Intervalos, semirrectas y entornos
La temperatura segura de una heladera, el IMC saludable, el margen de tolerancia de una pieza: todos son trozos de la recta real. En Montevideo, por ejemplo, el agua de la piscina del club tiene que tener un pH dentro de ciertos valores para ser segura. ¿Cómo se escribe eso con precisión? Con intervalos, semirrectas y entornos, que son las herramientas que vas a usar todo el año para dominios, recorridos e inecuaciones.
Intervalos y semirrectas
En la recta, el extremo incluido se marca con un punto lleno y el excluido con un punto vacío.
Las semirrectas son intervalos con un solo extremo; el otro "se va" a infinito, que nunca se incluye porque no es un número.
Si los números tienen decimales, los extremos se separan con punto y coma para que no se confundan con la coma decimal: $[-1{,}5; 3)$.
Observa la representación gráfica del siguiente conjunto de números reales y exprésalo utilizando notación de intervalo y en forma de desigualdad.
Observa la representación gráfica del siguiente conjunto de números reales y exprésalo utilizando notación de intervalo y en forma de desigualdad.
Expresa mediante un intervalo la siguiente desigualdad y represéntala de forma aproximada en una recta numérica: $-3 < x \le 5$.
Expresa mediante un intervalo la siguiente desigualdad y represéntala de forma aproximada en una recta numérica: $-3 < x \le 5$.
Indica cuáles de los siguientes números pertenecen al intervalo $[-1,5; 3)$: $-2$, $-1,5$, $0$, $2,99$, $3$, $\pi$
Indica cuáles de los siguientes números pertenecen al intervalo $[-1,5; 3)$:
$-2$, $-1,5$, $0$, $2,99$, $3$, $\pi$
Escribe en forma de semirrecta el conjunto de todos los números reales que son menores o iguales que $7$.
Escribe en forma de semirrecta el conjunto de todos los números reales que son menores o iguales que $7$.
Asociá cada una de las siguientes frases con su correspondiente intervalo matemático: "Temperaturas bajo cero." "Edades entre 12 y 16 años, ambos inclusive." "Precios…
Asociá cada una de las siguientes frases con su correspondiente intervalo matemático:
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"Temperaturas bajo cero."
-
"Edades entre 12 y 16 años, ambos inclusive."
-
"Precios superiores a 2.000 pesos."
Entornos
Un entorno describe un intervalo a partir de su centro y de cuánto se aleja hacia cada lado: es la forma natural de hablar de "margen de error" o "tolerancia".
Para pasar de intervalo a entorno: el centro es el punto medio y el radio es la distancia del centro a un extremo.
Escribe en forma de entorno $E(a, r)$ el intervalo abierto $(2, 10)$.
Escribe en forma de entorno $E(a, r)$ el intervalo abierto $(2, 10)$.
Expresa el entorno $E(-1, 4)$ como un intervalo y tradúcelo a una desigualdad.
Expresa el entorno $E(-1, 4)$ como un intervalo y tradúcelo a una desigualdad.
En el ámbito de la nutrición, se considera que el Índice de Masa Corporal (IMC) es saludable si se encuentra en el intervalo $[18,5; 24,9]$. Expresa este rango en forma…
En el ámbito de la nutrición, se considera que el Índice de Masa Corporal (IMC) es saludable si se encuentra en el intervalo $[18,5; 24,9]$. Expresa este rango en forma de entorno cerrado, calculando previamente su centro y su radio.
Una máquina produce ejes de acero cuya longitud ideal es de $120\text{ mm}$. El control de calidad permite un error máximo de $0,5\text{ mm}$. Expresa el rango de…
Una máquina produce ejes de acero cuya longitud ideal es de $120\text{ mm}$. El control de calidad permite un error máximo de $0,5\text{ mm}$. Expresa el rango de longitudes permitidas como un entorno, como una desigualdad con valor absoluto y, finalmente, como un intervalo.
El precio de un videojuego en una tienda online osciló durante la semana dentro del entorno $E(980; 72)$ pesos. Determiná el precio máximo y mínimo que alcanzó el…
El precio de un videojuego en una tienda online osciló durante la semana dentro del entorno $E(980; 72)$ pesos. Determiná el precio máximo y mínimo que alcanzó el videojuego y expresalo como un intervalo cerrado.
Expresa el intervalo cerrado $[3,2; 8,8]$ en forma de entorno $E(a, r)$ y, a continuación, tradúcelo a una desigualdad con valor absoluto de la forma $|x - a| \le r$.…
Expresa el intervalo cerrado $[3,2; 8,8]$ en forma de entorno $E(a, r)$ y, a continuación, tradúcelo a una desigualdad con valor absoluto de la forma $|x - a| \le r$. Explica brevemente qué representan los parámetros $a$ y $r$ geométricamente en la recta real.
Valor absoluto, distancia e inecuaciones
El valor absoluto $|x - a|$ mide la distancia entre $x$ y $a$ en la recta, sin importar cuál es mayor.
Expresa en forma de desigualdad y mediante un intervalo el conjunto de números reales cuya distancia al cero es estrictamente menor que $5$.
Expresa en forma de desigualdad y mediante un intervalo el conjunto de números reales cuya distancia al cero es estrictamente menor que $5$.
Expresa mediante valor absoluto el conjunto de números reales cuya distancia al número $-2$ es menor o igual que $6$, y escribe el intervalo resultante.
Expresa mediante valor absoluto el conjunto de números reales cuya distancia al número $-2$ es menor o igual que $6$, y escribe el intervalo resultante.
Resuelve la inecuación con valor absoluto $|x - 4| < 3$ y expresa la solución en forma de intervalo y de entorno.
Resuelve la inecuación con valor absoluto $|x - 4| < 3$ y expresa la solución en forma de intervalo y de entorno.
Determina el valor del parámetro $k$ para que el intervalo solución de la inecuación $|x - k| \le 5$ tenga como extremo superior el número $12$. Una vez calculado $k$,…
Determina el valor del parámetro $k$ para que el intervalo solución de la inecuación $|x - k| \le 5$ tenga como extremo superior el número $12$. Una vez calculado $k$, indica cuál es el extremo inferior del intervalo y exprésalo en forma de entorno.
Unión e intersección de intervalos
Los intervalos son conjuntos, así que se combinan con las operaciones de conjuntos: la unión ($\cup$) junta todo lo que está en alguno de los dos; la intersección ($\cap$) deja solo lo común a ambos.
Ahora podés resolver problemas de condiciones simultáneas: si dos reglas se tienen que cumplir a la vez, la solución es la intersección.
Dados los intervalos $A = [-4, 3)$ y $B = (0, 6]$, determina el intervalo resultante de la unión $A \cup B$ y de la intersección $A \cap B$.
Dados los intervalos $A = [-4, 3)$ y $B = (0, 6]$, determina el intervalo resultante de la unión $A \cup B$ y de la intersección $A \cap B$.
En un acuario, los peces payaso viven bien a temperaturas comprendidas en el intervalo $(24, 28]$ ºC, mientras que los peces ángel las necesitan en el intervalo…
En un acuario, los peces payaso viven bien a temperaturas comprendidas en el intervalo $(24, 28]$ ºC, mientras que los peces ángel las necesitan en el intervalo $[26, 30)$ ºC. Determina en qué intervalo de temperaturas pueden convivir ambas especies y exprésalo como una desigualdad.
Encuentra todos los números enteros que pertenecen simultáneamente a los intervalos $(-3,2; 4]$ y $[0; 5,1)$.
Encuentra todos los números enteros que pertenecen simultáneamente a los intervalos $(-3,2; 4]$ y $[0; 5,1)$.
Un puente está diseñado para soportar cargas $C$ (en kg) que cumplan la condición $|C - 4500| \le 1500$. Por otra parte, una normativa local prohíbe el paso de vehículos…
Un puente está diseñado para soportar cargas $C$ (en kg) que cumplan la condición $|C - 4500| \le 1500$. Por otra parte, una normativa local prohíbe el paso de vehículos que superen los $5500\text{ kg}$. Determina el intervalo real de cargas que pueden circular por el puente cumpliendo ambas condiciones.
Sean los conjuntos $I = (-\infty, 2]$, $J = (-1, 5)$ y $K = [3, 8]$. Calcula el intervalo resultante de la operación $(I \cap J) \cup K$.
Sean los conjuntos $I = (-\infty, 2]$, $J = (-1, 5)$ y $K = [3, 8]$. Calcula el intervalo resultante de la operación $(I \cap J) \cup K$.
Encuentra el intervalo de números reales $x$ que cumplen simultáneamente las inecuaciones $3x - 2 < 7$ y $5 - x < 4$. Una vez hallado, exprésalo como entorno.
Encuentra el intervalo de números reales $x$ que cumplen simultáneamente las inecuaciones $3x - 2 < 7$ y $5 - x < 4$. Una vez hallado, exprésalo como entorno.
Problemas con intervalos
En los problemas, primero traducí la condición a un intervalo (o a un entorno), y después operá.
Para que el agua de una piscina sea segura, su pH debe estar estrictamente en el intervalo $[7,2; 7,6]$. Si disponemos de un medidor electrónico que tiene un error…
Para que el agua de una piscina sea segura, su pH debe estar estrictamente en el intervalo $[7,2; 7,6]$. Si disponemos de un medidor electrónico que tiene un error absoluto máximo de $0,1$, determiná en qué intervalo debe dar la lectura el aparato para que tengamos la certeza absoluta de que el pH real es seguro. Expresalo también como entorno.
Un fabricante de tornillos acepta aquellos cuya longitud $L$ (en mm) cumple la condición $|L - 30| < 0,5$. Se recibe un lote de tornillos cuyas longitudes varían…
Un fabricante de tornillos acepta aquellos cuya longitud $L$ (en mm) cumple la condición $|L - 30| < 0,5$. Se recibe un lote de tornillos cuyas longitudes varían uniformemente en el intervalo $[29,2; 30,8]$. ¿Qué porcentaje del rango de longitudes de este lote será rechazado por el control de calidad?
La "zona de habitabilidad" de una estrella enana roja se define mediante un entorno de centro $0,8\text{ UA}$ y radio $0,2\text{ UA}$. Un exoplaneta tiene una órbita…
La "zona de habitabilidad" de una estrella enana roja se define mediante un entorno de centro $0,8\text{ UA}$ y radio $0,2\text{ UA}$. Un exoplaneta tiene una órbita elíptica cuya distancia al astro varía en el intervalo $[0,5; 1,1]\text{ UA}$. Determina qué intervalos de la órbita del planeta caen fuera de la zona de habitabilidad.
Volvé al principio: la temperatura segura de la heladera, el IMC o el pH de la piscina se escriben como un intervalo (o un entorno), y combinar condiciones es operar con intervalos.