Funciones potenciales
El área de una baldosa cuadrada es $A(l) = l^2$, el volumen de un cubo es $V(a) = a^3$, y la intensidad de la luz de una lámpara en la Rambla decrece como $I(d) = k \cdot d^{-2}$. Si a tres metros de un farol hay cierta luz, ¿cuánta habrá a seis metros? ¿Se reduce a la mitad? En los tres casos la variable está en la base y el exponente es fijo: son funciones potenciales. Al final de la página vas a poder responder esa pregunta.
Qué es una función potencial
Mové el deslizador de $n$ y observá cómo cambia la forma de la curva.
Identifica cuáles de las siguientes expresiones algebraicas corresponden a una función potencial: $f(x) = 3x^2$ $g(x) = 2^x$ $h(x) = \frac{5}{x^3}$ $i(x) = x^{1/2}$
Identifica cuáles de las siguientes expresiones algebraicas corresponden a una función potencial:
-
$f(x) = 3x^2$
-
$g(x) = 2^x$
-
$h(x) = \frac{5}{x^3}$
-
$i(x) = x^{1/2}$
Escribe la expresión algebraica de la función que asocia a cada número real positivo su raíz cúbica, expresándola en forma de potencia con exponente fraccionario.
Escribe la expresión algebraica de la función que asocia a cada número real positivo su raíz cúbica, expresándola en forma de potencia con exponente fraccionario.
Calcular imágenes y hallar el coeficiente
Para hallar la imagen de $a$, se sustituye $x=a$ y se calcula la potencia. Si conocés un punto de la gráfica, sustituís sus coordenadas y despejás el coeficiente (o el exponente).
Cuando no se conocen $a$ ni $n$, hacen falta dos puntos. Se divide una ecuación entre la otra y desaparece $a$.
Cuando el punto no tiene $x=1$, hay que dividir. Y el exponente puede no ser entero: se lleva todo a una misma base.
Dada la función potencial $f(x) = 2x^4$, calcula el valor de sus imágenes para $x = -2$, $x = 0$ y $x = 3$.
Dada la función potencial $f(x) = 2x^4$, calcula el valor de sus imágenes para $x = -2$, $x = 0$ y $x = 3$.
Halla el valor del coeficiente $k$ de la función potencial $f(x) = k \cdot x^3$ sabiendo que su gráfica pasa por el punto de coordenadas $(2, 40)$.
Halla el valor del coeficiente $k$ de la función potencial $f(x) = k \cdot x^3$ sabiendo que su gráfica pasa por el punto de coordenadas $(2, 40)$.
Sabiendo que la gráfica de una función potencial de la forma $f(x) = x^n$ pasa por el punto $(3, 81)$, averigua el valor del exponente $n$.
Sabiendo que la gráfica de una función potencial de la forma $f(x) = x^n$ pasa por el punto $(3, 81)$, averigua el valor del exponente $n$.
Una función potencial viene dada por la expresión $f(x) = a \cdot x^n$. Halla los valores exactos del coeficiente $a$ y del exponente $n$ sabiendo que la gráfica pasa…
Una función potencial viene dada por la expresión $f(x) = a \cdot x^n$. Halla los valores exactos del coeficiente $a$ y del exponente $n$ sabiendo que la gráfica pasa por los puntos $(1, 5)$ y $(2, 40)$.
Halla la expresión analítica de la función potencial $f(x) = a \cdot x^n$ sabiendo que su gráfica pasa por los puntos $(2, 2)$ y $(8, 16)$. Expresa el exponente $n$ en…
Halla la expresión analítica de la función potencial $f(x) = a \cdot x^n$ sabiendo que su gráfica pasa por los puntos $(2, 2)$ y $(8, 16)$. Expresa el exponente $n$ en forma de fracción irreducible.
Comparar potencias e intersecciones
Para saber dónde se cortan dos gráficas se igualan las expresiones y se resuelve la ecuación. Para saber cuál está arriba en cada tramo, se usa la gráfica.
Entre $0$ y $1$, las potencias de exponente mayor quedan más abajo ($0{,}5^3 < 0{,}5^2$); después de $1$ pasan por encima.
Determina analíticamente los puntos de corte entre las gráficas de las funciones potenciales $f(x) = x^2$ y $g(x) = x^4$.
Determina analíticamente los puntos de corte entre las gráficas de las funciones potenciales $f(x) = x^2$ y $g(x) = x^4$.
Observa la siguiente gráfica que muestra dos funciones potenciales en el primer cuadrante. Sabiendo que las expresiones analíticas corresponden a $y = x^2$ e $y = x^3$,…
Observa la siguiente gráfica que muestra dos funciones potenciales en el primer cuadrante.
Sabiendo que las expresiones analíticas corresponden a $y = x^2$ e $y = x^3$, identifica cuál es $f(x)$ y cuál es $g(x)$. A partir de la gráfica y de las expresiones, determina en qué intervalo estrictamente positivo la función cúbica toma valores menores que la cuadrática.
Determina analíticamente los puntos de intersección entre la función cúbica $f(x) = 8x^3$ y la función de proporcionalidad inversa $g(x) = x^{-1}$.
Determina analíticamente los puntos de intersección entre la función cúbica $f(x) = 8x^3$ y la función de proporcionalidad inversa $g(x) = x^{-1}$.
Exponente negativo: dos asíntotas
Si $n$ es par (como $x^{-2}$) la función es par y la gráfica es simétrica respecto al eje $y$. Si $n$ es impar (como $x^{-1}$ o $-3x^{-3}$) es impar y la gráfica es simétrica respecto al origen. Se comprueba con $f(-x)$.
Ahora sí podés responder la pregunta del principio: con $I(d)=k\,d^{-2}$, al pasar de $3$ m a $6$ m la distancia se duplica y la intensidad se multiplica por $2^{-2}=\tfrac14$. No se reduce a la mitad: queda en un cuarto.
Indica el dominio de definición y las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de la función potencial $f(x) = x^{-2}$.
Indica el dominio de definición y las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de la función potencial $f(x) = x^{-2}$.
Dada la función $f(x) = -3x^{-3}$, determina su dominio de definición, su recorrido y estudia analíticamente si presenta algún tipo de simetría (par o impar).
Dada la función $f(x) = -3x^{-3}$, determina su dominio de definición, su recorrido y estudia analíticamente si presenta algún tipo de simetría (par o impar).
El siguiente gráfico muestra tres funciones potenciales cuyas expresiones son $y = x^{-1}$, $y = x^{-2}$ e $y = x^{1/2}$. Asocia cada curva (A, B y C) con su expresión…
El siguiente gráfico muestra tres funciones potenciales cuyas expresiones son $y = x^{-1}$, $y = x^{-2}$ e $y = x^{1/2}$.
Asocia cada curva (A, B y C) con su expresión analítica correspondiente, justificando tu respuesta basándote en el dominio, la paridad y el comportamiento asintótico de cada una.
Exponente fraccionario
Un exponente fraccionario equivale a una raíz: $x^{1/2}=\sqrt{x}$, $x^{2/3}=\sqrt[3]{x^2}$. La curva empieza en el origen y, si el denominador $q$ es par, el dominio queda limitado a $x\geq0$.
También sirve al revés: si $r(t)=2t^{1/2}$ y querés que $r=4$, resolvés $2\sqrt t=4$, o sea $\sqrt t = 2$ y $t=4$. Se deshace la potencia elevando al exponente inverso.
Indica cuál es el dominio de definición y determina el tipo de simetría (par, impar o ninguna) de la función potencial $f(x) = x^6$.
Indica cuál es el dominio de definición y determina el tipo de simetría (par, impar o ninguna) de la función potencial $f(x) = x^6$.
El radio $r$ (en cm) de una mancha circular de aceite que se extiende por el agua crece con el tiempo $t$ (en minutos) según la función potencial…
El radio $r$ (en cm) de una mancha circular de aceite que se extiende por el agua crece con el tiempo $t$ (en minutos) según la función potencial $r(t) = 2 \cdot t^{1/2}$. Calcula el radio de la mancha a los $0,25$ minutos y averigua cuánto tiempo debe pasar para que el radio de la mancha sea exactamente de $4$ cm.
Dada la función potencial con exponente fraccionario $f(x) = x^{2/3}$: Determina su dominio de definición. Calcula los valores exactos de $f(8)$ y $f(-8)$. Razona…
Dada la función potencial con exponente fraccionario $f(x) = x^{2/3}$:
-
Determina su dominio de definición.
-
Calcula los valores exactos de $f(8)$ y $f(-8)$.
-
Razona analíticamente si la función es par, impar o ninguna de las dos.
Funciones potenciales en la ciencia
Muchas leyes físicas y biológicas tienen forma potencial: el área en función del radio, la energía cinética en función de la velocidad, la tercera ley de Kepler, o el costo unitario en función de la cantidad producida.
Expresa mediante una función potencial el área $A$ de un círculo en función de su radio $r$. ¿Cuál es el grado de esta función potencial?
Expresa mediante una función potencial el área $A$ de un círculo en función de su radio $r$. ¿Cuál es el grado de esta función potencial?
La intensidad de la luz $I$ que recibe un objeto es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia $d$ al foco luminoso, lo que se modeliza mediante la función…
La intensidad de la luz $I$ que recibe un objeto es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia $d$ al foco luminoso, lo que se modeliza mediante la función potencial $I(d) = k \cdot d^{-2}$. Si a una distancia de $2$ metros la intensidad es de $100$ lux, halla la expresión completa de la función y calcula la intensidad que recibirá el objeto a $5$ metros de distancia.
La energía cinética de un cuerpo en movimiento viene dada por la fórmula $E_c(v) = \frac{1}{2} m v^2$. Si la masa de un vehículo es de $1200$ kg, expresa su energía…
La energía cinética de un cuerpo en movimiento viene dada por la fórmula $E_c(v) = \frac{1}{2} m v^2$. Si la masa de un vehículo es de $1200$ kg, expresa su energía cinética como una función potencial dependiente de su velocidad $v$ (en m/s) y calcula la energía que posee cuando circula a $20$ m/s.
El volumen de una esfera en función de su radio se calcula mediante la fórmula $V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3$. Despeja el radio $r$ para expresarlo como una función…
El volumen de una esfera en función de su radio se calcula mediante la fórmula $V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3$. Despeja el radio $r$ para expresarlo como una función potencial dependiente del volumen $V$. Utiliza esta nueva función para calcular el radio aproximado de una esfera que tiene un volumen de $1000$ cm$^3$ (toma $\pi \approx 3,14$).
La tasa metabólica basal $T$ (en kcal/día) de los mamíferos se modeliza en función de su masa corporal $M$ (en kg) mediante la función potencial de Kleiber:…
La tasa metabólica basal $T$ (en kcal/día) de los mamíferos se modeliza en función de su masa corporal $M$ (en kg) mediante la función potencial de Kleiber: $T(M) = 70 \cdot M^{3/4}$. Calcula la tasa metabólica basal de un perro de $16$ kg. A continuación, averigua la masa aproximada de un animal cuya tasa metabólica es de $7000$ kcal/día.
La tercera ley de Kepler establece que el cuadrado del período orbital $T$ de un planeta es directamente proporcional al cubo de su distancia media al Sol $R$, es decir,…
La tercera ley de Kepler establece que el cuadrado del período orbital $T$ de un planeta es directamente proporcional al cubo de su distancia media al Sol $R$, es decir, $T^2 = k \cdot R^3$. Si para la Tierra se cumple que $T = 1$ año y $R = 1$ UA (Unidad Astronómica), expresa el período $T$ como una función potencial dependiente de $R$. Utiliza esta función para calcular el período orbital de Júpiter, sabiendo que su distancia media al Sol es de $5,2$ UA.
La fuerza de resistencia aerodinámica que experimenta un ciclista es proporcional al cuadrado de su velocidad, lo que se expresa como $F(v) = k \cdot v^2$. A una…
La fuerza de resistencia aerodinámica que experimenta un ciclista es proporcional al cuadrado de su velocidad, lo que se expresa como $F(v) = k \cdot v^2$. A una velocidad de $10$ m/s, la fuerza medida es de $30$ N. Demuestra analíticamente por qué factor exacto se multiplica la fuerza de resistencia si el ciclista duplica su velocidad (pasando de una velocidad genérica $v_0$ a $2v_0$) y calcula la nueva fuerza cuando circula a $20$ m/s.
El costo de producción de un componente electrónico disminuye a medida que aumenta el número de unidades fabricadas según la función potencial…
El costo de producción de un componente electrónico disminuye a medida que aumenta el número de unidades fabricadas según la función potencial $C(x) = 200\,000 \cdot x^{-1/2}$, donde $x$ es la cantidad de componentes y $C(x)$ es el costo unitario en pesos. Calculá el costo unitario de producir $100$ componentes y determiná cuántos componentes se deben fabricar en total para que el costo unitario se reduzca a $1\,000$ pesos.