Funciones de primer grado. Polinomio de primer grado
Un taxi en Montevideo cobra una bajada de bandera y después una cantidad fija por cada kilómetro. ¿Cómo se escribe esa tarifa con una fórmula y cuánto cuesta un viaje de 8 km? Las funciones de primer grado, cuya gráfica es siempre una recta, sirven para modelizar situaciones como esta.
El polinomio de primer grado como función
La pendiente dice cuánto cambia $y$ cuando $x$ aumenta una unidad. Si $m>0$ la recta sube (función creciente), si $m<0$ baja (decreciente) y si $m=0$ es horizontal.
Identificá la pendiente $m$ y la ordenada al origen $n$ de las siguientes funciones lineales: a) $y = -4x + 7$ b) $y = \frac{2}{5}x$ c) $y = -3$
Identificá la pendiente $m$ y la ordenada al origen $n$ de las siguientes funciones lineales:
- a) $y = -4x + 7$
- b) $y = \frac{2}{5}x$
- c) $y = -3$
Escribí la ecuación de la recta que tiene una pendiente de $5$ y cuya ordenada al origen es $-2$.
Escribí la ecuación de la recta que tiene una pendiente de $5$ y cuya ordenada al origen es $-2$.
Clasificá las siguientes funciones en función de proporcionalidad directa (lineal estricta), función afín o función constante: a) $f(x) = 3x - 1$ b) $g(x) = \frac{x}{4}$…
Clasificá las siguientes funciones en función de proporcionalidad directa (lineal estricta), función afín o función constante:
- a) $f(x) = 3x - 1$
- b) $g(x) = \frac{x}{4}$
- c) $h(x) = 8$
Imagen, preimagen y raíz
Calcular la imagen de $a$ es evaluar $f(a)$: sustituir $x$ por $a$. Calcular la preimagen de $b$ es hallar los $x$ tales que $f(x)=b$, lo que exige resolver la ecuación $mx+n=b$.
La raíz de la función es la preimagen de $0$: el punto donde la recta corta al eje $x$. La ordenada en el origen es $f(0)=n$: el punto donde corta al eje $y$.
La tarifa de un taxi está dada por la función $C(x) = 60x + 120$, donde $C(x)$ es el costo en pesos y $x$ es la distancia recorrida en kilómetros. ¿Cuánto costará un…
La tarifa de un taxi está dada por la función $C(x) = 60x + 120$, donde $C(x)$ es el costo en pesos y $x$ es la distancia recorrida en kilómetros. ¿Cuánto costará un viaje de $8$ kilómetros?
Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas (eje X y eje Y) de la recta $y = 3x - 12$.
Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas (eje X y eje Y) de la recta $y = 3x - 12$.
Pertenencia de un punto a la gráfica
Un punto $P(a,b)$ pertenece a la gráfica de $f$ si y solo si $f(a)=b$. Se sustituye y se compara.
Comprueba analíticamente si los puntos $A(2, 5)$ y $B(-1, -3)$ pertenecen a la gráfica de la función $y = 2x + 1$.
Comprueba analíticamente si los puntos $A(2, 5)$ y $B(-1, -3)$ pertenecen a la gráfica de la función $y = 2x + 1$.
Determina el valor del parámetro $k$ para que la recta de ecuación $y = kx + 5$ pase por el punto $(3, -4)$.
Determina el valor del parámetro $k$ para que la recta de ecuación $y = kx + 5$ pase por el punto $(3, -4)$.
Hallar la ecuación de una recta
Hay cuatro situaciones habituales. En todas se busca $y = mx + n$.
También se puede leer la ecuación de una gráfica: la ordenada en el origen es donde corta al eje $y$, y la pendiente se calcula con dos puntos de la recta que se vean claramente.
Encuentra la ecuación de la recta que tiene pendiente $m = -2$ y que pasa por el punto $(1, 4)$.
Encuentra la ecuación de la recta que tiene pendiente $m = -2$ y que pasa por el punto $(1, 4)$.
A partir de la siguiente representación gráfica, determiná la pendiente, la ordenada en el origen y la ecuación de la recta.
A partir de la siguiente representación gráfica, determiná la pendiente, la ordenada en el origen y la ecuación de la recta.
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos $A(-2, 5)$ y $B(4, -7)$.
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos $A(-2, 5)$ y $B(4, -7)$.
Halla la ecuación de la recta que es paralela a $y = 3x - 2$ y que pasa por el punto $(-1, 4)$.
Halla la ecuación de la recta que es paralela a $y = 3x - 2$ y que pasa por el punto $(-1, 4)$.
La relación entre la temperatura en grados Celsius ($^\circ C$) y grados Fahrenheit ($^\circ F$) es lineal. Sabemos que el agua se congela a $0^\circ C$, que equivale a…
La relación entre la temperatura en grados Celsius ($^\circ C$) y grados Fahrenheit ($^\circ F$) es lineal. Sabemos que el agua se congela a $0^\circ C$, que equivale a $32^\circ F$, y hierve a $100^\circ C$, que equivale a $212^\circ F$. Encuentra la función lineal que permite convertir grados Celsius ($x$) a grados Fahrenheit ($y$).
La recta $r$ pasa por los puntos $(1, 2)$ y $(3, 8)$. La recta $s$ es paralela a $r$ y su ordenada en el origen es la mitad de la ordenada en el origen de $r$. Determiná…
La recta $r$ pasa por los puntos $(1, 2)$ y $(3, 8)$. La recta $s$ es paralela a $r$ y su ordenada en el origen es la mitad de la ordenada en el origen de $r$. Determiná la ecuación de la recta $s$.
Dadas las rectas $y = (2m - 1)x + 5$ e $y = 3x - n$, determina los valores de los parámetros $m$ y $n$ para que ambas ecuaciones representen exactamente la misma recta…
Dadas las rectas $y = (2m - 1)x + 5$ e $y = 3x - n$, determina los valores de los parámetros $m$ y $n$ para que ambas ecuaciones representen exactamente la misma recta (rectas coincidentes).
Intersección de rectas y área con los ejes
Dos rectas que no son paralelas se cortan en un punto. Sus coordenadas cumplen las dos ecuaciones, así que se igualan las expresiones de $y$ y se resuelve para $x$.
Los cortes de una recta con los ejes forman, junto con el origen, un triángulo rectángulo cuyos catetos miden $|x_0|$ y $|n|$, donde $x_0$ es la raíz.
Halla analíticamente el punto de intersección de las rectas $y = 4x - 5$ e $y = -2x + 7$. Comprueba que tu resultado coincide con el punto señalado en la siguiente…
Halla analíticamente el punto de intersección de las rectas $y = 4x - 5$ e $y = -2x + 7$. Comprueba que tu resultado coincide con el punto señalado en la siguiente gráfica.
Calcula el área del triángulo que forma la recta $y = -\frac{3}{4}x + 3$ al cortarse con los ejes de coordenadas en el primer cuadrante.
Calcula el área del triángulo que forma la recta $y = -\frac{3}{4}x + 3$ al cortarse con los ejes de coordenadas en el primer cuadrante.
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto $(0, 5)$ y que forma con los ejes de coordenadas un triángulo rectángulo de área $10$ unidades cuadradas en el…
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto $(0, 5)$ y que forma con los ejes de coordenadas un triángulo rectángulo de área $10$ unidades cuadradas en el primer cuadrante.
Halla los valores de $a$ y $b$ para que la recta $y = ax + b$ cumpla simultáneamente dos condiciones: ser paralela a la recta $y = \frac{1}{2}x$ y pasar por el punto de…
Halla los valores de $a$ y $b$ para que la recta $y = ax + b$ cumpla simultáneamente dos condiciones: ser paralela a la recta $y = \frac{1}{2}x$ y pasar por el punto de intersección de las rectas $y = 2x - 4$ e $y = -x + 5$.
Modelización con funciones de primer grado
Al leer un enunciado, buscá primero el valor fijo (es $n$) y luego lo que cambia por cada unidad de la variable (es $m$). Si hay valor fijo la función es afín; si no, es de proporcionalidad directa.
Para invertir una relación (despejar la variable independiente) se despeja $x$: si $L=15+0{,}2p$, entonces $p=\dfrac{L-15}{0{,}2}$. Es la función inversa y sirve para saber cuánto vale $p$ dado $L$.
Cuando el costo cambia según el tramo (por ejemplo un estacionamiento con una tarifa para la primera hora y otra después), la función se escribe por partes: una fórmula de primer grado para cada intervalo.
Un plomero cobra $1\,200$ pesos por el traslado a domicilio, más $600$ pesos por cada hora de trabajo. Escribí la expresión algebraica de la función que relaciona el…
Un plomero cobra $1\,200$ pesos por el traslado a domicilio, más $600$ pesos por cada hora de trabajo. Escribí la expresión algebraica de la función que relaciona el costo con el tiempo trabajado y calculá cuánto cobrará por una reparación que le lleva $3,5$ horas.
Un depósito de agua contiene inicialmente $800$ litros y se está vaciando a un ritmo constante de $20$ litros por minuto. Escribe la función que relaciona el volumen de…
Un depósito de agua contiene inicialmente $800$ litros y se está vaciando a un ritmo constante de $20$ litros por minuto. Escribe la función que relaciona el volumen de agua en el depósito con el tiempo transcurrido y calcula en qué minuto el depósito se vaciará por completo.
Una fábrica de championes tiene unos costos fijos mensuales de $200\,000$ pesos. Además, producir cada par de championes cuesta $600$ pesos. Si la empresa vende cada par…
Una fábrica de championes tiene unos costos fijos mensuales de $200\,000$ pesos. Además, producir cada par de championes cuesta $600$ pesos. Si la empresa vende cada par a $1\,600$ pesos, escribí las funciones de costo $C(x)$ e ingresos $R(x)$. ¿Cuántos pares de championes deben vender al mes para obtener una ganancia de al menos $80\,000$ pesos?
Un estacionamiento cobra $100$ pesos por la primera hora (o fracción de hora). A partir de la primera hora, cobra $2$ pesos por cada minuto adicional. Escribí la función…
Un estacionamiento cobra $100$ pesos por la primera hora (o fracción de hora). A partir de la primera hora, cobra $2$ pesos por cada minuto adicional. Escribí la función definida por partes $C(t)$ que representa el costo total en pesos en función del tiempo $t$ en minutos que un vehículo está estacionado.
La longitud $L$ de un muelle elástico, medida en centímetros, viene dada por la función $L(p) = 15 + 0,2p$, donde $p$ es el peso colgado en gramos. Halla la expresión de…
La longitud $L$ de un muelle elástico, medida en centímetros, viene dada por la función $L(p) = 15 + 0,2p$, donde $p$ es el peso colgado en gramos. Halla la expresión de la función inversa $p(L)$ y utilízala para calcular qué peso se ha colgado si el muelle mide exactamente $22$ cm.
La siguiente gráfica muestra la distancia a la que se encuentra un ciclista de su casa en función del tiempo. Determina la expresión analítica definida a trozos de la…
La siguiente gráfica muestra la distancia a la que se encuentra un ciclista de su casa en función del tiempo. Determina la expresión analítica definida a trozos de la función $d(t)$ y calcula cuál fue la velocidad constante del ciclista durante el viaje de regreso.
Volvé al principio: la tarifa del taxi es $C(x)=60x+120$ y un viaje de $8$ km cuesta $600$ pesos.