable ya no está en la base sino en el exponente.
La función exponencial
Movés la base y fijate qué no cambia:
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Todas las funciones $y=a^x$ pasan por $(0, 1)$, porque $a^0=1$ siempre. Es la ordenada en el origen.
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También pasan por $(1, a)$.
También se puede ir al revés: calcular una preimagen es buscar qué $x$ da un valor dado. Si el valor se puede escribir como potencia de la base, alcanza con igualar exponentes (porque $a^m=a^n \Rightarrow m=n$ cuando $a>0$, $a\neq1$).
Dada la función exponencial $f(x) = 2^x$, calcula las imágenes para los valores $x = -2$, $x = 0$ y $x = 3$.
Dada la función exponencial $f(x) = 2^x$, calcula las imágenes para los valores $x = -2$, $x = 0$ y $x = 3$.
Halla el valor de $x$ en las siguientes igualdades exponenciales elementales: a) $2^x = 64$ b) $3^x = \frac{1}{9}$
Halla el valor de $x$ en las siguientes igualdades exponenciales elementales:
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a) $2^x = 64$
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b) $3^x = \frac{1}{9}$
Crecimiento si $a>1$, decrecimiento si $0<a<1$
Las gráficas de $y=3^x$ e $y=\left(\frac13\right)^x$ son simétricas respecto al eje $y$, porque $\left(\frac13\right)^x = 3^{-x}$. Eso ayuda a asociar una gráfica con su fórmula: la que sube hacia la derecha tiene base mayor que $1$.
Indica, razonando tu respuesta, cuáles de las siguientes funciones exponenciales son crecientes y cuáles son decrecientes: a) $f(x) = 1,2^x$ b) $g(x) = 0,7^x$ c)…
Indica, razonando tu respuesta, cuáles de las siguientes funciones exponenciales son crecientes y cuáles son decrecientes:
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a) $f(x) = 1,2^x$
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b) $g(x) = 0,7^x$
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c) $h(x) = \left(\frac{4}{3}\right)^x$
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d) $i(x) = \left(\frac{2}{5}\right)^x$
Observa las gráficas A y B representadas en la siguiente figura. Asocia cada una de ellas con su correspondiente expresión analítica: $y = 3^x$ o…
Observa las gráficas A y B representadas en la siguiente figura. Asocia cada una de ellas con su correspondiente expresión analítica: $y = 3^x$ o $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$.
Dominio, recorrido, asíntota y traslaciones
En $g(x)=a^{x-p}+q$, el exponente $x-p$ desplaza la curva $p$ unidades en horizontal, y el $+q$ la desplaza $q$ unidades en vertical, llevándose consigo la asíntota: la nueva asíntota es $y=q$.
Para hallar las intersecciones con los ejes:
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Ordenada en el origen: se calcula $f(0)$.
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Raíces: se resuelve $f(x)=0$ (puede no haber).
Determina el dominio, el recorrido y el punto de corte con el eje de ordenadas de la función exponencial $f(x) = 0,5^x$.
Determina el dominio, el recorrido y el punto de corte con el eje de ordenadas de la función exponencial $f(x) = 0,5^x$.
Representa gráficamente la función $f(x) = 3^{x-2} + 1$ elaborando previamente una tabla de valores. Indica cuál es la ecuación de su asíntota horizontal y calcula las…
Representa gráficamente la función $f(x) = 3^{x-2} + 1$ elaborando previamente una tabla de valores. Indica cuál es la ecuación de su asíntota horizontal y calcula las coordenadas de su punto de corte con el eje de ordenadas.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Halla, de forma analítica, las coordenadas exactas de los puntos de corte con el eje de abscisas y con el eje de ordenadas de la función exponencial $f(x) = 2^{x+1} - 8$.
Halla, de forma analítica, las coordenadas exactas de los puntos de corte con el eje de abscisas y con el eje de ordenadas de la función exponencial $f(x) = 2^{x+1} - 8$.
Ecuaciones exponenciales elementales
Si los dos lados de una ecuación exponencial se pueden escribir con la misma base, alcanza con igualar los exponentes. Si aparecen varios términos con la misma base y distinto exponente, se saca factor común.
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales igualando las bases a ambos lados de la igualdad: a) $5^{2x-1} = 125$ b) $2^{x+3} = \frac{1}{4}$
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales igualando las bases a ambos lados de la igualdad:
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a) $5^{2x-1} = 125$
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b) $2^{x+3} = \frac{1}{4}$
Resuelve la siguiente ecuación exponencial extrayendo factor común previamente: $3^x + 3^{x+1} = 36$
Resuelve la siguiente ecuación exponencial extrayendo factor común previamente:
$3^x + 3^{x+1} = 36$
Resuelve la siguiente ecuación exponencial aplicando las propiedades de las potencias y extrayendo factor común: $2^{x-1} + 2^{x-2} + 2^{x-3} = 56$
Resuelve la siguiente ecuación exponencial aplicando las propiedades de las potencias y extrayendo factor común:
$2^{x-1} + 2^{x-2} + 2^{x-3} = 56$
Hallar la base y las constantes a partir de datos
Si sabés por qué punto pasa la gráfica, sustituís y resolvés. Cada dato da una ecuación.
Con una gráfica de la forma $f(x)=a^x+b$ se procede igual: la asíntota horizontal da $b$, y un punto de la curva da $a$.
La gráfica de una función exponencial del tipo $f(x) = a^x$ pasa por el punto $(3, 8)$. Calcula el valor de la base $a$.
La gráfica de una función exponencial del tipo $f(x) = a^x$ pasa por el punto $(3, 8)$. Calcula el valor de la base $a$.
La siguiente gráfica corresponde a una función exponencial de la forma $f(x) = a^x + b$. Observa sus elementos característicos, como la asíntota horizontal y los puntos…
La siguiente gráfica corresponde a una función exponencial de la forma $f(x) = a^x + b$. Observa sus elementos característicos, como la asíntota horizontal y los puntos por los que pasa, y determina los valores de los parámetros $a$ y $b$.
La evolución de una determinada plaga de insectos sigue un modelo exponencial de la forma $N(t) = k \cdot a^t$, donde $N(t)$ es el número de insectos y $t$ es el tiempo…
La evolución de una determinada plaga de insectos sigue un modelo exponencial de la forma $N(t) = k \cdot a^t$, donde $N(t)$ es el número de insectos y $t$ es el tiempo en semanas. Sabiendo que en el instante inicial ($t=0$) había $5$ insectos y que a las $2$ semanas había $45$ insectos, calcula los valores de las constantes $k$ y $a$. A continuación, determina cuántos insectos habrá a las $4$ semanas.
Interés compuesto
Cuando una cantidad cambia un porcentaje fijo en cada período, se multiplica siempre por el mismo factor: $$C(t)=C_0\cdot b^t$$ con $b=1+r$ si crece un $r$ (en tanto por uno) y $b=1-r$ si decrece un $r$.
Una familia ingresa $80\,000$ pesos en una cuenta bancaria que ofrece un interés compuesto del $4 \%$ anual. ¿Qué capital tendrán al cabo de $2$ años si no retiran…
Una familia ingresa $80\,000$ pesos en una cuenta bancaria que ofrece un interés compuesto del $4 \%$ anual. ¿Qué capital tendrán al cabo de $2$ años si no retiran ningún dinero de la cuenta?
Un inversor desea obtener un capital final de $200\,000$ pesos dentro de $5$ años. Si su banco le ofrece un depósito con un interés compuesto del $3 \%$ anual, ¿qué…
Un inversor desea obtener un capital final de $200\,000$ pesos dentro de $5$ años. Si su banco le ofrece un depósito con un interés compuesto del $3 \%$ anual, ¿qué capital inicial debe invertir hoy para lograr su objetivo? (Redondeá el resultado a los centavos).
Dos hermanos reciben una herencia de $400\,000$ pesos cada uno. El primero decide invertir su dinero a un interés simple del $5 \%$ anual, mientras que el segundo lo…
Dos hermanos reciben una herencia de $400\,000$ pesos cada uno. El primero decide invertir su dinero a un interés simple del $5 \%$ anual, mientras que el segundo lo invierte a un interés compuesto del $4 \%$ anual. Escribe las funciones que describen el capital de cada hermano a lo largo del tiempo. ¿Quién tendrá más dinero al cabo de $10$ años? ¿Y al cabo de $20$ años?
Capitalización en subperíodos: tasa nominal y efectiva
A veces los intereses se abonan varias veces por año. Si la tasa nominal anual es $r$ y se capitaliza $m$ veces al año, en cada subperíodo se aplica $\dfrac rm$ y en $t$ años hay $m\cdot t$ subperíodos: $$C(t)=C_0\cdot\left(1+\dfrac rm\right)^{m\cdot t}$$
Un banco ofrece un producto de inversión con un interés nominal anual del $6 \%$. a) Escribe la función que modeliza el capital final si se invierten $120\,000$ pesos y…
Un banco ofrece un producto de inversión con un interés nominal anual del $6 \%$.
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a) Escribe la función que modeliza el capital final si se invierten $120\,000$ pesos y los intereses se abonan anualmente (interés compuesto anual).
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b) Escribe la función si los intereses se abonan mensualmente (interés compuesto mensual).
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c) Calcula la diferencia exacta de capital obtenido entre ambas modalidades al cabo de $5$ años.
Otros modelos: crecimiento, depreciación y decaimiento
El mismo molde $C(t)=C_0\cdot b^t$ sirve para cualquier proceso con variación porcentual fija. Solo hay que identificar el valor inicial y el factor $b$.
El número de seguidores de una cuenta que acaba de hacerse viral se triplica cada día. Si inicialmente tiene $100$ seguidores, escribe la función que relaciona el número…
El número de seguidores de una cuenta que acaba de hacerse viral se triplica cada día. Si inicialmente tiene $100$ seguidores, escribe la función que relaciona el número de seguidores con el tiempo transcurrido en días, y calcula cuántos seguidores habrá al cabo de $3$ días.
Una muestra de un isótopo radiactivo tiene una masa inicial de $200$ gramos. Se sabe que su masa se reduce a la mitad cada $10$ años. Escribe la expresión analítica de…
Una muestra de un isótopo radiactivo tiene una masa inicial de $200$ gramos. Se sabe que su masa se reduce a la mitad cada $10$ años. Escribe la expresión analítica de la función que da la masa restante en función del tiempo (en años) y calcula cuántos gramos quedarán exactamente al cabo de $30$ años.
El precio de un teléfono celular de alta gama recién salido al mercado es de $32\,000$ pesos. Debido a la obsolescencia tecnológica, su valor se deprecia un $20 \%$ cada…
El precio de un teléfono celular de alta gama recién salido al mercado es de $32\,000$ pesos. Debido a la obsolescencia tecnológica, su valor se deprecia un $20 \%$ cada año. Escribí la función que modeliza el precio del celular en función de los años transcurridos y calculá cuál será su valor al cabo de $4$ años.
Cuando las bases no se igualan: tabla de valores
No siempre se puede escribir un número como potencia de la base. Si queremos saber cuándo una cantidad alcanza cierto valor, armamos una tabla de valores y vamos acotando.
Para comparar dos modelos (por ejemplo, una población que crece y otra que decrece) se hace una tabla con las dos funciones y se busca entre qué años cambia cuál es mayor.
Cuando hay un valor al que la cantidad tiende (como la temperatura de la habitación al enfriarse un té), el modelo es $T(t)=T_a+k\cdot b^t$ con $0 La población de una ciudad A es actualmente de $100000$ habitantes y crece a un ritmo constante del $4 \%$ anual. La población de una ciudad B es de $150000$ habitantes y decrece a un ritmo del $2 \%$ anual. Escribe las funciones de población de ambas ciudades. Comprueba, usando la calculadora mediante ensayo y error (o aplicando logaritmos), en qué año exacto la ciudad A superará en población a la ciudad B. Según la ley de enfriamiento de Newton, la temperatura de una taza de té en una habitación se modeliza mediante la función $T(t) = 20 + 70 \cdot 0,8^t$, donde $T(t)$ es la temperatura en grados Celsius y $t$ es el tiempo en minutos transcurrido desde que se sirvió. a) ¿Cuál era la temperatura inicial del té? b) ¿Cuál es la temperatura ambiente de la habitación? (Razona qué ocurre cuando el tiempo $t$ se hace muy grande). c) Plantea la ecuación para calcular en qué minuto la temperatura del té será exactamente de $55$ ºC y resuélvela. La farmacocinética estudia cómo se elimina un medicamento del cuerpo humano. A un paciente se le administra una dosis inicial de $50$ mg de un fármaco. La cantidad en sangre disminuye exponencialmente de modo que cada $6$ horas la cantidad se reduce a la mitad. a) Escribe la función $C(t)$ que expresa los miligramos de fármaco en sangre en función del tiempo $t$ medido en horas. b) ¿Qué cantidad de fármaco quedará en la sangre del paciente al cabo de un día completo ($24$ horas)?La población de una ciudad A es actualmente de $100000$ habitantes y crece a un ritmo constante del $4 \%$ anual. La población de una ciudad B es de $150000$ habitantes…
Según la ley de enfriamiento de Newton, la temperatura de una taza de té en una habitación se modeliza mediante la función $T(t) = 20 + 70 \cdot 0,8^t$, donde $T(t)$ es…
La farmacocinética estudia cómo se elimina un medicamento del cuerpo humano. A un paciente se le administra una dosis inicial de $50$ mg de un fármaco. La cantidad en…
Con valor absoluto
Para $f(x)=|3^x-9|$ se busca primero dónde cambia de signo lo de adentro: $3^x-9=0 \Rightarrow x=2$. Para $x\ge2$, $f(x)=3^x-9$; para $x<2$, $f(x)=9-3^x$. La gráfica refleja hacia arriba la parte que quedaría debajo del eje $x$.
Dada la función con valor absoluto $f(x) = |3^x - 9|$: a) Escríbela como una función definida a trozos, calculando previamente en qué punto la expresión interior cambia…
Dada la función con valor absoluto $f(x) = |3^x - 9|$:
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a) Escríbela como una función definida a trozos, calculando previamente en qué punto la expresión interior cambia de signo.
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b) Determina sus puntos de corte con los ejes de coordenadas.
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c) Indica en qué intervalos la función es creciente y en cuáles es decreciente.
Vuelta al principio: si la cuenta viral parte de $50$ seguidores y los triplica cada día, la función es $S(t) = 50 \cdot 3^t$, y a los $4$ días tendrá $50 \cdot 3^4 = 50 \cdot 81 = 4.050$ seguidores.