Números racionales
Valentina compra $\frac{3}{4}$ kg de harina para unas tortas fritas, y en la balanza del almacén marca $0{,}75$ kg. ¿Son el mismo número? ¿Y qué pasa con $\frac{1}{3}$ kg, que la balanza nunca marca exacto? En este apartado repasás qué son los números racionales, cómo se pasa de fracción a decimal y viceversa, y cómo operar sin perder exactitud. Al final volvemos a la balanza.
El conjunto Q
Los naturales y los enteros también son racionales: $5 = \frac{5}{1}$, $-3 = \frac{-3}{1}$. Por eso $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$. Los números que no se pueden escribir como fracción (como $\sqrt{7}$) se llaman irracionales, $\mathbb{I}$, y los vas a ver en el próximo apartado. Juntos forman los reales, $\mathbb{R}$.
Clasifica los siguientes números indicando el conjunto numérico más pequeño al que pertenecen ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{I}$): $-5$;…
Clasifica los siguientes números indicando el conjunto numérico más pequeño al que pertenecen ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{I}$): $-5$; $\frac{8}{2}$; $1,2\widehat{3}$; $\sqrt{7}$.
De fracción a decimal
Dividir numerador entre denominador siempre da un decimal. Lo que cambia es su tipo, y eso depende solo de los factores primos del denominador de la fracción irreducible.
Una pregunta típica es para qué valores el decimal es exacto: alcanza con que, al simplificar, en el denominador queden solo 2 y 5. Por ejemplo, para $\frac{x}{42}$, como $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$, hay que lograr que se simplifiquen el 3 y el 7, es decir, que $x$ sea múltiplo de $21$.
Clasifica las siguientes fracciones según el tipo de expresión decimal que generan (exacta, periódica pura o periódica mixta) sin realizar la división: $\frac{7}{20}$,…
Clasifica las siguientes fracciones según el tipo de expresión decimal que generan (exacta, periódica pura o periódica mixta) sin realizar la división: $\frac{7}{20}$, $\frac{5}{33}$, $\frac{11}{9}$ y $\frac{3}{14}$.
Determina el valor de $x$ para que la fracción $\frac{x}{42}$ genere un número decimal exacto, sabiendo que $x$ es un número natural menor que $25$. Justifica tu…
Determina el valor de $x$ para que la fracción $\frac{x}{42}$ genere un número decimal exacto, sabiendo que $x$ es un número natural menor que $25$. Justifica tu respuesta utilizando la descomposición factorial del denominador.
La fracción generatriz
Todo decimal exacto o periódico se escribe como fracción: su generatriz. La idea es multiplicar por potencias de 10 para que la cola periódica se cancele al restar.
Si el decimal es exacto, como $3{,}45$, no hace falta el algoritmo: $3{,}45 = \frac{345}{100} = \frac{69}{20}$.
Calcula la fracción generatriz irreducible de los siguientes números decimales: $3,45$ y $2,\widehat{7}$.
Calcula la fracción generatriz irreducible de los siguientes números decimales: $3,45$ y $2,\widehat{7}$.
Calcula la fracción generatriz irreducible del número decimal $4,1\widehat{36}$.
Calcula la fracción generatriz irreducible del número decimal $4,1\widehat{36}$.
Demuestra matemáticamente, utilizando el algoritmo para obtener la fracción generatriz, que el número decimal periódico puro $0,\widehat{9}$ es exactamente igual al…
Demuestra matemáticamente, utilizando el algoritmo para obtener la fracción generatriz, que el número decimal periódico puro $0,\widehat{9}$ es exactamente igual al número natural $1$.
Operar y ordenar racionales
Para operar con decimales periódicos, conviene pasar todo a fracción: el resultado es exacto, sin redondeos. Las reglas son las de siempre: paréntesis, potencias y raíces, producto y cociente, y por último suma y resta. Para sumar o restar hace falta común denominador; para dividir, multiplicás por la inversa.
Potencias de fracciones
Cuando aparecen potencias, te conviene recordar estas reglas (con $a \neq 0$, $b \neq 0$ y exponentes enteros):
Operaciones combinadas
Para ordenar racionales, pasalos todos a la misma forma: o todos a decimal, o todos a fracción con común denominador. Cuidado con los periódicos: $0{,}\widehat{8} = \frac{8}{9} \approx 0{,}888\ldots$ es mayor que $0{,}83$.
Realiza la siguiente operación con fracciones y simplifica el resultado: $\frac{3}{4} - \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{4}{5} + \frac{1}{3} \right)$.
Realiza la siguiente operación con fracciones y simplifica el resultado: $\frac{3}{4} - \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{4}{5} + \frac{1}{3} \right)$.
Ordena de menor a mayor los siguientes números racionales: $\frac{5}{6}$, $0,83$, $0,\widehat{8}$, $\frac{7}{8}$.
Ordena de menor a mayor los siguientes números racionales: $\frac{5}{6}$, $0,83$, $0,\widehat{8}$, $\frac{7}{8}$.
Realiza la siguiente operación pasando previamente los números decimales a fracción generatriz y simplifica el resultado: $1,\widehat{5} + 0,2\widehat{3} - \frac{5}{6}$.
Realiza la siguiente operación pasando previamente los números decimales a fracción generatriz y simplifica el resultado: $1,\widehat{5} + 0,2\widehat{3} - \frac{5}{6}$.
Simplifica la siguiente expresión utilizando las propiedades de las potencias y dejando el resultado como una fracción irreducible:…
Simplifica la siguiente expresión utilizando las propiedades de las potencias y dejando el resultado como una fracción irreducible: $\left( \frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{9}{4} \right)^3 \div \left( \frac{3}{2} \right)^5$.
Resuelve la siguiente operación combinada, expresando el resultado final como una fracción irreducible:…
Resuelve la siguiente operación combinada, expresando el resultado final como una fracción irreducible: $\frac{\left( 0,\widehat{3} + \frac{1}{2} \right)^{-1} \cdot 1,1\widehat{6}}{\sqrt{0,25} - \frac{1}{3}}$.
Racionales en la recta
Para representar $\frac{a}{b}$ de forma exacta, dividís cada unidad en $b$ partes iguales y contás $a$ partes. Si es mayor que 1, tomás primero la parte entera: $\frac{5}{3} = 1 + \frac{2}{3}$. Si es negativo, contás hacia la izquierda.
Entre dos racionales siempre hay otro: el punto medio $\frac{a+b}{2}$. Para encontrar racionales entre $\frac{2}{5}$ y $\frac{3}{5}$ podés calcularlo, o escribirlos con denominador mayor: $\frac{4}{10}$ y $\frac{6}{10}$ dejan entre medio a $\frac{5}{10}$.
Representa de forma exacta en la recta numérica los números racionales $\frac{5}{3}$ y $-\frac{7}{4}$.
Representa de forma exacta en la recta numérica los números racionales $\frac{5}{3}$ y $-\frac{7}{4}$.
Encuentra dos números racionales distintos que estén comprendidos estrictamente entre $\frac{2}{5}$ y $\frac{3}{5}$.
Encuentra dos números racionales distintos que estén comprendidos estrictamente entre $\frac{2}{5}$ y $\frac{3}{5}$.
Problemas con racionales
Los problemas con fracciones se resuelven distinguiendo de qué es cada fracción: de la cantidad total o de lo que queda. Un esquema de barras ayuda mucho.
Otros problemas piden sumar fracciones de un todo (la parte que falta es $1$ menos lo que ya hay) o tasas de trabajo: si una canilla llena un depósito en $4$ horas, en una hora llena $\frac{1}{4}$ del depósito; las que vacían restan. Con varias tasas, sumás (o restás) las fracciones por hora, y el tiempo total es la inversa de la suma.
También el error de una medición usa fracciones: error absoluto $=|\text{valor medido} - \text{valor exacto}|$ y error relativo $=\dfrac{\text{error absoluto}}{\text{valor exacto}}$.
En una receta de repostería se necesitan $\frac{3}{4}$ de kilo de harina para hacer una tarta. Si dispones de $2,5$ kg de harina, ¿cuántas tartas completas puedes hacer…
En una receta de repostería se necesitan $\frac{3}{4}$ de kilo de harina para hacer una tarta. Si dispones de $2,5$ kg de harina, ¿cuántas tartas completas puedes hacer y qué fracción de kilo te sobrará?
Un agricultor vende $\frac{1}{3}$ de su cosecha de tomates por la mañana y $\frac{2}{5}$ del resto por la tarde. Si aún le quedan $480$ kg en el almacén, ¿cuántos kilos…
Un agricultor vende $\frac{1}{3}$ de su cosecha de tomates por la mañana y $\frac{2}{5}$ del resto por la tarde. Si aún le quedan $480$ kg en el almacén, ¿cuántos kilos de tomates cosechó en total?
Al medir la longitud de una pieza de madera de $\frac{17}{3}$ cm exactos, un carpintero anota un valor de $5,6$ cm. Calcula el error absoluto y el error relativo…
Al medir la longitud de una pieza de madera de $\frac{17}{3}$ cm exactos, un carpintero anota un valor de $5,6$ cm. Calcula el error absoluto y el error relativo cometidos en la medición, expresando los resultados como fracciones irreducibles.
En un partido de básquetbol, una jugadora encesta $5$ de cada $8$ tiros libres que lanza. Si en toda la temporada erró $24$ tiros libres, ¿cuántos lanzó en total y cuál…
En un partido de básquetbol, una jugadora encesta $5$ de cada $8$ tiros libres que lanza. Si en toda la temporada erró $24$ tiros libres, ¿cuántos lanzó en total y cuál es su porcentaje de acierto expresado como número decimal?
Para fabricar un perfume artesanal, se mezclan $\frac{2}{5}$ de litro de esencia de lavanda con $\frac{1}{4}$ de litro de alcohol puro y el resto de agua destilada hasta…
Para fabricar un perfume artesanal, se mezclan $\frac{2}{5}$ de litro de esencia de lavanda con $\frac{1}{4}$ de litro de alcohol puro y el resto de agua destilada hasta completar un frasco de $1,5$ litros. ¿Qué fracción del frasco representa el agua destilada?
Un sistema de engranajes está formado por tres ruedas dentadas. La primera rueda da $\frac{15}{4}$ de vuelta por minuto. La segunda rueda da $\frac{5}{2}$ de vuelta por…
Un sistema de engranajes está formado por tres ruedas dentadas. La primera rueda da $\frac{15}{4}$ de vuelta por minuto. La segunda rueda da $\frac{5}{2}$ de vuelta por cada vuelta que da la primera, y la tercera rueda da $\frac{4}{3}$ de vuelta por cada vuelta que da la segunda. ¿Cuántas vueltas completas dará la tercera rueda en $8$ minutos?
Un depósito de agua para riego tiene dos canillas de llenado y un desagüe. La primera canilla lo llena en $4$ horas, la segunda canilla lo llena en $6$ horas, y el…
Un depósito de agua para riego tiene dos canillas de llenado y un desagüe. La primera canilla lo llena en $4$ horas, la segunda canilla lo llena en $6$ horas, y el desagüe lo vacía por completo en $8$ horas. Si se abren los tres a la vez cuando el depósito está vacío, ¿qué fracción del depósito se llenará en $1$ hora? ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse por completo?
Una pelota de goma especial se deja caer desde una altura inicial de $10$ metros. En cada bote alcanza una altura igual a los $\frac{3}{4}$ de la altura del bote…
Una pelota de goma especial se deja caer desde una altura inicial de $10$ metros. En cada bote alcanza una altura igual a los $\frac{3}{4}$ de la altura del bote anterior. Calcula la altura que alcanzará en el cuarto bote y exprésala como un número decimal exacto.
Tres amigos organizan un torneo de e-sports en su ciudad. El primero aporta $\frac{1}{4}$ del presupuesto total, el segundo aporta $\frac{2}{5}$ y el tercero aporta los…
Tres amigos organizan un torneo de e-sports en su ciudad. El primero aporta $\frac{1}{4}$ del presupuesto total, el segundo aporta $\frac{2}{5}$ y el tercero aporta los $56\,000$ pesos restantes. Al final, el torneo genera $34\,000$ pesos de ingresos por la venta de entradas. Sabiendo que los ingresos se reparten de forma proporcional al dinero aportado, ¿qué fracción de los ingresos le corresponde al segundo amigo y qué cantidad exacta de dinero recibirá?
Desafíos con expresiones racionales
Algunos problemas combinan fracciones con álgebra. Dos ideas útiles:
Si una fracción algebraica debe dar un entero, separala en una parte entera más una fracción: $\dfrac{3n+15}{n+2} = 3 + \dfrac{9}{n+2}$. Entonces $n+2$ tiene que ser un divisor de $9$.
Si te piden un racional $\frac{a}{b}$ que sumado a su inverso $\frac{b}{a}$ dé un valor dado, probá con denominadores y numeradores chicos cuyos productos aparezcan en el denominador: por ejemplo, $\frac{25}{12}$ pide $a \cdot b = 12$.
Halla un número racional positivo de la forma $\frac{a}{b}$ tal que al sumarle su inverso multiplicativo se obtenga como resultado $\frac{25}{12}$.
Halla un número racional positivo de la forma $\frac{a}{b}$ tal que al sumarle su inverso multiplicativo se obtenga como resultado $\frac{25}{12}$.
Determina todos los valores enteros de $n$ para los cuales la fracción algebraica $\frac{3n + 15}{n + 2}$ representa un número entero.
Determina todos los valores enteros de $n$ para los cuales la fracción algebraica $\frac{3n + 15}{n + 2}$ representa un número entero.
Volvé al principio: $\frac{3}{4} = 0{,}75$ es un decimal exacto (el denominador es $2^2$), mientras que $\frac{1}{3} = 0{,}\widehat{3}$ es periódico puro (el $3$ no es ni $2$ ni $5$): por eso la balanza no puede marcarlo exacto.