Sistemas de ecuaciones no lineales
Una cancha de básquet de barrio tiene un perímetro de $28$ m y una superficie de $48$ m². ¿Cuánto miden sus lados? Hay dos incógnitas y dos ecuaciones, pero una de ellas tiene un producto de incógnitas. Ya no es un sistema lineal, y hace falta una estrategia un poco distinta. Al final de la página volvemos a este problema.
Qué es un sistema no lineal
Resuelve el sistema formado por una ecuación lineal y una cuadrática: $x - y = 2$ $x^2 + y^2 = 34$
Resuelve el sistema formado por una ecuación lineal y una cuadrática:
$x - y = 2$
$x^2 + y^2 = 34$
Resuelve el siguiente sistema: $x^2 - y^2 = 16$ $x + y = 8$
Resuelve el siguiente sistema:
$x^2 - y^2 = 16$
$x + y = 8$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4$ $x \cdot y = 18$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4$
$x \cdot y = 18$
Recta y curva: cuántos puntos de corte
Una ecuación lineal es una recta; una ecuación como $y=x^2-4x$ es una parábola. Resolver el sistema es buscar los puntos donde se cortan. Al sustituir queda una ecuación de segundo grado, y su discriminante dice cuántas soluciones hay: dos, una (la recta es tangente) o ninguna.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales: $y = x^2 - 4x$ $y = x - 6$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:
$y = x^2 - 4x$
$y = x - 6$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales: $x^2 - x \cdot y + y^2 = 7$ $x + y = 5$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:
$x^2 - x \cdot y + y^2 = 7$
$x + y = 5$
Suma y producto, suma de cuadrados
Encuentra la solución del sistema: $x + y = 7$ $x \cdot y = 12$
Encuentra la solución del sistema:
$x + y = 7$
$x \cdot y = 12$
La suma de los cuadrados de dos números es $25$, y uno de ellos es $1$ unidad menor que el otro. Plantea un sistema de ecuaciones y encuentra los números.
La suma de los cuadrados de dos números es $25$, y uno de ellos es $1$ unidad menor que el otro. Plantea un sistema de ecuaciones y encuentra los números.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simétrico: $x^2 + y^2 = 25$ $x \cdot y = 12$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simétrico:
$x^2 + y^2 = 25$
$x \cdot y = 12$
Sistemas con una raíz
Si en una ecuación aparece $\sqrt{x}$, el método tiene un paso más: aislar la raíz, elevar al cuadrado y, al final, comprobar las soluciones en la ecuación original. Elevar al cuadrado puede crear soluciones falsas, porque $1^2$ y $(-1)^2$ dan el mismo resultado.
Resuelve el siguiente sistema que contiene una ecuación irracional: $x + y = 10$ $\sqrt{x} - y = -4$
Resuelve el siguiente sistema que contiene una ecuación irracional:
$x + y = 10$
$\sqrt{x} - y = -4$
Sistemas con denominadores
Cuando aparecen incógnitas en un denominador, se aplican las ideas de las ecuaciones racionales: primero la restricción de dominio (los denominadores no pueden ser $0$), después el común denominador o multiplicar por la incógnita, y al final se verifica que las soluciones respeten la restricción.
Encuentra la solución del sistema: $\frac{x}{y} = 3$ $x^2 - y^2 = 32$
Encuentra la solución del sistema:
$\frac{x}{y} = 3$
$x^2 - y^2 = 32$
La suma de dos números es $15$ y la suma de sus inversos es $\frac{5}{18}$. Plantea un sistema de ecuaciones y encuentra los números.
La suma de dos números es $15$ y la suma de sus inversos es $\frac{5}{18}$. Plantea un sistema de ecuaciones y encuentra los números.
Un ciclista recorre una distancia de $120 \text{ km}$ a velocidad constante. Si hubiera viajado $5 \text{ km/h}$ más rápido, habría tardado $2$ horas menos en completar…
Un ciclista recorre una distancia de $120 \text{ km}$ a velocidad constante. Si hubiera viajado $5 \text{ km/h}$ más rápido, habría tardado $2$ horas menos en completar el mismo recorrido. Plantea un sistema de ecuaciones para calcular la velocidad del ciclista y el tiempo que tardó.
Problemas de geometría
En rectángulos, rombos, triángulos rectángulos o cilindros, el perímetro (o una suma de lados) suele dar una ecuación lineal, y el área o el teorema de Pitágoras dan la no lineal.
El área de una alfombra rectangular es de $6 \text{ m}^2$ y su perímetro mide $10 \text{ m}$. Plantea un sistema de ecuaciones no lineales y calcula las dimensiones de…
El área de una alfombra rectangular es de $6 \text{ m}^2$ y su perímetro mide $10 \text{ m}$. Plantea un sistema de ecuaciones no lineales y calcula las dimensiones de la alfombra.
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $13 \text{ cm}$. Se sabe que uno de los catetos mide $7 \text{ cm}$ más que el otro. Plantea un sistema de ecuaciones no…
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $13 \text{ cm}$. Se sabe que uno de los catetos mide $7 \text{ cm}$ más que el otro. Plantea un sistema de ecuaciones no lineales para calcular la longitud de los dos catetos.
El área de un rombo es de $24 \text{ cm}^2$ y la suma de las longitudes de sus diagonales es $14 \text{ cm}$. Determina la longitud de ambas diagonales planteando un…
El área de un rombo es de $24 \text{ cm}^2$ y la suma de las longitudes de sus diagonales es $14 \text{ cm}$. Determina la longitud de ambas diagonales planteando un sistema de ecuaciones.
Figuras compuestas
A veces la figura tiene un marco, un camino o está formada por varias partes. Conviene hacer un dibujo, elegir las incógnitas y escribir dos relaciones entre ellas: una de longitudes o perímetro, otra de áreas.
Un alambre de $40 \text{ cm}$ de longitud se corta en dos trozos. Con uno de los trozos se forma un cuadrado y con el otro se forma un rectángulo cuya base es el doble…
Un alambre de $40 \text{ cm}$ de longitud se corta en dos trozos. Con uno de los trozos se forma un cuadrado y con el otro se forma un rectángulo cuya base es el doble que su altura. Si la suma de las áreas de ambas figuras es de $48 \text{ cm}^2$, ¿cuánto mide cada trozo de alambre?
En un parque se va a construir una zona de juegos rectangular rodeada por un camino de césped artificial de $1 \text{ m}$ de ancho en todo su perímetro. El área de la…
En un parque se va a construir una zona de juegos rectangular rodeada por un camino de césped artificial de $1 \text{ m}$ de ancho en todo su perímetro. El área de la zona de juegos debe ser de $48 \text{ m}^2$ y el área total (zona de juegos más camino) debe ser de $96 \text{ m}^2$. Plantea un sistema de ecuaciones para hallar las dimensiones de la zona de juegos.
Un envase cilíndrico cerrado tiene un área total (área lateral más las dos bases) de $150\pi \text{ cm}^2$. Se sabe además que la suma del radio de la base y la altura…
Un envase cilíndrico cerrado tiene un área total (área lateral más las dos bases) de $150\pi \text{ cm}^2$. Se sabe además que la suma del radio de la base y la altura del cilindro es de $15 \text{ cm}$. Calcula el radio y la altura del envase. (Recuerda que el área total de un cilindro es $A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$).
Repartos, edades y cifras
En los problemas de reparto, edades o cifras, las incógnitas son cantidades que cumplen dos condiciones. Casi siempre una condición es un producto y la otra se escribe después de «un cambio» (se suman personas, pasan años, se invierten las cifras).
Un grupo de estudiantes compra un regalo para un compañero por $4\,800$ pesos, a pagar en partes iguales. A última hora se unen $2$ estudiantes más, lo que hace que cada…
Un grupo de estudiantes compra un regalo para un compañero por $4\,800$ pesos, a pagar en partes iguales. A última hora se unen $2$ estudiantes más, lo que hace que cada uno de los iniciales ponga $120$ pesos menos. ¿Cuántos estudiantes había al principio y cuánto pagaba cada uno?
El producto de las edades de dos hermanos es $96$. Dentro de $4$ años, el producto de sus edades será $192$. ¿Cuáles son sus edades actuales?
El producto de las edades de dos hermanos es $96$. Dentro de $4$ años, el producto de sus edades será $192$. ¿Cuáles son sus edades actuales?
Un número está formado por dos cifras. El producto de dichas cifras es $18$. Si a ese número se le restan $27$ unidades, se obtiene otro número con las mismas cifras…
Un número está formado por dos cifras. El producto de dichas cifras es $18$. Si a ese número se le restan $27$ unidades, se obtiene otro número con las mismas cifras pero en orden inverso. ¿Cuál es el número original? (Recuerda que un número de dos cifras $xy$ se expresa algebraicamente como $10x + y$).
Comprobar en el contexto
Un sistema no lineal puede tener varias soluciones matemáticas, pero no todas sirven en un problema real. Antes de responder, volvé al enunciado.
Volvé al principio: la cancha mide 6 m por 8 m, y las soluciones se comprobaron en el contexto.
El producto de dos números enteros positivos es $156$ y uno de ellos es el consecutivo del otro. Plantea un sistema de ecuaciones y encuentra dichos números.
El producto de dos números enteros positivos es $156$ y uno de ellos es el consecutivo del otro. Plantea un sistema de ecuaciones y encuentra dichos números.
Una parcela rectangular tiene un área de $600 \text{ m}^2$. Si se reduce su largo en $5 \text{ m}$ y se aumenta su ancho en $5 \text{ m}$, el área sigue siendo la misma.…
Una parcela rectangular tiene un área de $600 \text{ m}^2$. Si se reduce su largo en $5 \text{ m}$ y se aumenta su ancho en $5 \text{ m}$, el área sigue siendo la misma. Calcula las dimensiones originales de la parcela.
Una agencia de viajes organiza una excursión por un costo total de $24\,000$ pesos. Poco antes de salir, $5$ personas cancelan su viaje, lo que obliga a los demás a…
Una agencia de viajes organiza una excursión por un costo total de $24\,000$ pesos. Poco antes de salir, $5$ personas cancelan su viaje, lo que obliga a los demás a pagar $160$ pesos más cada uno para cubrir el costo total. ¿Cuántas personas fueron finalmente a la excursión y cuánto pagó cada una?