Problemas con ecuaciones de segundo grado
Un grupo de amigos junta plata para un regalo de casamiento que cuesta $\$2.400$, a pagar en partes iguales. Cuando ya habían hecho las cuentas, se suman dos amigos más y cada uno paga $\$100$ menos. ¿Cuántos eran al principio? Ya sabés resolver $ax^2+bx+c=0$. Lo difícil de estos problemas es traducir el enunciado a una ecuación y decidir qué hacer con las soluciones. Al final de la página vamos a resolver este problema.
Plantear el problema
Encuentra un número positivo tal que el triple de su cuadrado sea exactamente igual a doce veces ese mismo número.
Encuentra un número positivo tal que el triple de su cuadrado sea exactamente igual a doce veces ese mismo número.
Números consecutivos
Cuando el problema habla de números consecutivos, nombrá uno solo con $x$ y escribí los demás en función de él.
| Tipo de números | Se escribe |
|---|---|
| Enteros consecutivos | $x,\ x+1,\ x+2$ |
| Pares consecutivos | $x,\ x+2,\ x+4$ (con $x$ par) |
| Impares consecutivos | $x,\ x+2,\ x+4$ (con $x$ impar) |
Los pares (o los impares) consecutivos se diferencian en $2$, no en $1$.
El producto de dos números enteros consecutivos es $156$. ¿Cuáles son esos números?
El producto de dos números enteros consecutivos es $156$. ¿Cuáles son esos números?
El producto de dos números pares positivos consecutivos es $288$. Halla dichos números.
El producto de dos números pares positivos consecutivos es $288$. Halla dichos números.
La suma de los cuadrados de dos números naturales impares consecutivos es $130$. Determina de qué números se trata.
La suma de los cuadrados de dos números naturales impares consecutivos es $130$. Determina de qué números se trata.
Geometría: áreas y Pitágoras
Las áreas ($\text{base} \cdot \text{altura}$ en el rectángulo, $\frac{D \cdot d}{2}$ en el rombo) y el teorema de Pitágoras ($a^2+b^2=c^2$) llevan a ecuaciones de segundo grado cuando los lados se describen como «$x$ más algo». Hacé siempre un dibujo y rotulá los lados con $x$.
La base de una parcela rectangular mide $5$ metros más que su altura. Si su área total es de $150 \text{ m}^2$, calcula sus dimensiones.
La base de una parcela rectangular mide $5$ metros más que su altura. Si su área total es de $150 \text{ m}^2$, calcula sus dimensiones.
En un triángulo rectángulo, un cateto mide $7 \text{ cm}$ más que el otro. Si la hipotenusa mide $13 \text{ cm}$, calcula la longitud de ambos catetos.
En un triángulo rectángulo, un cateto mide $7 \text{ cm}$ más que el otro. Si la hipotenusa mide $13 \text{ cm}$, calcula la longitud de ambos catetos.
Si se aumenta el lado de un cuadrado de cerámica en $4 \text{ cm}$, su área se cuadruplica. ¿Cuánto medía el lado inicialmente?
Si se aumenta el lado de un cuadrado de cerámica en $4 \text{ cm}$, su área se cuadruplica. ¿Cuánto medía el lado inicialmente?
Superficies con un borde de ancho $x$
Si a una figura le agregás un borde de ancho uniforme $x$, cada dimensión crece $2x$ (un $x$ de cada lado). La superficie del borde es área total menos área interior.
Una piscina rectangular de $10 \text{ m}$ de largo por $6 \text{ m}$ de ancho está rodeada por un pasillo de césped de ancho uniforme $x$. Si el área exclusiva del…
Una piscina rectangular de $10 \text{ m}$ de largo por $6 \text{ m}$ de ancho está rodeada por un pasillo de césped de ancho uniforme $x$. Si el área exclusiva del pasillo es de $80 \text{ m}^2$, ¿cuál es el ancho del pasillo?
Para fabricar una cometa, se necesita una tela en forma de rombo. Se sabe que la diagonal mayor mide $4 \text{ cm}$ más que la diagonal menor, y que el área total de la…
Para fabricar una cometa, se necesita una tela en forma de rombo. Se sabe que la diagonal mayor mide $4 \text{ cm}$ más que la diagonal menor, y que el área total de la cometa es de $96 \text{ cm}^2$. Calcula la longitud de ambas diagonales.
Una empresa de tecnología fabrica paneles solares con forma rectangular. El largo del panel debe ser el doble de su ancho menos $1 \text{ metro}$. Si para un nuevo…
Una empresa de tecnología fabrica paneles solares con forma rectangular. El largo del panel debe ser el doble de su ancho menos $1 \text{ metro}$. Si para un nuevo modelo se requiere que la superficie del panel sea de $28 \text{ m}^2$, halla sus dimensiones.
Cajas, marcos y latas
Si hay una relación entre las medidas (altura igual al diámetro, grosor doble en los costados), usala para dejar una sola incógnita.
Una lata cilíndrica de conservas se diseña de modo que su altura es exactamente igual al diámetro de su base. Si para fabricar la lata (incluyendo las dos tapas circular…
Una lata cilíndrica de conservas se diseña de modo que su altura es exactamente igual al diámetro de su base. Si para fabricar la lata (incluyendo las dos tapas circular y la cara lateral) se han utilizado exactamente $150\pi \text{ cm}^2$ de hojalata, calcula el radio de la base.
Se dispone de una plancha de cartón rectangular de $30 \text{ cm}$ de largo por $20 \text{ cm}$ de ancho. Se desea construir una caja sin tapa cortando un cuadrado de…
Se dispone de una plancha de cartón rectangular de $30 \text{ cm}$ de largo por $20 \text{ cm}$ de ancho. Se desea construir una caja sin tapa cortando un cuadrado de lado $x$ en cada esquina y doblando las solapas hacia arriba. Si el área de la base de la caja resultante debe ser de $336 \text{ cm}^2$, calcula el valor de $x$ y el volumen de la caja.
Un artesano quiere diseñar un marco de madera para un espejo rectangular. Las dimensiones del espejo son $80 \text{ cm}$ de alto por $60 \text{ cm}$ de ancho. El marco…
Un artesano quiere diseñar un marco de madera para un espejo rectangular. Las dimensiones del espejo son $80 \text{ cm}$ de alto por $60 \text{ cm}$ de ancho. El marco tendrá un grosor uniforme de $x \text{ cm}$ en la parte superior e inferior, pero en los laterales el grosor será el doble, es decir, $2x \text{ cm}$. Si el área total del marco (sin incluir el espejo) debe ser de $2400 \text{ cm}^2$, determina el valor de $x$.
Edades
En los problemas de edades, «hace $n$ años» resta $n$ y «dentro de $n$ años» suma $n$. Conviene armar una tabla.
| Hoy | Hace 4 años | |
|---|---|---|
| Nieto | $x$ | $x-4$ |
| Abuelo | $x+56$ | $x+52$ |
Si al cuadrado de la edad que tendrá Lucía dentro de $3$ años le restamos el triple de la edad que tenía hace $2$ años, obtenemos $55$. ¿Qué edad tiene Lucía actualmente?
Si al cuadrado de la edad que tendrá Lucía dentro de $3$ años le restamos el triple de la edad que tenía hace $2$ años, obtenemos $55$. ¿Qué edad tiene Lucía actualmente?
La diferencia entre las edades de un abuelo y su nieto es de $56$ años. Hace $4$ años, la edad del abuelo era exactamente el cuadrado de la edad del nieto. ¿Qué edades…
La diferencia entre las edades de un abuelo y su nieto es de $56$ años. Hace $4$ años, la edad del abuelo era exactamente el cuadrado de la edad del nieto. ¿Qué edades tienen actualmente?
Movimiento y trayectorias
Cuando una fórmula da la altura en función del tiempo, o la trayectoria es una parábola, preguntar «¿cuándo?» o «¿dónde toca el suelo?» es resolver una ecuación de segundo grado. Si se trata de un recorrido en ruta con velocidades distintas, se usa la distancia y Pitágoras (ver el último ejemplo).
Un proyectil se lanza verticalmente hacia arriba. Su altura $h$ (en metros) en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la expresión matemática…
Un proyectil se lanza verticalmente hacia arriba. Su altura $h$ (en metros) en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la expresión matemática $h = 40t - 5t^2$. ¿En qué instantes de tiempo el proyectil se encontrará exactamente a una altura de $75 \text{ metros}$?
En una competición de atletismo, se lanza un peso. La trayectoria sigue una parábola dada por la ecuación $y = -0,05x^2 + 0,8x + 1,8$, donde $x$ es la distancia…
En una competición de atletismo, se lanza un peso. La trayectoria sigue una parábola dada por la ecuación $y = -0,05x^2 + 0,8x + 1,8$, donde $x$ es la distancia horizontal en metros e $y$ la altura en metros. ¿A qué distancia horizontal tocará el suelo?
Dos autos parten a la vez desde el mismo cruce por dos rutas perpendiculares. Uno circula a $10 \text{ km/h}$ más rápido que el otro. Al cabo de $2$ horas, la distancia…
Dos autos parten a la vez desde el mismo cruce por dos rutas perpendiculares. Uno circula a $10 \text{ km/h}$ más rápido que el otro. Al cabo de $2$ horas, la distancia en línea recta que los separa es de $100 \text{ km}$. ¿A qué velocidad circula cada uno?
Repartos y precios
Si un total se reparte entre $x$ personas (o se compran $x$ objetos), cada parte vale $\dfrac{\text{total}}{x}$. Si la cantidad cambia, cambia la parte, y al igualar aparecen fracciones: se multiplica por el común denominador y queda una ecuación de segundo grado.
Un grupo de amigos decide comprar un regalo de casamiento que cuesta $4\,800$ pesos, a pagar en partes iguales. A último momento se suman dos amigos más al grupo, lo que…
Un grupo de amigos decide comprar un regalo de casamiento que cuesta $4\,800$ pesos, a pagar en partes iguales. A último momento se suman dos amigos más al grupo, lo que hace que cada uno de los anteriores deba pagar $120$ pesos menos de lo inicialmente previsto. ¿Cuántos amigos formaban el grupo inicial?
El precio de costo de un lote de remeras es de $12\,000$ pesos. El vendedor decide quedarse con $5$ remeras para su familia y vender el resto a $80$ pesos más de lo que…
El precio de costo de un lote de remeras es de $12\,000$ pesos. El vendedor decide quedarse con $5$ remeras para su familia y vender el resto a $80$ pesos más de lo que le costó cada una. Si luego de venderlas todas obtiene una ganancia neta de $2\,400$ pesos (es decir, ingresa $14\,400$ pesos en total), ¿cuántas remeras compró inicialmente?
Una compañía de teatro alquila una sala por $32\,000$ pesos para una representación. Para cubrir los gastos, deciden fijar un precio para la entrada. El día de la…
Una compañía de teatro alquila una sala por $32\,000$ pesos para una representación. Para cubrir los gastos, deciden fijar un precio para la entrada. El día de la función asisten $40$ espectadores más de los esperados, por lo que el organizador decide rebajar el precio de la entrada en $40$ pesos, recaudando exactamente los $32\,000$ pesos necesarios. ¿Cuántos espectadores asistieron finalmente a la representación?
Tiempos y velocidades
Dos relaciones que se repiten:
Un ciclista viaja de un pueblo A a un pueblo B, separados por $60 \text{ km}$. A la vuelta, debido a la fatiga, su velocidad media es $5 \text{ km/h}$ menor que a la…
Un ciclista viaja de un pueblo A a un pueblo B, separados por $60 \text{ km}$. A la vuelta, debido a la fatiga, su velocidad media es $5 \text{ km/h}$ menor que a la ida, por lo que tarda $1$ hora más en realizar el mismo trayecto. ¿A qué velocidad circuló a la ida?
Dos tuberías llenan juntas un depósito de agua en $6$ horas. Si se abriera solo la primera tubería, tardaría $5$ horas menos en llenar el depósito que si se abriera solo…
Dos tuberías llenan juntas un depósito de agua en $6$ horas. Si se abriera solo la primera tubería, tardaría $5$ horas menos en llenar el depósito que si se abriera solo la segunda. ¿Cuánto tardaría cada tubería en llenar el depósito de forma independiente?
Interés compuesto
Con interés compuesto, un capital $C$ a una tasa anual $r$ (en forma decimal) se convierte en $C(1+r)^n$ al cabo de $n$ años. En dos años queda $C(1+r)^2$, que al desarrollar lleva a una ecuación de segundo grado en $r$.
Un inversor coloca un capital de $200\,000$ pesos a una determinada tasa de interés compuesto anual. Al cabo de dos años, el capital acumulado es de $216\,320$ pesos.…
Un inversor coloca un capital de $200\,000$ pesos a una determinada tasa de interés compuesto anual. Al cabo de dos años, el capital acumulado es de $216\,320$ pesos. ¿Cuál fue la tasa de interés anual aplicada?