Inecuaciones
Sofía tiene $\$1.000$ cargados en la tarjeta del ómnibus y cada boleto cuesta $\$60$. ¿Cuántos viajes puede hacer? No hay un único número que responda: puede hacer 3 viajes, 10 o 16. Lo que buscamos es el conjunto de valores posibles, y eso es lo que resuelve una inecuación. Al final de la página volvemos a Sofía.
Intervalos: cómo se escribe una solución
Cuando hay decimales, los extremos se separan con punto y coma: $[2{,}5; 4)$.
Escribe en forma de intervalo y representa en la recta real los valores de $x$ que cumplen la desigualdad $-3 \le x < 5$. Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con…
Escribe en forma de intervalo y representa en la recta real los valores de $x$ que cumplen la desigualdad $-3 \le x < 5$.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Inecuaciones de primer grado
Se resuelven igual que las ecuaciones: se pasan los términos de un lado al otro y se despeja $x$. Hay una sola regla nueva: al multiplicar o dividir los dos miembros por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido.
¿Por qué? $2 < 5$ es verdadero, pero al multiplicar por $-1$ queda $-2$ y $-5$, y $-2 > -5$. Multiplicar por un negativo da vuelta el orden en la recta.
Con denominadores, el primer paso es multiplicar por el m.c.m. de los denominadores, que es positivo, así que el sentido no cambia.
Resuelve la siguiente inecuación de primer grado: $4x - 5(x - 2) \ge 3x + 2$
Resuelve la siguiente inecuación de primer grado:
$4x - 5(x - 2) \ge 3x + 2$
Resuelve la inecuación lineal con denominadores: $\frac{x}{2} - \frac{x - 1}{3} > 1$
Resuelve la inecuación lineal con denominadores:
$\frac{x}{2} - \frac{x - 1}{3} > 1$
Resuelve la inecuación de primer grado con fracciones y paréntesis: $\frac{3(x - 2)}{4} - \frac{2x + 1}{6} \le \frac{x - 3}{2} + 1$
Resuelve la inecuación de primer grado con fracciones y paréntesis:
$\frac{3(x - 2)}{4} - \frac{2x + 1}{6} \le \frac{x - 3}{2} + 1$
Del enunciado a la inecuación
Para resolver un problema con inecuaciones: elegí la incógnita, traducí cada frase y, al final, interpretá la solución en el contexto. Algunas expresiones claves:
| Frase | Símbolo |
|---|---|
| «al menos», «como mínimo» | $\geq$ |
| «a lo sumo», «como máximo» | $\leq$ |
| «más que», «mayor que», «supera» | $>$ |
| «menos que», «estrictamente menos de» | $<$ |
Volvemos al principio: Sofía puede hacer $x$ viajes si $60x \leq 1.000$, es decir $x \leq 16{,}\overline{6}$. Como los viajes son enteros, puede hacer como máximo 16.
Traduce al lenguaje algebraico y resuelve: "El triple de un número, disminuido en $4$ unidades, es como máximo $11$".
Traduce al lenguaje algebraico y resuelve: "El triple de un número, disminuido en $4$ unidades, es como máximo $11$".
Para aprobar una asignatura, un alumno debe tener una nota media de al menos $5$ puntos en los tres exámenes del trimestre. Si en los dos primeros exámenes ha obtenido…
Para aprobar una asignatura, un alumno debe tener una nota media de al menos $5$ puntos en los tres exámenes del trimestre. Si en los dos primeros exámenes ha obtenido un $3,5$ y un $4,2$, ¿qué nota deberá sacar en el tercer examen para aprobar? (La nota máxima es $10$).
Un agricultor quiere envasar su producción de aceite. Sabiendo que dispone de botellas de $2$ litros y de $5$ litros, y que tiene estrictamente menos de $100$ litros de…
Un agricultor quiere envasar su producción de aceite. Sabiendo que dispone de botellas de $2$ litros y de $5$ litros, y que tiene estrictamente menos de $100$ litros de aceite, escribe una inecuación lineal con dos incógnitas que modele esta situación. Si ya ha llenado $10$ botellas de $5$ litros, ¿cuántas botellas de $2$ litros puede llenar como máximo?
Inecuaciones de segundo grado
Una expresión como $ax^2+bx+c$ es la parábola de la función cuadrática. Resolver $ax^2+bx+c<0$ o $>0$ es preguntar dónde la parábola está por debajo o por encima del eje $x$.
Método:
-
Pasá todo a un miembro, para tener $ax^2+bx+c$ comparado con $0$.
-
Hallá las raíces con la fórmula resolvente (o factoreando).
-
Mirá el signo de $a$: si $a>0$ la parábola abre hacia arriba; si $a<0$, hacia abajo.
-
Leé el signo por tramos y elegí los que piden.
Probá con la parábola y mirá cómo cambia el signo según las raíces:
Resuelve la inecuación de segundo grado $x^2 - 16 < 0$. Expresa la solución en forma de intervalo.
Resuelve la inecuación de segundo grado $x^2 - 16 < 0$. Expresa la solución en forma de intervalo.
Resuelve la inecuación de segundo grado $-2x^2 + 5x + 3 \ge 0$. Expresa la solución como un intervalo.
Resuelve la inecuación de segundo grado $-2x^2 + 5x + 3 \ge 0$. Expresa la solución como un intervalo.
Se lanza un cohete de juguete verticalmente hacia arriba. La altura $h$ (en metros) alcanzada por el cohete en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la…
Se lanza un cohete de juguete verticalmente hacia arriba. La altura $h$ (en metros) alcanzada por el cohete en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la expresión $h(t) = 30t - 5t^2$. ¿Durante qué intervalo de tiempo el cohete se encontrará a una altura estrictamente superior a $25$ metros?
Inecuaciones racionales
En una inecuación con la incógnita en el denominador no se puede multiplicar por el denominador: no sabés si es positivo o negativo, y el sentido cambiaría o no según el valor de $x$.
Método:
-
Pasá todo a un miembro y operá hasta tener una sola fracción comparada con $0$.
-
Hallá los valores que anulan el numerador y los que anulan el denominador (los puntos críticos).
-
Estudiá el signo de cada factor en cada tramo, y del cociente.
-
Los ceros del denominador nunca entran en la solución.
Resuelve la siguiente inecuación racional, estudiando el signo en los intervalos correspondientes: $\frac{2x - 5}{x + 3} \le 0$
Resuelve la siguiente inecuación racional, estudiando el signo en los intervalos correspondientes:
$\frac{2x - 5}{x + 3} \le 0$
Resuelve la inecuación racional, prestando atención a operar correctamente antes de estudiar los signos (recuerda que no puedes eliminar denominadores que contengan la…
Resuelve la inecuación racional, prestando atención a operar correctamente antes de estudiar los signos (recuerda que no puedes eliminar denominadores que contengan la incógnita):
$\frac{x + 1}{x - 2} > \frac{1}{2}$
Grado superior y parámetros
Grado superior. Se factoriza el polinomio (factor común, agrupación, Ruffini), se ubican las raíces en la recta y se estudia el signo por tramos, igual que antes.
Parámetros. Que $ax^2+bx+c>0$ valga para todo $x$ real significa que la parábola no toca el eje y abre hacia arriba: $a>0$ y discriminante $\Delta<0$.
Determina los valores del parámetro $m$ para que la inecuación de segundo grado $x^2 - mx + 9 > 0$ se cumpla para cualquier número real $x$.
Determina los valores del parámetro $m$ para que la inecuación de segundo grado $x^2 - mx + 9 > 0$ se cumpla para cualquier número real $x$.
Resuelve la inecuación polinómica de grado superior factorizando previamente el polinomio: $x^3 - 4x^2 - x + 4 \le 0$
Resuelve la inecuación polinómica de grado superior factorizando previamente el polinomio:
$x^3 - 4x^2 - x + 4 \le 0$
Sistemas de inecuaciones
Una de las inecuaciones puede ser de segundo grado:
Esto sirve también en problemas con dos condiciones (por ejemplo, un perímetro mínimo y un área máxima): cada condición es una inecuación y la respuesta es la intersección, sin olvidar que una medida es positiva.
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones con una incógnita: $\begin{cases} 2x - 3 > 1 \\ x + 4 \le 7 \end{cases}$
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones con una incógnita:
$\begin{cases} 2x - 3 > 1 \\ x + 4 \le 7 \end{cases}$
Encuentra la solución del siguiente sistema de inecuaciones: $\begin{cases} \frac{x + 1}{2} - \frac{x - 2}{3} > x - 1 \\ 3x - 4(x + 1) \ge -6 \end{cases}$
Encuentra la solución del siguiente sistema de inecuaciones:
$\begin{cases} \frac{x + 1}{2} - \frac{x - 2}{3} > x - 1 \\ 3x - 4(x + 1) \ge -6 \end{cases}$
La base de un rectángulo mide $5$ cm más que su altura. Si el perímetro del rectángulo debe ser mayor que $30$ cm pero su área no puede exceder los $150$ cm$^2$, ¿entre…
La base de un rectángulo mide $5$ cm más que su altura. Si el perímetro del rectángulo debe ser mayor que $30$ cm pero su área no puede exceder los $150$ cm$^2$, ¿entre qué valores se encuentra la medida de la altura?
Valor absoluto
Si adentro hay un polinomio de segundo grado, se arma la doble desigualdad y se resuelve como un sistema:
Resuelve la inecuación con valor absoluto $|x - 3| \le 5$ y expresa su solución mediante un intervalo.
Resuelve la inecuación con valor absoluto $|x - 3| \le 5$ y expresa su solución mediante un intervalo.
Resuelve la siguiente inecuación que combina valor absoluto y polinomios de segundo grado: $|x^2 - 5x| < 6$
Resuelve la siguiente inecuación que combina valor absoluto y polinomios de segundo grado:
$|x^2 - 5x| < 6$
Inecuaciones con dos incógnitas
Una inecuación como $3x-2y\leq 4$ tiene por solución una región del plano (un semiplano), no un punto ni una recta. La recta $3x-2y=4$ es la frontera: se dibuja llena si la desigualdad incluye el igual ($\leq$, $\geq$) y punteada si es estricta.
La frontera se dibuja con dos puntos. Acá corta el eje $x$ en $\left(\tfrac43, 0\right)$ y el eje $y$ en $(0, -2)$, y tiene pendiente $\tfrac32$.
Cómo dibujar o leer una región. (1) Hallá la recta frontera (con dos puntos). (2) Elegí un punto de prueba que no esté sobre la recta, por ejemplo el origen. (3) Si cumple la desigualdad, la región es el lado donde está; si no, el otro lado.
Comprueba si los puntos $A(2, -1)$, $B(0, 3)$ y $C(-1, -2)$ son soluciones de la inecuación con dos incógnitas $3x - 2y \le 4$.
Comprueba si los puntos $A(2, -1)$, $B(0, 3)$ y $C(-1, -2)$ son soluciones de la inecuación con dos incógnitas $3x - 2y \le 4$.
Escribe el sistema de inecuaciones con dos incógnitas cuya solución corresponde a la región sombreada en la siguiente figura.
Escribe el sistema de inecuaciones con dos incógnitas cuya solución corresponde a la región sombreada en la siguiente figura.
Observa la siguiente región factible acotada (un triángulo) y determina el sistema de tres inecuaciones lineales con dos incógnitas que la define.
Observa la siguiente región factible acotada (un triángulo) y determina el sistema de tres inecuaciones lineales con dos incógnitas que la define.
Modelar con restricciones
Cuando hay recursos limitados (horas de trabajo, materias primas, nutrientes), cada recurso da una inecuación y todas deben cumplirse a la vez. Se arma una tabla con lo que consume cada producto, y como las cantidades no son negativas se agregan $x\geq 0$ e $y\geq 0$.
Una pequeña empresa fabrica dos tipos de auriculares inalámbricos: el modelo Alfa y el modelo Beta. El modelo Alfa requiere $3$ horas de montaje y $1$ hora de…
Una pequeña empresa fabrica dos tipos de auriculares inalámbricos: el modelo Alfa y el modelo Beta. El modelo Alfa requiere $3$ horas de montaje y $1$ hora de calibración, mientras que el modelo Beta requiere $2$ horas de montaje y $2$ horas de calibración. La empresa dispone de un máximo de $120$ horas para montaje y $80$ horas para calibración a la semana. Plantea el sistema de inecuaciones que define la región factible e indica si sería posible fabricar $20$ auriculares Alfa y $25$ auriculares Beta en una semana.
Una dieta equilibrada requiere que la ingesta diaria de dos alimentos, $A$ y $B$, aporte al menos $60$ g de proteínas y no supere los $80$ g de grasas. Cada porción de…
Una dieta equilibrada requiere que la ingesta diaria de dos alimentos, $A$ y $B$, aporte al menos $60$ g de proteínas y no supere los $80$ g de grasas. Cada porción de $100$ g del alimento $A$ contiene $15$ g de proteínas y $10$ g de grasas. Cada porción de $100$ g del alimento $B$ contiene $10$ g de proteínas y $20$ g de grasas. Si llamamos $x$ e $y$ al número de porciones de $100$ g de los alimentos $A$ y $B$ consumidas respectivamente, plantea el sistema de inecuaciones y averigua si es posible consumir exactamente $3$ porciones de $A$ y $2$ porciones de $B$ cumpliendo las restricciones.