Distribuciones bidimensionales

Clasifica las siguientes relaciones entre variables bidimensionales como dependencia funcional o dependencia estadística (aleatoria):

1. a) La longitud del radio de una circunferencia y su área.
2. b) El número de horas de entrenamiento de un atleta y su marca en una carrera de $100$ metros.
3. c) El peso de un paquete de naranjas y su precio en el supermercado.
4. d) La edad de un árbol y su altura.

En un experimento de laboratorio se quiere comprobar cómo afecta la temperatura ($T$) a la solubilidad de una sal en agua ($S$).

1. a) Identifica cuál debe considerarse la variable independiente ($X$) y cuál la dependiente ($Y$) para hacer un estudio de regresión.
2. b) Si al aumentar la temperatura, la cantidad de sal disuelta aumenta proporcionalmente, ¿qué signo tendrá el coeficiente de correlación lineal?

Para una distribución bidimensional $(X, Y)$ de $10$ pares de valores, se han obtenido las siguientes sumas tras tabular los datos: $\sum x_i = 40$, $\sum y_i = 60$ y $\sum x_i y_i = 280$. Calcula el valor de la covarianza de la distribución.

Se ha medido el peso en kg ($X$) y la altura en cm ($Y$) de un grupo de $5$ amigos, obteniendo los siguientes pares de valores: $(60, 165)$, $(65, 170)$, $(70, 175)$, $(55, 160)$ y $(80, 180)$. Calcula las coordenadas exactas del centro de gravedad $(\bar{x}, \bar{y})$ de esta distribución bidimensional.

Una pequeña empresa de software ha registrado el número de desarrolladores asignados a un proyecto ($X$) y el tiempo en meses que han tardado en finalizarlo ($Y$):

$X$: $2, 3, 5, 6$

$Y$: $8, 6, 3, 2$

1. a) Calcula la media de $X$ y la media de $Y$.
2. b) Calcula la covarianza de la distribución.
3. c) ¿La relación es directa o inversa? ¿Tiene sentido este resultado en el contexto del problema?

En una pequeña localidad se recogió la información sobre el número de autos por familia ($X$) y el número de televisores por familia ($Y$), presentados en la siguiente tabla de doble entrada:

1. a) Obtené las distribuciones marginales de $X$ y de $Y$.
2. b) Calculá el centro de gravedad de la distribución $(\bar{x}, \bar{y})$.
3. c) Calculá la covarianza $\sigma_{xy}$.

En una clase de 4º ESO se ha estudiado la relación entre la nota de Física ($X$) y la de Matemáticas ($Y$) de los $20$ alumnos matriculados. El centro de gravedad de la distribución es $(6,2; 6,5)$.

Si un nuevo alumno se incorpora a la clase y obtiene un $4$ en Física y un $5$ en Matemáticas, ¿cómo se desplazará el centro de gravedad de la nueva distribución de $21$ alumnos? (No es necesario calcular el valor exacto, sino razonar la dirección del cambio en ambas coordenadas).

Asocia cada uno de los siguientes valores del coeficiente de correlación lineal de Pearson ($r$) con la gráfica correspondiente en el diagrama inferior.

Valores: $r_1 = 0,98$, $r_2 = -0,92$, $r_3 = 0,05$, $r_4 = 0,45$.

El coeficiente de correlación lineal entre la talla de zapato de un grupo de estudiantes y la nota obtenida en el último examen de matemáticas es $r = 0,02$. Explica el significado de este valor. ¿Tiene sentido calcular la recta de regresión para predecir la nota a partir de la talla de zapato?

En un estudio de mercado sobre el precio de la vivienda ($Y$, en miles de pesos) en función de su superficie ($X$, en metros cuadrados), se obtuvieron los siguientes parámetros estadísticos:

• La covarianza es $\sigma_{xy} = 450$.

• La desviación estándar de la superficie es $\sigma_x = 25$.

• La desviación estándar del precio es $\sigma_y = 20$.

Calculá el coeficiente de correlación lineal e interpretá la fuerza y el sentido de la relación entre ambas variables.

Conocemos los siguientes datos de una distribución bidimensional referida a las ventas de una empresa ($Y$, en miles de unidades) según la inversión en publicidad ($X$, en miles de pesos):

• Centro de gravedad: $(480, 40)$.

• Desviación estándar de $X$: $\sigma_x = 120$.

• Desviación estándar de $Y$: $\sigma_y = 5$.

• Coeficiente de correlación: $r = 0,9$.

Hallá la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ en la forma $y = mx + n$.

Dadas las ecuaciones de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ ($y = 0,8x + 2,4$) y de la recta de regresión de $X$ sobre $Y$ ($x = 0,5y + 3$) de una misma distribución bidimensional, determina las coordenadas del centro de gravedad $(\bar{x}, \bar{y})$. (Recuerda la propiedad geométrica que relaciona ambas rectas con el centro de gravedad).

Se les preguntó a $6$ familias por sus ingresos mensuales en miles de pesos ($X$) y su gasto mensual en ocio en cientos de pesos ($Y$). Los resultados son los pares:

$(80, 120)$, $(100; 160)$, $(120, 160)$, $(160, 240)$, $(180; 280)$, $(200, 320)$.

1. a) Representá la nube de puntos en unos ejes coordenados.
2. b) Observando tu representación, estimá si la correlación es fuerte o débil, y si es positiva o negativa.
3. c) Sin hacer cálculos complejos de regresión, ¿creés que la recta de regresión pasaría cerca del punto $(140; 212)$? Justificá tu respuesta calculando el centro de gravedad de la distribución.

Se conocen las ecuaciones de las dos rectas de regresión de una distribución bidimensional:

Recta de $Y$ sobre $X$: $y = -1,2x + 10$

Recta de $X$ sobre $Y$: $x = -0,6y + 8$

1. a) Calcula las coordenadas del centro de gravedad $(\bar{x}, \bar{y})$.
2. b) Sabiendo que el coeficiente de correlación $r$ tiene el mismo signo que la pendiente de las rectas de regresión, y que se cumple la relación $r^2 = m_{yx} \cdot m_{xy}$ (donde $m_{yx}$ es la pendiente de la recta de $Y$ sobre $X$, y $m_{xy}$ es la pendiente de la recta de $X$ sobre $Y$), calcula el valor exacto de $r$.

En una distribución bidimensional, se sabe que el centro de gravedad es el punto $(4, 7)$, la varianza de la variable $X$ es $\sigma_x^2 = 3$ y la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = 1,5x + 1$.

1. a) Comprueba analíticamente si el centro de gravedad pertenece a la recta dada.
2. b) A partir de la pendiente de la recta de regresión, calcula el valor de la covarianza $\sigma_{xy}$.
3. c) Si se sabe además que la varianza de $Y$ es $\sigma_y^2 = 8$, ¿cuál es el valor del coeficiente de correlación lineal $r$?

La recta de regresión que relaciona el número de horas de estudio semanal ($X$) con la calificación obtenida en un examen sobre $10$ ($Y$) viene dada por la ecuación $y = 0,6x + 2,5$.

1. a) ¿Qué calificación se estima para un alumno que ha estudiado $8$ horas?
2. b) Si un alumno quiere obtener una calificación estimada de $7$, ¿cuántas horas debería estudiar según este modelo?

La recta de regresión que relaciona la antigüedad de un modelo de auto en años ($X$) con su valor en el mercado de segunda mano en miles de pesos ($Y$) es $y = -48x + 720$.

1. a) Estimá el valor de un auto que tiene $5$ años de antigüedad.
2. b) Estimá el valor de un auto que tiene $20$ años de antigüedad.
3. c) ¿Son igualmente confiables ambas estimaciones? Explicá los riesgos lógicos y matemáticos de la extrapolación en el segundo caso.

Una empresa de transporte quiere analizar la relación entre la distancia recorrida en un trayecto ($X$, en decenas de km) y el consumo de combustible ($Y$, en litros). Los datos registrados en una muestra de $5$ camiones son:

$X$: $5, 10, 15, 20, 25$

$Y$: $12, 22, 30, 42, 49$

1. a) Calcula las medias $\bar{x}$ e $\bar{y}$.
2. b) Calcula las varianzas $\sigma_x^2$ y $\sigma_y^2$, y la covarianza $\sigma_{xy}$.
3. c) Halla el coeficiente de correlación lineal $r$.
4. d) Determina la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ y estima el consumo de combustible para un trayecto de $180$ km ($X=18$).

Un estudio estadístico realizado durante un año en una ciudad costera muestra una fuerte correlación positiva entre las ventas mensuales de helados y el número de personas que sufren incidentes de ahogamiento en la playa.

1. a) ¿Significa esto que comer helados es la causa de los ahogamientos?
2. b) Identifica una posible "variable oculta" que explique el aumento simultáneo de ambas variables y justifique la correlación estadística encontrada.

Se ha estudiado la relación entre las horas de entrenamiento semanal ($X$) y el tiempo en minutos en completar una prueba deportiva de resistencia ($Y$) en un grupo de atletas, obteniendo el siguiente diagrama de dispersión.

Al calcular el coeficiente de correlación con todos los datos, se obtiene una correlación débil ($r = -0,45$).

1. a) Observando la gráfica, identifica qué punto se considera un valor atípico (outlier).
2. b) Explica, razonando sobre el concepto de tendencia lineal, cómo afectaría la eliminación del "Atleta A" al valor numérico del coeficiente de correlación y a la pendiente de la recta de regresión.

Demuestra analíticamente que si la relación empírica entre dos variables $X$ e $Y$ es exactamente lineal y cumple $y_i = a x_i + b$ para todos los pares de valores (con $a > 0$), entonces la covarianza es $\sigma_{xy} = a \cdot \sigma_x^2$ y el coeficiente de correlación lineal es exactamente $r = 1$.

(Pista: recuerda que si $y_i = a x_i + b$, entonces la media cumple $\bar{y} = a \bar{x} + b$. Sustituye estas expresiones en la fórmula de la covarianza $\sigma_{xy} = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{N}$).

La covarianza entre la variable $X$ (temperatura media diaria en grados Celsius) y la variable $Y$ (ventas de refrescos en pesos) en un mes determinado es $\sigma_{xy} = 150$.

Si decidimos cambiar la unidad de medida de la temperatura a grados Fahrenheit usando la fórmula de conversión $F = 1,8C + 32$, respondé razonadamente:

1. a) ¿Cuál será el nuevo valor de la covarianza $\sigma_{Fy}$ entre la temperatura en Fahrenheit y las ventas?
2. b) ¿El nuevo coeficiente de correlación lineal cambiará respecto al original? Justificá tu respuesta apelando a la fórmula de $r$.

Un agricultor quiere predecir la producción de su cosecha de tomates ($Y$, en toneladas). Tiene dos variables predictoras posibles: la cantidad de fertilizante usado ($X_1$, en kg) y el número de días de lluvia durante el cultivo ($X_2$).

Tras analizar datos históricos, obtiene los siguientes parámetros:

$\sigma_{x_1} = 10$, $\sigma_{x_2} = 4$, $\sigma_y = 5$.

Covarianza entre $X_1$ e $Y$: $\sigma_{x_1y} = 40$.

Covarianza entre $X_2$ e $Y$: $\sigma_{x_2y} = -18$.

1. a) Calcula el coeficiente de correlación lineal para cada par de variables: $(X_1, Y)$ y $(X_2, Y)$.
2. b) ¿Qué variable proporciona una predicción más fiable de la producción de tomates mediante un modelo lineal? Justifica tu decisión.