Representación de funciones
Un taxi en Montevideo cobra una bajada de bandera y después un precio por cada kilómetro. Ese costo se puede contar con palabras, armar en una tabla, dibujar en una gráfica o escribir como fórmula: son cuatro representaciones de la misma función. En este apartado practicás cómo pasar de una a otra y reconocer las familias de funciones que vas a usar todo el año. Volvé al principio: al final vas a poder escribir la fórmula del taxi a partir del enunciado y reconocer su gráfica.
De la tabla a la gráfica
Antes de tabular hay que saber dónde existe la función. Es lo primero que se mira.
Observá la gráfica de la recta y determiná su pendiente, su ordenada al origen y su expresión algebraica.
Observá la gráfica de la recta y determiná su pendiente, su ordenada al origen y su expresión algebraica.
Halla el dominio de definición de la función radical $f(x) = \sqrt{2x - 8}$.
Halla el dominio de definición de la función radical $f(x) = \sqrt{2x - 8}$.
Rectas y parábolas
Volvamos al taxi: bajada de bandera de 120 pesos más 60 pesos por kilómetro da $C(x) = 60x + 120$, una recta de pendiente 60 y ordenada en el origen 120.
Trasladar una gráfica
Muchas veces una parábola no es nueva: es la parábola $y=x^2$ corrida de lugar.
Un taxista cobra una bajada de bandera de $120$ pesos y $60$ pesos por cada kilómetro recorrido. Escribí la expresión algebraica de la función que relaciona el costo del…
Un taxista cobra una bajada de bandera de $120$ pesos y $60$ pesos por cada kilómetro recorrido. Escribí la expresión algebraica de la función que relaciona el costo del trayecto con los kilómetros recorridos.
Determina las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría de la parábola $f(x) = x^2 - 6x + 5$.
Determina las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría de la parábola $f(x) = x^2 - 6x + 5$.
A partir de la parábola base $y = x^2$ (en trazo discontinuo), se ha realizado una traslación para obtener la parábola en trazo continuo. Escribe la expresión algebraica…
A partir de la parábola base $y = x^2$ (en trazo discontinuo), se ha realizado una traslación para obtener la parábola en trazo continuo. Escribe la expresión algebraica de la nueva parábola e indica el vector de traslación aplicado.
Un granjero dispone de $120$ metros de valla para cercar un terreno rectangular adyacente a un río recto. Sabiendo que no necesita vallar el lado que da al río, escribe…
Un granjero dispone de $120$ metros de valla para cercar un terreno rectangular adyacente a un río recto. Sabiendo que no necesita vallar el lado que da al río, escribe la función que proporciona el área del terreno en función de la anchura $x$ perpendicular al río. ¿Qué dimensiones maximizan el área y cuál es el área máxima?
Funciones racionales, exponenciales y logarítmicas
En un concurso de preguntas, los puntos acumulados se duplican en cada ronda superada. Si comienzas con $100$ puntos, escribe la función exponencial $P(r)$ que…
En un concurso de preguntas, los puntos acumulados se duplican en cada ronda superada. Si comienzas con $100$ puntos, escribe la función exponencial $P(r)$ que proporciona los puntos en función del número de rondas $r$ superadas.
Determina el dominio de la función logarítmica $f(x) = \log_3(x - 5)$.
Determina el dominio de la función logarítmica $f(x) = \log_3(x - 5)$.
Se invierten $200\,000$ pesos en un depósito bancario que ofrece un interés compuesto anual del $4\%$. Escribe la función exponencial que modeliza el capital acumulado…
Se invierten $200\,000$ pesos en un depósito bancario que ofrece un interés compuesto anual del $4\%$. Escribe la función exponencial que modeliza el capital acumulado al cabo de $t$ años y calcula el capital disponible tras $5$ años.
Racionales generales e inversa
No siempre la racional viene en la forma $\dfrac{k}{x-p}+q$. Con frecuencia es un cociente de dos expresiones de primer grado.
La función inversa
La inversa $f^{-1}$ deshace lo que hace $f$. Su gráfica es la reflexión de la de $f$ respecto de la recta $y=x$, así que los papeles de $x$ e $y$ se intercambian, y también los de las asíntotas.
Indica cuáles son las asíntotas vertical y horizontal de la función de proporcionalidad inversa $f(x) = \frac{2}{x-3} + 4$.
Indica cuáles son las asíntotas vertical y horizontal de la función de proporcionalidad inversa $f(x) = \frac{2}{x-3} + 4$.
Dada la función de proporcionalidad inversa $f(x) = \frac{3x - 1}{x + 2}$, halla la expresión de su función inversa $f^{-1}(x)$. Comprueba analíticamente que las…
Dada la función de proporcionalidad inversa $f(x) = \frac{3x - 1}{x + 2}$, halla la expresión de su función inversa $f^{-1}(x)$. Comprueba analíticamente que las asíntotas verticales y horizontales se intercambian entre $f(x)$ y $f^{-1}(x)$.
Determina los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ de la función racional $f(x) = \frac{ax + 2}{bx + c}$ sabiendo que tiene una asíntota vertical en $x = 1$, una…
Determina los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ de la función racional $f(x) = \frac{ax + 2}{bx + c}$ sabiendo que tiene una asíntota vertical en $x = 1$, una asíntota horizontal en $y = 3$ y pasa por el punto $(2, 8)$.
Modelos con raíces, logaritmos y exponenciales
Muchas fórmulas de otras materias son de estas familias. La clave es sustituir el dato y razonar con la definición.
El alquiler de un ómnibus para una excursión escolar cuesta $24\,000$ pesos. Escribí la función $C(x)$ que determina el costo por alumno en función del número de alumnos…
El alquiler de un ómnibus para una excursión escolar cuesta $24\,000$ pesos. Escribí la función $C(x)$ que determina el costo por alumno en función del número de alumnos $x$ que asistan. Si a última hora se dan de baja $5$ alumnos, escribí la nueva función de costo por alumno y hallá cuánto pagará cada uno si originalmente iban a ir $30$ alumnos.
El tiempo $t$ (en segundos) que tarda en caer al suelo un objeto que se suelta desde una altura $h$ (en metros) se aproxima con la función radical…
El tiempo $t$ (en segundos) que tarda en caer al suelo un objeto que se suelta desde una altura $h$ (en metros) se aproxima con la función radical $t(h) = \sqrt{\frac{2h}{9,8}}$. Calcula el dominio de la función en este contexto y determina el tiempo que tarda en caer un objeto soltado desde $4,9$ metros de altura.
El nivel de intensidad sonora $L$, en decibelios (dB), se calcula mediante la función logarítmica $L(I) = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$, donde $I$ es la…
El nivel de intensidad sonora $L$, en decibelios (dB), se calcula mediante la función logarítmica $L(I) = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$, donde $I$ es la intensidad del sonido e $I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$ es el umbral de audición. Calcula el nivel de intensidad sonora de una conversación normal cuya intensidad es $I = 10^{-6} \text{ W/m}^2$.
La cantidad de Carbono-14 en un resto fósil disminuye exponencialmente según la función $N(t) = N_0 \cdot (0,5)^{\frac{t}{5730}}$, donde $N_0$ es la cantidad inicial y…
La cantidad de Carbono-14 en un resto fósil disminuye exponencialmente según la función $N(t) = N_0 \cdot (0,5)^{\frac{t}{5730}}$, donde $N_0$ es la cantidad inicial y $t$ el tiempo en años. Si un hueso conserva solo el $12,5\%$ de su Carbono-14 original, ¿cuántos años han transcurrido?
Funciones a trozos
Dada la función definida a trozos $f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{si } x < 0 \\ x^2 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$, calcula los valores numéricos de $f(-2)$,…
Dada la función definida a trozos $f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{si } x < 0 \\ x^2 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$, calcula los valores numéricos de $f(-2)$, $f(0)$ y $f(3)$.
La siguiente gráfica muestra la velocidad de un ciclista en función del tiempo. Determina la expresión algebraica de la función definida a trozos que la representa.
La siguiente gráfica muestra la velocidad de un ciclista en función del tiempo. Determina la expresión algebraica de la función definida a trozos que la representa.
Expresa la función $f(x) = |x^2 - 5x + 6|$ como una función definida a trozos sin utilizar el valor absoluto. Indica en qué intervalos la función cuadrática original era…
Expresa la función $f(x) = |x^2 - 5x + 6|$ como una función definida a trozos sin utilizar el valor absoluto. Indica en qué intervalos la función cuadrática original era negativa antes de aplicar el valor absoluto.
Tarifas por tramos
Las facturas de OSE o UTE son un ejemplo cotidiano de función a trozos: el precio de cada unidad cambia según cuánto consumís.
El costo mensual de la factura del agua en un municipio se calcula mediante una función definida por partes: una cuota fija de $400$ pesos que incluye los primeros…
El costo mensual de la factura del agua en un municipio se calcula mediante una función definida por partes: una cuota fija de $400$ pesos que incluye los primeros $15 \text{ m}^3$, un costo de $20$ pesos por $\text{m}^3$ adicional para el consumo entre $15 \text{ m}^3$ y $30 \text{ m}^3$, y un costo de $48$ pesos por cada $\text{m}^3$ que exceda los $30 \text{ m}^3$. Escribí la expresión analítica de la función costo $C(x)$ en función de los metros cúbicos totales consumidos $x$.
Funciones periódicas
La función periódica por excelencia es el seno. Para entenderla hace falta el círculo trigonométrico.
El círculo trigonométrico y los radianes
El círculo trigonométrico es la circunferencia de radio 1 con centro en el origen. Un ángulo $\theta$ se mide desde el semieje positivo de las $x$, girando en sentido contrario a las agujas del reloj. El punto de la circunferencia que le corresponde tiene coordenadas $(\cos\theta,\ \operatorname{sen}\theta)$.
Los ángulos se miden en grados (una vuelta completa son $360^\circ$) o en radianes. Un radián es el ángulo cuyo arco mide lo mismo que el radio. Como la circunferencia de radio 1 mide $2\pi$, una vuelta completa son $2\pi$ radianes.
Como el punto está sobre una circunferencia de radio 1, $\operatorname{sen}\theta$ y $\cos\theta$ siempre están entre $-1$ y $1$. Y al dar una vuelta completa ($2\pi$ rad) se vuelve al mismo punto: el seno y el coseno son periódicos de periodo $2\pi$.
Ahora sí, la noria de una feria: $h(t) = 12 + 10\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{4}t\right)$, con $t$ en minutos. El argumento del seno es un ángulo en radianes que avanza $\frac{\pi}{4}$ rad (o sea $45^\circ$) por minuto. El seno oscila entre $-1$ y $1$, así que $h$ oscila entre $12-10 = 2$ y $12+10 = 22$ metros. Y el ángulo completa una vuelta ($2\pi$) cuando $\dfrac{\pi}{4}t = 2\pi$, o sea en $T = 8$ minutos.
La altura $h(t)$ en metros de una cabina de una noria de feria respecto al suelo en función del tiempo $t$ en minutos viene dada por…
La altura $h(t)$ en metros de una cabina de una noria de feria respecto al suelo en función del tiempo $t$ en minutos viene dada por $h(t) = 12 + 10\sin\left(\frac{\pi}{4}t\right)$. ¿Cuál es la altura máxima y mínima que alcanza la noria? ¿Cuánto tarda en dar una vuelta completa?
De la gráfica a la fórmula
Dónde se cortan dos gráficas
Los puntos de corte de dos funciones son los $x$ donde $f(x)=g(x)$. Se igualan las fórmulas, se resuelve y se calcula la otra coordenada.
El beneficio de la venta de remeras de la fiesta de fin de año, en pesos, viene dado por la función $B(x) = -80x^2 + 4\,800x - 40\,000$, donde $x$ es el número de…
El beneficio de la venta de remeras de la fiesta de fin de año, en pesos, viene dado por la función $B(x) = -80x^2 + 4\,800x - 40\,000$, donde $x$ es el número de remeras vendidas en cientos. ¿Cuántas remeras deben vender para maximizar el beneficio y cuál es dicho beneficio máximo?
La trayectoria de un proyectil describe una parábola de ecuación $y = ax^2 + bx + c$. Sabiendo que el proyectil se lanza desde el punto $(0, 3)$, alcanza su altura…
La trayectoria de un proyectil describe una parábola de ecuación $y = ax^2 + bx + c$. Sabiendo que el proyectil se lanza desde el punto $(0, 3)$, alcanza su altura máxima en el punto $(2, 7)$ y cae al suelo, halla la expresión algebraica de la parábola y determina a qué distancia horizontal del punto de lanzamiento impactará.
La gráfica muestra la intersección entre la recta $y = -x + 5$ y la hipérbola $y = \frac{4}{x}$. Calcula de forma analítica las coordenadas exactas de los puntos de…
La gráfica muestra la intersección entre la recta $y = -x + 5$ y la hipérbola $y = \frac{4}{x}$. Calcula de forma analítica las coordenadas exactas de los puntos de corte $A$ y $B$.