Diagramas de caja
Dos líneas de ómnibus de Montevideo tienen la misma mediana de demora entre un ómnibus y el siguiente: $12$ minutos. En la línea A la demora más larga que se registró fue de $20$ minutos. En la línea B hubo días de $40$. ¿Con cuál de las dos conviene confiar para llegar a hora al liceo? El diagrama de caja y bigotes resume en un solo dibujo el centro, la dispersión y los casos extraños de un conjunto de datos, y por eso permite responder preguntas como esta.
El resumen de cinco números
Para calcular los cuartiles de una lista de datos, seguí estos pasos:
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Ordená los datos de menor a mayor.
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La mediana $Me$ es el dato del medio (si hay una cantidad par, el promedio de los dos del medio).
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$Q_1$ es la mediana de la mitad inferior y $Q_3$ es la mediana de la mitad superior. Si la cantidad de datos es impar, la mediana no se incluye en ninguna de las dos mitades.
Probá con otros datos y mirá cómo se mueve la caja:
Se han registrado las edades de 7 estudiantes de un taller de teatro: $12, 14, 15, 18, 20, 22, 25$. Calcula el mínimo, el primer cuartil ($Q_1$), la mediana ($Me$), el…
Se han registrado las edades de 7 estudiantes de un taller de teatro: $12, 14, 15, 18, 20, 22, 25$.
Calcula el mínimo, el primer cuartil ($Q_1$), la mediana ($Me$), el tercer cuartil ($Q_3$) y el máximo. Determina también el rango intercuartílico ($IQR$).
Dada la siguiente lista de temperaturas en grados Celsius registradas durante 8 días, desordenadas: $15, 12, 19, 14, 18, 10, 21, 16$. Ordena los datos de menor a mayor y…
Dada la siguiente lista de temperaturas en grados Celsius registradas durante 8 días, desordenadas: $15, 12, 19, 14, 18, 10, 21, 16$.
Ordena los datos de menor a mayor y calcula el resumen de los cinco números necesario para dibujar un diagrama de caja.
Un grupo de investigadores ha resumido la altura (en cm) de una población de plantas con los siguientes cinco números: Mínimo = $110$, $Q_1 = 125$, $Me = 135$,…
Un grupo de investigadores ha resumido la altura (en cm) de una población de plantas con los siguientes cinco números: Mínimo = $110$, $Q_1 = 125$, $Me = 135$, $Q_3 = 142$, Máximo = $160$.
Dibuja el diagrama de caja correspondiente en tu cuaderno indicando claramente la escala utilizada en el eje horizontal.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Leer un diagrama de caja
Un diagrama de caja no muestra los datos uno por uno, pero sí dice mucho:
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La caja contiene el $50\,\%$ central de los datos.
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Cada bigote contiene alrededor del $25\,\%$ de los datos.
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Si la caja es angosta, los datos centrales están muy juntos. Si es ancha, están más dispersos.
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La línea interior es la mediana, no la media. Que no esté en el centro de la caja es normal.
Observá el siguiente diagrama de caja que representa los puntos anotados por un jugador de básquetbol en varios partidos. Identificá los valores del resumen de los cinco…
Observá el siguiente diagrama de caja que representa los puntos anotados por un jugador de básquetbol en varios partidos.
Identificá los valores del resumen de los cinco números (mínimo, $Q_1$, mediana, $Q_3$, máximo) y calculá la amplitud de la caja (rango intercuartílico).
Responde a las siguientes preguntas conceptuales sobre un diagrama de caja: ¿Qué porcentaje aproximado de los datos se encuentra dentro de la caja (entre $Q_1$ y $Q_3$)?…
Responde a las siguientes preguntas conceptuales sobre un diagrama de caja:
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¿Qué porcentaje aproximado de los datos se encuentra dentro de la caja (entre $Q_1$ y $Q_3$)?
-
¿Qué porcentaje de los datos se encuentra en cada uno de los bigotes (asumiendo que no hay valores atípicos)?
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Si la caja es muy estrecha, ¿qué indica sobre la dispersión de los datos centrales?
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando tu respuesta en cada caso: La línea que marca la mediana siempre se encuentra exactamente en…
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando tu respuesta en cada caso:
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La línea que marca la mediana siempre se encuentra exactamente en el centro geométrico de la caja.
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Los dos bigotes de un diagrama de caja siempre tienen la misma longitud.
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El rango intercuartílico no se ve afectado por los valores extremos (máximo y mínimo).
Cuartiles con tablas de frecuencias
Cuando los datos vienen en una tabla no hace falta escribirlos todos: se usan las frecuencias acumuladas para saber qué lugar ocupa cada dato.
Datos sin agrupar
Datos agrupados en intervalos
Si los datos están en intervalos, primero se busca la clase donde cae el cuartil y después se interpola (se supone que los datos se reparten parejo dentro de la clase). Para un cuartil que ocupa la posición $p$ ($p = \tfrac{n}{4}$ para $Q_1$, $\tfrac{n}{2}$ para $Me$ y $\tfrac{3n}{4}$ para $Q_3$):
$$Q = L + \frac{p - F_{\text{ant}}}{f}\cdot a$$donde $L$ es el extremo inferior de la clase, $F_{\text{ant}}$ la frecuencia acumulada hasta la clase anterior, $f$ la frecuencia de la clase y $a$ su amplitud.
¿Por qué? $p - F_{\text{ant}}$ es cuántos datos hay que avanzar dentro de la clase, y $\tfrac{p - F_{\text{ant}}}{f}$ es qué fracción de la clase eso representa. Esa fracción de la amplitud se suma a $L$.
Con un histograma se hace igual: las alturas de las barras son las frecuencias, se acumulan de izquierda a derecha y se busca en qué barra se alcanzan el $25\,\%$, el $50\,\%$ y el $75\,\%$ del total.
Se ha preguntado a un grupo de familias por el número de mascotas que tienen, obteniendo la siguiente tabla de frecuencias: $0$ mascotas: $8$ familias $1$ mascota: $12$…
Se ha preguntado a un grupo de familias por el número de mascotas que tienen, obteniendo la siguiente tabla de frecuencias:
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$0$ mascotas: $8$ familias
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$1$ mascota: $12$ familias
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$2$ mascotas: $10$ familias
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$3$ mascotas: $6$ familias
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$4$ mascotas: $4$ familias
Calcula los cuartiles $Q_1$, $Me$ y $Q_3$ a partir de las frecuencias acumuladas y describe detalladamente cómo sería el diagrama de caja correspondiente.
La siguiente tabla muestra el tiempo (en horas) que un grupo de jóvenes dedica a la semana a jugar a videojuegos, agrupado en intervalos: $[0, 5)$: $10$ jóvenes…
La siguiente tabla muestra el tiempo (en horas) que un grupo de jóvenes dedica a la semana a jugar a videojuegos, agrupado en intervalos:
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$[0, 5)$: $10$ jóvenes
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$[5, 10)$: $25$ jóvenes
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$[10, 15)$: $30$ jóvenes
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$[15, 20)$: $15$ jóvenes
Calcula la posición de los cuartiles $Q_1$, $Me$ y $Q_3$ interpolando en las clases correspondientes.
El siguiente histograma muestra la distribución de las edades de los visitantes a un museo durante una tarde. A partir de las frecuencias representadas en el histograma,…
El siguiente histograma muestra la distribución de las edades de los visitantes a un museo durante una tarde.
A partir de las frecuencias representadas en el histograma, determina los intervalos en los que se encuentran el primer cuartil ($Q_1$), la mediana ($Me$) y el tercer cuartil ($Q_3$). Justifica tus cálculos utilizando las frecuencias acumuladas.
Rango intercuartílico
¿Por qué? Al restar $Q_3 - Q_1$ se dejan afuera el $25\,\%$ de los datos más bajos y el $25\,\%$ de los más altos, así que un dato exagerado no puede falsear la medida.
En un estudio sobre el peso de las mochilas escolares, se ha obtenido que el primer cuartil es $Q_1 = 4,5$ kg y el tercer cuartil es $Q_3 = 7,2$ kg. Calcula el rango…
En un estudio sobre el peso de las mochilas escolares, se ha obtenido que el primer cuartil es $Q_1 = 4,5$ kg y el tercer cuartil es $Q_3 = 7,2$ kg.
Calcula el rango intercuartílico ($IQR$). Si el peso mínimo registrado es de $2$ kg, ¿cuál es la longitud del bigote izquierdo en el diagrama de caja?
El siguiente gráfico muestra los diagramas de caja de las pulsaciones por minuto en reposo de dos grupos de atletas, A (corredores de fondo) y B (levantadores de pesas).…
El siguiente gráfico muestra los diagramas de caja de las pulsaciones por minuto en reposo de dos grupos de atletas, A (corredores de fondo) y B (levantadores de pesas).
A partir de la observación de los gráficos, responde:
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¿Qué grupo tiene una mediana menor?
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¿Qué grupo presenta una mayor dispersión en el $50\%$ central de sus datos?
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Calcula el rango intercuartílico de ambos grupos y compáralos.
Los salarios (en pesos) de 5 empleados de una pequeña empresa son: $44\,000, 48\,000, 52\,000, 60\,000, 100\,000$. Calculá el resumen de los cinco números. Si el…
Los salarios (en pesos) de 5 empleados de una pequeña empresa son: $44\,000, 48\,000, 52\,000, 60\,000, 100\,000$.
Calculá el resumen de los cinco números. Si el empleado que cobra $100\,000$ pesos recibe un aumento de $20\,000$ pesos (pasando a cobrar $120\,000$ pesos), ¿cómo afecta esto a la mediana y al rango intercuartílico? ¿Qué ventaja tiene el diagrama de caja frente a la media aritmética en este caso?
Valores atípicos
¿Por qué? Es un criterio convencional: se considera raro lo que está a más de una vez y media el ancho de la caja de distancia de ella. Así se detectan datos realmente alejados sin marcar como raras las variaciones normales.
Se ha medido el tiempo (en minutos) que tardan 9 personas en resolver un rompecabezas: $10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 25, 30$. Calcula la mediana y los cuartiles $Q_1$ y…
Se ha medido el tiempo (en minutos) que tardan 9 personas en resolver un rompecabezas: $10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 25, 30$.
Calcula la mediana y los cuartiles $Q_1$ y $Q_3$. ¿El valor $30$ se considera un valor atípico según la regla de $1,5 \cdot IQR$?
En una distribución estadística, el primer cuartil es $Q_1 = 40$ y el tercer cuartil es $Q_3 = 64$. Calcula el rango intercuartílico ($IQR$). A continuación, determina…
En una distribución estadística, el primer cuartil es $Q_1 = 40$ y el tercer cuartil es $Q_3 = 64$.
Calcula el rango intercuartílico ($IQR$). A continuación, determina los límites inferior y superior para identificar valores atípicos (utilizando la regla de $1,5 \cdot IQR$). ¿Sería el valor $105$ considerado un valor atípico? ¿Y el valor $3$?
Se ha registrado el número de pulsaciones por minuto de 11 atletas tras una carrera: $110, 115, 120, 122, 125, 130, 135, 140, 145, 150, 200$. Calcula el resumen de los…
Se ha registrado el número de pulsaciones por minuto de 11 atletas tras una carrera: $110, 115, 120, 122, 125, 130, 135, 140, 145, 150, 200$.
Calcula el resumen de los cinco números e identifica si el valor $200$ es un valor atípico utilizando el criterio de $1,5 \cdot IQR$. Si eliminamos ese valor atípico del conjunto de datos, ¿cómo varían la media y la mediana? ¿Qué medida de centralización es más robusta frente a este cambio?
Asimetría y comparación de distribuciones
Para comparar dos grupos, mirá en este orden: medianas (¿cuál está más a la derecha?), anchos de caja (¿cuál tiene más $RIC$?) y bigotes y atípicos (¿cuál tiene casos extremos?).
Con esto se cierra la pregunta del principio: la mediana sola no alcanza, hay que mirar también la caja y los bigotes.
Un diagrama de caja tiene los siguientes valores: Mínimo = $10$, $Q_1 = 15$, $Me = 18$, $Q_3 = 35$, Máximo = $40$. Analiza la asimetría de la distribución. ¿Está sesgada…
Un diagrama de caja tiene los siguientes valores: Mínimo = $10$, $Q_1 = 15$, $Me = 18$, $Q_3 = 35$, Máximo = $40$.
Analiza la asimetría de la distribución. ¿Está sesgada hacia la derecha o hacia la izquierda? Justifica tu respuesta comparando las distancias entre los cuartiles y la mediana.
En un diagrama de caja, el bigote derecho es extremadamente largo en comparación con el bigote izquierdo y la caja. Por ejemplo: Mínimo = $10$, $Q_1 = 20$, $Me = 25$,…
En un diagrama de caja, el bigote derecho es extremadamente largo en comparación con el bigote izquierdo y la caja. Por ejemplo: Mínimo = $10$, $Q_1 = 20$, $Me = 25$, $Q_3 = 35$, Máximo = $120$.
Razona y justifica matemáticamente si la media aritmética de esta distribución será mayor, menor o aproximadamente igual a la mediana. ¿Por qué ocurre esto?
Una empresa analiza el tiempo de vida (en horas) de dos marcas de bombillas, A y B. Ambas marcas tienen la misma mediana ($Me = 1000$ h) y el mismo rango intercuartílico…
Una empresa analiza el tiempo de vida (en horas) de dos marcas de bombillas, A y B. Ambas marcas tienen la misma mediana ($Me = 1000$ h) y el mismo rango intercuartílico ($IQR = 200$ h). Sin embargo, el rango total de la marca A es de $400$ h, mientras que el rango total de la marca B es de $1200$ h.
¿Qué información nos aporta esta diferencia en los rangos totales sobre la fiabilidad y la presencia de valores atípicos en ambas marcas? ¿Cuál de las dos marcas considerarías más predecible y por qué?
Transformaciones lineales de los datos
Si un docente cambia todas las notas con la regla $x' = ax + b$ (por ejemplo, multiplica por $a$ y suma $b$), el diagrama se mueve y se estira.
¿Por qué? $(aQ_3 + b) - (aQ_1 + b) = a(Q_3 - Q_1)$: la constante $b$ se cancela, porque desplaza los dos cuartiles lo mismo.
Las notas de un examen sobre 10 puntos tienen el siguiente resumen: Mínimo = $3$, $Q_1 = 5$, $Me = 6$, $Q_3 = 8$, Máximo = $10$. El profesor decide transformar las notas…
Las notas de un examen sobre 10 puntos tienen el siguiente resumen: Mínimo = $3$, $Q_1 = 5$, $Me = 6$, $Q_3 = 8$, Máximo = $10$.
El profesor decide transformar las notas multiplicándolas por $0,8$ y sumándoles $2$ puntos. Calcula el nuevo resumen de los cinco números y el nuevo rango intercuartílico.
En una distribución estadística, los cuartiles vienen dados por expresiones algebraicas en función de un parámetro $x > 0$: $Q_1 = x$ $Me = 2x + 1$ $Q_3 = x^2 - 2$…
En una distribución estadística, los cuartiles vienen dados por expresiones algebraicas en función de un parámetro $x > 0$:
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$Q_1 = x$
-
$Me = 2x + 1$
-
$Q_3 = x^2 - 2$
Sabiendo que el rango intercuartílico ($IQR$) es igual a $10$, plantea una ecuación, resuelve para hallar el valor de $x$, y calcula los valores numéricos de $Q_1$, $Me$ y $Q_3$.
Armar datos a partir del resumen
A veces se conoce el resumen y hay que encontrar datos que lo cumplan, o hallar un dato que falta. La clave es usar lo que se sabe de las posiciones.
Para construir un conjunto con un resumen dado, ubicá primero los cinco valores en sus posiciones. Con $7$ datos, la mediana es el $4.°$, $Q_1$ es el $2.°$ y $Q_3$ el $6.°$ (por ser las medianas de las mitades de $3$ datos). Después completá los datos que faltan con valores que respeten el orden.
Para mostrar que un diagrama no alcanza, buscá dos conjuntos distintos de la misma cantidad de datos que compartan el resumen: fijá los cinco valores y cambiá solo los datos que quedan libres.
Ingeniería inversa. Crea un conjunto de datos formado por 7 números enteros que cumpla simultáneamente las siguientes condiciones para su diagrama de caja: Mínimo = $2$…
Ingeniería inversa. Crea un conjunto de datos formado por 7 números enteros que cumpla simultáneamente las siguientes condiciones para su diagrama de caja:
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Mínimo = $2$
-
$Q_1 = 4$
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Mediana = $7$
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$Q_3 = 10$
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Máximo = $15$
Demuestra paso a paso que tu conjunto de datos cumple con los valores requeridos.
Se tiene un conjunto de datos formado por 6 números: $4, 8, 10, 15, 20, y$. Sabiendo que la mediana de este conjunto de datos es $12$, halla el valor desconocido de $y$.…
Se tiene un conjunto de datos formado por 6 números: $4, 8, 10, 15, 20, y$.
Sabiendo que la mediana de este conjunto de datos es $12$, halla el valor desconocido de $y$. Una vez hallado, calcula el primer y tercer cuartil, y determina si existe algún valor atípico.
Demuestra con un contraejemplo que un diagrama de caja no es suficiente para identificar si una distribución es bimodal (es decir, si tiene dos modas o picos de…
Demuestra con un contraejemplo que un diagrama de caja no es suficiente para identificar si una distribución es bimodal (es decir, si tiene dos modas o picos de frecuencia).
Para ello, inventa dos conjuntos de datos de 8 elementos cada uno: uno que sea claramente unimodal y otro que sea claramente bimodal, pero de tal forma que ambos tengan exactamente el mismo resumen de los cinco números (Mínimo, $Q_1$, $Me$, $Q_3$, Máximo).