Ecuaciones de segundo grado
Una cuadrilla del liceo quiere cubrir con pasto sintético una cancha rectangular de $35\text{ m}^2$ en el patio, y el largo tiene que medir $2\text{ m}$ más que el ancho. ¿Cuánto miden los lados? Para responder hace falta una ecuación donde la incógnita aparece al cuadrado. En esta página vas a resolver esas ecuaciones en dos etapas: primero los casos incompletos, que se resuelven sin fórmula, y después la ecuación completa, donde vas a ver de dónde sale la fórmula resolvente. Al final volvemos a la cancha.
Ecuaciones incompletas: sin fórmula
Una ecuación de segundo grado es una ecuación que se puede llevar a la forma
$$ax^2 + bx + c = 0 \qquad (a \neq 0)$$donde $a$, $b$ y $c$ son números reales. Si falta el término lineal ($b = 0$) o el término independiente ($c = 0$), la ecuación es incompleta y se resuelve con recursos de EBI.
Una ecuación ya factorizada se resuelve igual, sin desarrollar: $(2x - 5)(x + 4) = 0$ da $2x - 5 = 0$ o $x + 4 = 0$, es decir $x = \frac{5}{2}$ o $x = -4$.
Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado incompleta despejando directamente la incógnita: $4x^2 - 64 = 0$
Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado incompleta despejando directamente la incógnita:
$4x^2 - 64 = 0$
Calcula las soluciones de la siguiente ecuación de segundo grado incompleta extrayendo factor común: $3x^2 + 15x = 0$
Calcula las soluciones de la siguiente ecuación de segundo grado incompleta extrayendo factor común:
$3x^2 + 15x = 0$
Encuentra las soluciones de la siguiente ecuación que ya se encuentra factorizada, sin necesidad de desarrollar el producto: $(2x - 5)(x + 4) = 0$
Encuentra las soluciones de la siguiente ecuación que ya se encuentra factorizada, sin necesidad de desarrollar el producto:
$(2x - 5)(x + 4) = 0$
La ecuación completa: deducción de la fórmula resolvente
Cuando están los tres términos, no alcanza con despejar ni con sacar factor común. Pero hay una idea que sí sirve: completar el cuadrado, es decir, transformar la ecuación en algo de la forma $(\ldots)^2 = \text{número}$, que ya sabemos resolver.
Veamos primero un caso con números: $x^2 + 6x - 7 = 0$, que equivale a $x^2 + 6x = 7$. Observá que $(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$. Entonces sumamos $9$ a ambos lados: $x^2 + 6x + 9 = 7 + 9$, o sea $(x + 3)^2 = 16$. De ahí $x + 3 = \pm 4$, y $x = 1$ o $x = -7$.
Hagamos lo mismo con letras, paso a paso, para $ax^2 + bx + c = 0$ con $a \neq 0$:
Las raíces de la ecuación son los puntos donde la parábola $y = ax^2 + bx + c$ corta el eje $x$. Movés los deslizadores y mirá cómo cambian.
Algunas ecuaciones hay que arreglarlas antes de identificar los coeficientes. Por ejemplo, $(x + 2)^2 - 2(x - 1)^2 = 3x + 6$: se desarrollan los cuadrados, se juntan términos semejantes y se pasa todo a un miembro hasta llegar a la forma $ax^2 + bx + c = 0$.
Aplica la fórmula general para encontrar las raíces de la siguiente ecuación de segundo grado completa: $x^2 - 7x + 10 = 0$
Aplica la fórmula general para encontrar las raíces de la siguiente ecuación de segundo grado completa:
$x^2 - 7x + 10 = 0$
Desarrolla los productos notables, agrupa los términos semejantes y resuelve la siguiente ecuación: $(x + 2)^2 - 2(x - 1)^2 = 3x + 6$
Desarrolla los productos notables, agrupa los términos semejantes y resuelve la siguiente ecuación:
$(x + 2)^2 - 2(x - 1)^2 = 3x + 6$
El discriminante: cuántas soluciones hay
En la deducción apareció la cantidad $b^2 - 4ac$ debajo de la raíz. Se llama discriminante y se escribe $\Delta$. Decide si la raíz existe y, con eso, cuántas soluciones reales hay.
Determina si la ecuación $2x^2 + 3x + 5 = 0$ tiene solución en el conjunto de los números reales calculando previamente el valor de su discriminante $\Delta$.
Determina si la ecuación $2x^2 + 3x + 5 = 0$ tiene solución en el conjunto de los números reales calculando previamente el valor de su discriminante $\Delta$.
Halla el valor del coeficiente $c$ en la ecuación $x^2 + 4x + c = 0$ para que esta tenga una única solución real doble.
Halla el valor del coeficiente $c$ en la ecuación $x^2 + 4x + c = 0$ para que esta tenga una única solución real doble.
Determina el valor numérico del parámetro $k$ para que la ecuación $3x^2 - kx + 12 = 0$ tenga una única solución real doble.
Determina el valor numérico del parámetro $k$ para que la ecuación $3x^2 - kx + 12 = 0$ tenga una única solución real doble.
Relación entre soluciones y coeficientes
Si $x_1$ y $x_2$ son las soluciones de $x^2 + bx + c = 0$, la ecuación se puede escribir como $(x - x_1)(x - x_2) = 0$. Al desarrollar:
$$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2 = 0$$Comparando coeficientes se obtiene una relación útil.
Sirve para armar ecuaciones a partir de sus soluciones y para hallar datos que faltan sin resolver.
Escribe una ecuación de segundo grado en la forma $x^2 + bx + c = 0$ sabiendo que sus únicas soluciones son $x_1 = 3$ y $x_2 = -8$.
Escribe una ecuación de segundo grado en la forma $x^2 + bx + c = 0$ sabiendo que sus únicas soluciones son $x_1 = 3$ y $x_2 = -8$.
Sabiendo que una de las soluciones de la ecuación $2x^2 + bx - 15 = 0$ es $x_1 = 3$, calcula sin resolver completamente la ecuación el valor de la otra solución $x_2$ y…
Sabiendo que una de las soluciones de la ecuación $2x^2 + bx - 15 = 0$ es $x_1 = 3$, calcula sin resolver completamente la ecuación el valor de la otra solución $x_2$ y el valor del coeficiente $b$.
Ecuaciones con fracciones y con parámetro
Algunas ecuaciones se transforman en una de segundo grado. Con fracciones algebraicas, se multiplica por el común denominador, sabiendo qué valores lo anulan, y al final se comprueban las soluciones.
Resuelve la siguiente ecuación operando previamente con fracciones algebraicas. Asegúrate de comprobar las soluciones obtenidas para descartar posibles raíces falsas que…
Resuelve la siguiente ecuación operando previamente con fracciones algebraicas. Asegúrate de comprobar las soluciones obtenidas para descartar posibles raíces falsas que anulen los denominadores:
$\frac{x}{x-2} + \frac{2x}{x+2} = \frac{16}{x^2-4}$
Discute, en función de los diferentes valores del parámetro $m$, el número de soluciones reales que tiene la siguiente ecuación de segundo grado:…
Discute, en función de los diferentes valores del parámetro $m$, el número de soluciones reales que tiene la siguiente ecuación de segundo grado:
$mx^2 - 2(m-1)x + m = 0$
Asegúrate de analizar qué ocurre cuando el discriminante es positivo, nulo o negativo, y no olvides el caso especial en el que el coeficiente principal se anula.
Problemas con ecuaciones de segundo grado
Para resolver un problema: identificá la incógnita, planteá la ecuación, resolvela y comprobá cada solución en el enunciado. Muchas veces una solución no tiene sentido (una longitud o un número de personas negativo).
Volvamos a la cancha: ancho $x$, largo $x + 2$, área $35$.
Con tiempos y alturas, las dos soluciones pueden servir. Un cohete de prueba sigue $h(t) = 40t - 5t^2$:
Otros problemas del mismo estilo llevan a ecuaciones algo distintas: en un torneo de $n$ equipos que juegan todos contra todos, $\frac{n(n-1)}{2} = 105$ da $n^2 - n - 210 = 0$; con un precio dividido entre $x$ personas, aparece $\frac{16.000}{x}$ y hay que multiplicar por el denominador como en la sección anterior.
El cuadrado de un número natural menos su triple es exactamente igual a $18$. Plantea una ecuación de segundo grado y calcula de qué número se trata.
El cuadrado de un número natural menos su triple es exactamente igual a $18$. Plantea una ecuación de segundo grado y calcula de qué número se trata.
Para reformar el salón rectangular de una vivienda, el arquitecto indica que el largo mide $2\text{ m}$ más que el ancho. Si la superficie total del salón es de…
Para reformar el salón rectangular de una vivienda, el arquitecto indica que el largo mide $2\text{ m}$ más que el ancho. Si la superficie total del salón es de $35\text{ m}^2$, plantea una ecuación de segundo grado y calcula las dimensiones exactas de la estancia.
Un ingeniero aeroespacial lanza un cohete de prueba. La altura $h$ (en metros) alcanzada por el cohete en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la…
Un ingeniero aeroespacial lanza un cohete de prueba. La altura $h$ (en metros) alcanzada por el cohete en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la expresión $h(t) = 40t - 5t^2$. Determina en qué instantes de tiempo el cohete se encuentra exactamente a $75\text{ m}$ de altura.
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La venta de entradas del musical del liceo deja un beneficio $B$ (en decenas de pesos) que depende del número de entradas vendidas $x$ (en decenas) según la ecuación $B(x) = -x^2 + 50x - 400$. Calculá cuántas entradas deben vender exactamente para que el beneficio sea nulo (el punto de equilibrio).
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En una rampa de patinaje con forma de triángulo rectángulo, el cateto mayor mide $7\text{ m}$ más que el cateto menor, y la hipotenusa mide $2\text{ m}$ más que el cateto mayor. Plantea una ecuación de segundo grado utilizando el teorema de Pitágoras y calcula la longitud de los tres lados de la rampa.
Una fotografía rectangular de dimensiones $20\text{ cm}$ de base por $15\text{ cm}$ de altura se va a enmarcar con un paspartú de anchura uniforme $x$. Si el área total…
Una fotografía rectangular de dimensiones $20\text{ cm}$ de base por $15\text{ cm}$ de altura se va a enmarcar con un paspartú de anchura uniforme $x$. Si el área total del conjunto (fotografía más paspartú) debe ser exactamente de $500\text{ cm}^2$, plantea una ecuación de segundo grado y calcula la anchura $x$ del paspartú.
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En una liga de voleibol, cada equipo juega exactamente un partido contra todos los demás. Sabiendo que el número total de partidos disputados en un torneo de $n$ equipos viene dado por la fórmula $\frac{n(n-1)}{2}$, y que al finalizar la temporada se han disputado un total de $105$ partidos, plantea la ecuación correspondiente y averigua cuántos equipos participaron en la liga.
Dos mangueras de distinto grosor llenan juntas un depósito de agua en $6\text{ horas}$. Si se utilizara solo una de ellas, la manguera de menor grosor tardaría…
Dos mangueras de distinto grosor llenan juntas un depósito de agua en $6\text{ horas}$. Si se utilizara solo una de ellas, la manguera de menor grosor tardaría $5\text{ horas}$ más que la manguera gruesa en llenar el depósito por sí sola. Plantea una ecuación cuadrática sumando las fracciones de depósito que llena cada manguera en una hora, y calcula cuánto tiempo tardaría cada manguera trabajando individualmente.
Un grupo de estudiantes alquila un ómnibus para una excursión por un costo total de $\$16\,000$. A última hora se anotan $5…
Un grupo de estudiantes alquila un ómnibus para una excursión por un costo total de $\$16\,000$. A última hora se anotan $5$ estudiantes más al viaje, lo que hace que cada uno de los que iban a ir inicialmente tenga que pagar $\$160$ menos. Planteá una ecuación cuadrática para calcular cuántos estudiantes iban a ir al principio y resolvela.
Para ir más lejos: ecuaciones que se reducen a segundo grado
Un escultor quiere dividir una varilla de latón de $1\text{ metro}$ de longitud en dos trozos de longitudes $x$ y $1-x$ (siendo $x$ el trozo mayor, es decir, $x > 1-x$).…
Un escultor quiere dividir una varilla de latón de $1\text{ metro}$ de longitud en dos trozos de longitudes $x$ y $1-x$ (siendo $x$ el trozo mayor, es decir, $x > 1-x$). Desea hacerlo de tal forma que la proporción entre la varilla completa y el trozo mayor sea igual a la proporción entre el trozo mayor y el trozo menor. Plantea la ecuación correspondiente y halla el valor exacto de $x$.
El área de un rectángulo es de $60\text{ cm}^2$ y la longitud de su diagonal es de $13\text{ cm}$. Llamando $x$ a la base e $y$ a la altura, expresa $y$ en función de…
El área de un rectángulo es de $60\text{ cm}^2$ y la longitud de su diagonal es de $13\text{ cm}$. Llamando $x$ a la base e $y$ a la altura, expresa $y$ en función de $x$ usando el dato del área. A continuación, sustituye en el teorema de Pitágoras para la diagonal y resuelve la ecuación bicuadrada resultante para hallar las dimensiones exactas del rectángulo.
Resuelve la siguiente ecuación en la que aparece un radical, aislando primero la raíz y elevando al cuadrado ambos miembros. Es obligatorio comprobar las soluciones…
Resuelve la siguiente ecuación en la que aparece un radical, aislando primero la raíz y elevando al cuadrado ambos miembros. Es obligatorio comprobar las soluciones obtenidas en la ecuación original para descartar posibles raíces falsas:
$\sqrt{2x + 7} - x = 2$
Resumen
Volviendo al principio: la cancha mide $5\text{ m}$ de ancho por $7\text{ m}$ de largo, y la solución $-7$ se descarta porque una longitud no puede ser negativa.