Permutaciones
En una carrera escolar compiten 7 corredores, sin empates. ¿De cuántas formas pueden llegar a la meta? Es una pregunta de ordenar: colocar todos los elementos de un conjunto, uno tras otro. Eso se llama permutación y es el caso más simple (y más usado) de la combinatoria.
Factorial y permutaciones de n elementos distintos
Para el primer lugar hay $n$ opciones; elegida esa, para el segundo quedan $n-1$; para el tercero, $n-2$; y así hasta que queda $1$ opción para el último.
$$P_n = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2 \cdot 1 = n!$$Ese producto se lee «$n$ factorial». Conviene saber desarrollarlo: $n! = n \cdot (n-1)!$, y por convención $0! = 1$.
Con factoriales se simplifica desarrollando solo lo necesario. Por ejemplo, $\dfrac{12!}{10!} = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10!}{10!} = 132$, y en forma algebraica $\dfrac{(n+2)!}{n!} = (n+2)(n+1)$.
Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones con factoriales: $\frac{8!}{5! \cdot 3!}$ y $\frac{12!}{10!}$.
Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones con factoriales: $\frac{8!}{5! \cdot 3!}$ y $\frac{12!}{10!}$.
Un grupo de $6$ amigos acude al teatro y compran entradas para asientos consecutivos en la misma fila. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse a disfrutar de la…
Un grupo de $6$ amigos acude al teatro y compran entradas para asientos consecutivos en la misma fila. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse a disfrutar de la obra?
Simplifica la siguiente expresión algebraica que involucra factoriales, expresando el resultado en su forma más reducida: $\frac{(n+2)!}{n! \cdot (n+1)}$.
Simplifica la siguiente expresión algebraica que involucra factoriales, expresando el resultado en su forma más reducida: $\frac{(n+2)!}{n! \cdot (n+1)}$.
Encuentra el valor del número natural $x$ que satisface la siguiente ecuación, justificando matemáticamente tu respuesta: $P_x = 30 \cdot P_{x-2}$.
Encuentra el valor del número natural $x$ que satisface la siguiente ecuación, justificando matemáticamente tu respuesta: $P_x = 30 \cdot P_{x-2}$.
Simplifica las fracciones algebraicas y resuelve la siguiente ecuación que contiene factoriales, encontrando el valor de $x$:…
Simplifica las fracciones algebraicas y resuelve la siguiente ecuación que contiene factoriales, encontrando el valor de $x$: $\frac{(x+1)!}{(x-1)!} - \frac{x!}{(x-2)!} = 14$.
Permutaciones con restricciones
Muchas veces una parte de la ordenación está fijada de antemano: dos personas que deben sentarse juntas, un elemento que va primero o último… No se aplica $n!$ directamente: se razona primero la restricción y se ordena después lo que queda libre.
Cuando la restricción es «no pueden estar juntos», se cuenta el total y se resta los casos en que sí están juntos.
Cinco amigos van al cine y se sientan en butacas contiguas. Dos de ellos, Amina y Unai, quieren sentarse juntos para compartir las palomitas. ¿De cuántas maneras pueden…
Cinco amigos van al cine y se sientan en butacas contiguas. Dos de ellos, Amina y Unai, quieren sentarse juntos para compartir las palomitas. ¿De cuántas maneras pueden acomodarse los cinco amigos cumpliendo siempre esta condición?
En la final de una carrera de natación de los Juegos Olímpicos participan $8$ nadadores. Si sabemos con certeza qué nadador ha ganado la medalla de oro y cuál ha llegado…
En la final de una carrera de natación de los Juegos Olímpicos participan $8$ nadadores. Si sabemos con certeza qué nadador ha ganado la medalla de oro y cuál ha llegado en último lugar debido a una lesión, ¿de cuántas formas distintas han podido clasificarse los demás participantes en las posiciones intermedias?
Un grupo formado por $3$ chicos y $3$ chicas se van a sentar en una fila de $6$ butacas para ver un concierto. ¿De cuántas maneras pueden hacerlo si deben sentarse de…
Un grupo formado por $3$ chicos y $3$ chicas se van a sentar en una fila de $6$ butacas para ver un concierto. ¿De cuántas maneras pueden hacerlo si deben sentarse de forma que los sexos queden estrictamente alternados (chico-chica-chico... o chica-chico-chica...)?
En la estantería de una biblioteca escolar se van a colocar en fila $4$ libros distintos de Matemáticas, $3$ libros distintos de Física y $2$ libros distintos de…
En la estantería de una biblioteca escolar se van a colocar en fila $4$ libros distintos de Matemáticas, $3$ libros distintos de Física y $2$ libros distintos de Química. Si la bibliotecaria exige que los libros de la misma materia deben permanecer siempre juntos formando un bloque, ¿de cuántas maneras distintas se pueden ordenar en la balda?
Permutaciones con elementos repetidos
¿Cuántas palabras distintas se forman con las letras de ANA? Si las dos A fueran distinguibles ($A_1$ y $A_2$) saldrían $3! = 6$ ordenaciones, pero $A_1NA_2$ y $A_2NA_1$ se leen igual: son la misma palabra.
¿Cuántas palabras distintas, tengan o no sentido en el diccionario, se pueden formar ordenando todas las letras de la palabra "MUNDO"?
¿Cuántas palabras distintas, tengan o no sentido en el diccionario, se pueden formar ordenando todas las letras de la palabra "MUNDO"?
Un barco se comunica con otros navíos mediante banderas de colores izadas verticalmente en un mástil. Si dispone de $3$ banderas rojas, $2$ banderas azules y $1$ bandera…
Un barco se comunica con otros navíos mediante banderas de colores izadas verticalmente en un mástil. Si dispone de $3$ banderas rojas, $2$ banderas azules y $1$ bandera amarilla, todas del mismo tamaño, ¿cuántas señales distintas puede enviar usando todas las banderas a la vez?
¿Cuántas palabras diferentes, tengan o no sentido, se pueden formar utilizando todas las letras de la palabra "CAMPANA"?
¿Cuántas palabras diferentes, tengan o no sentido, se pueden formar utilizando todas las letras de la palabra "CAMPANA"?
Un ingeniero informático quiere formar códigos numéricos de seis cifras utilizando exactamente los siguientes dígitos en cada código: $2, 2, 3, 3, 3, 4$. ¿Cuántos…
Un ingeniero informático quiere formar códigos numéricos de seis cifras utilizando exactamente los siguientes dígitos en cada código: $2, 2, 3, 3, 3, 4$. ¿Cuántos códigos distintos puede programar el sistema?
¿Cuántas palabras diferentes, con o sin sentido, se pueden formar reordenando todas las letras de la palabra "ESTADISTICA" de modo que obligatoriamente empiecen por la…
¿Cuántas palabras diferentes, con o sin sentido, se pueden formar reordenando todas las letras de la palabra "ESTADISTICA" de modo que obligatoriamente empiecen por la letra $E$ y terminen por la letra $A$?
Permutaciones circulares y caminos en cuadrícula
En una fila, el primer y el último puesto son distintos. En una mesa redonda no hay «primer asiento»: solo importa el orden relativo. Girar a todo el grupo un asiento no es una colocación nueva.
Otra situación del mismo tipo de recuento: un repartidor que solo se mueve hacia la derecha o hacia arriba en una cuadrícula de cuadras. Cada camino mínimo es una secuencia de pasos D (derecha) y A (arriba); contar caminos equivale a ordenar letras repetidas.
Si hay un nodo prohibido, se cuentan los caminos totales y se restan los que pasan por él (los que van de A a C, multiplicados por los de C a B).
Una familia de $6$ miembros se sienta a cenar alrededor de una mesa circular en un restaurante. ¿De cuántas formas distintas pueden ubicarse si solo importa la posición…
Una familia de $6$ miembros se sienta a cenar alrededor de una mesa circular en un restaurante. ¿De cuántas formas distintas pueden ubicarse si solo importa la posición relativa entre ellos y no la silla exacta que ocupan en el salón?
En el plano de una ciudad con calles dispuestas en cuadrícula, un repartidor en bicicleta debe ir desde el punto $A$ hasta el punto $B$ desplazándose únicamente hacia la…
En el plano de una ciudad con calles dispuestas en cuadrícula, un repartidor en bicicleta debe ir desde el punto $A$ hasta el punto $B$ desplazándose únicamente hacia la derecha y hacia arriba. ¿Cuántos caminos diferentes de longitud mínima puede tomar para realizar la entrega?
Ocho diplomáticos se reúnen en una cumbre internacional y deben sentarse alrededor de una gran mesa redonda. Dos de los representantes están fuertemente enemistados y el…
Ocho diplomáticos se reúnen en una cumbre internacional y deben sentarse alrededor de una gran mesa redonda. Dos de los representantes están fuertemente enemistados y el protocolo exige que no se sienten uno al lado del otro. ¿De cuántas formas diferentes pueden acomodarse en la mesa cumpliendo esta restricción?
Un robot autónomo se desplaza por una cuadrícula logística desde el nodo $A$ hasta el nodo $B$ avanzando exclusivamente hacia la derecha y hacia abajo. Debido a unas…
Un robot autónomo se desplaza por una cuadrícula logística desde el nodo $A$ hasta el nodo $B$ avanzando exclusivamente hacia la derecha y hacia abajo. Debido a unas reparaciones en el suelo, el nodo $C$ está bloqueado y el robot no puede pasar por él. ¿Cuántas trayectorias válidas existen para completar el recorrido?
Sumas de números y orden alfabético
Dos problemas clásicos de permutaciones piden más ingenio: sumar todos los números que se forman con unas cifras, y averiguar en qué lugar aparece una palabra si se ordenan alfabéticamente todos los anagramas.
Suma de todos los números formados
La clave: si se fija una cifra en una posición, las demás se permutan libremente. Entonces cada cifra aparece en cada posición $(n-1)!$ veces.
Posición de una palabra en la lista alfabética
Para saber en qué lugar queda una palabra, se cuentan las palabras que van antes, letra por letra: las que empiezan con una letra menor, luego las que coinciden en la primera y tienen una segunda letra menor, y así. Al resultado se le suma 1.
Calcula cuál es la suma total de todos los números enteros de $4$ cifras distintas que se pueden formar utilizando exclusivamente los dígitos $1, 2, 3$ y $4$.
Calcula cuál es la suma total de todos los números enteros de $4$ cifras distintas que se pueden formar utilizando exclusivamente los dígitos $1, 2, 3$ y $4$.
Si se generan todas las palabras posibles, con o sin sentido, permutando las letras de la palabra "LIBRO" y luego se ordenan estrictamente de forma alfabética (como en…
Si se generan todas las palabras posibles, con o sin sentido, permutando las letras de la palabra "LIBRO" y luego se ordenan estrictamente de forma alfabética (como en un diccionario), ¿qué posición ocupará exactamente la palabra "LIBRO" en esa lista?
Resumen
Volvé al principio: 7 corredores pueden llegar a la meta de $7! = 5.040$ formas.