Media y varianza

Se ha preguntado a un grupo de personas por el número de veces que van al cine al mes. Los resultados muestran que $3$ personas van $1$ vez, $5$ personas van $2$ veces y $2$ personas van $3$ veces. Calcula la media de esta distribución.

Dada la siguiente lista de datos numéricos: $4, 6, 8, 10, 12$. Calcula la media aritmética y la varianza de la distribución.

Se ha realizado una encuesta a $40$ familias sobre el número de mascotas que tienen en casa, obteniendo los siguientes resultados: $10$ familias no tienen mascotas, $15$ familias tienen $1$ mascota, $10$ familias tienen $2$ mascotas, y $5$ familias tienen $3$ mascotas. Organiza los datos en una tabla y calcula la media, la varianza y la desviación típica.

En una semana, las temperaturas máximas registradas de lunes a jueves fueron $20$ ºC, $22$ ºC, $x$ ºC y $24$ ºC. Sabiendo que la temperatura media de esos cuatro días fue de $22$ ºC, halla el valor desconocido de $x$.

La media de las edades de un grupo de $15$ amigos es actualmente de $16$ años. ¿Cuál será la media de sus edades dentro de $4$ años? Justifica tu respuesta aplicando las propiedades de la media aritmética.

Dados los datos $x_1, x_2, \dots, x_N$, demuestra algebraicamente que la suma de sus desviaciones respecto a la media aritmética siempre es igual a cero. Es decir, demuestra paso a paso que $\sum_{i=1}^N (x_i - \bar{x}) = 0$.

Las notas obtenidas por cinco alumnos en un examen de matemáticas son $5, 7, 6, 8$ y $9$. Calcula la nota media y la desviación típica.

En un estudio estadístico con $N = 10$ datos, se sabe que la suma de todos los datos es $\sum x_i = 50$ y la suma de sus cuadrados es $\sum x_i^2 = 300$. Calcula la varianza de la distribución.

Un grupo de atletas tiene un peso medio de $70$ kg con una desviación típica de $7$ kg. Otro grupo de gimnastas tiene un peso medio de $50$ kg con una desviación típica de $6$ kg. Calcula el coeficiente de variación de ambos grupos e indica cuál de los dos tiene un peso más disperso en términos relativos.

El tiempo (en minutos) que tardan $50$ estudiantes en llegar al liceo desde sus casas se agrupa en la siguiente tabla de frecuencias:

• $[0, 10)$: $10$ estudiantes

• $[10, 20)$: $25$ estudiantes

• $[20, 30)$: $15$ estudiantes

Calculá el tiempo medio que tardan en llegar al liceo y la desviación estándar de la distribución.

Para comparar la dispersión de dos variables distintas en un mismo grupo de personas, se midió el peso y la altura. El peso medio es de $65$ kg con una desviación típica de $5$ kg. La altura media es de $170$ cm con una desviación típica de $10$ cm. ¿Qué variable presenta mayor dispersión relativa? Justifica tu respuesta.

El siguiente diagrama de barras muestra el número de hermanos que tienen los alumnos de una clase. A partir del gráfico, calcula la media de hermanos por alumno.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

El siguiente histograma muestra el tiempo en minutos que dedican al día varios jóvenes a leer. A partir del gráfico, extrae la tabla de frecuencias (utilizando las marcas de clase) y calcula el tiempo medio de lectura.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

En un test rápido de $3$ preguntas, se ha registrado el número de aciertos de un grupo de personas. Se sabe que $4$ personas tuvieron $0$ aciertos, $x$ personas tuvieron $1$ acierto, $5$ personas tuvieron $2$ aciertos y $1$ persona tuvo $3$ aciertos. Si la media de aciertos del grupo es de $1,2$, determina cuántas personas tuvieron exactamente $1$ acierto.

En un estudio sobre el consumo de agua diario (en litros) de cierta población, los datos se agrupan en tres intervalos: $[0, 10)$, $[10, 20)$ y $[20, 30)$. Se sabe que las frecuencias absolutas de los dos primeros intervalos son $5$ y $f$ respectivamente, y la del tercer intervalo es $3$. Si el consumo medio aproximado es de $13,75$ litros, plantea una ecuación y halla la frecuencia $f$ desconocida.

El siguiente gráfico de sectores representa los resultados de una encuesta realizada a $40$ personas sobre el número de veces que hacen deporte a la semana (variable $x_i$). Sabiendo que el círculo completo son $360^\circ$ y observando la amplitud de cada sector, deducí las frecuencias absolutas de cada valor y calculá la varianza de la distribución.

Los salarios mensuales de los trabajadores de una pequeña empresa tienen una media de $48\,000$ pesos y una desviación típica de $6\,000$ pesos. Para el próximo año, la dirección decide aplicar un aumento del $10\%$ a todos los sueldos y, además, añadir un plus fijo de $2\,000$ pesos. Calcula la nueva media y la nueva desviación típica de los salarios.

Las calificaciones obtenidas por tres estudiantes en un trabajo son proporcionales a su esfuerzo y vienen dadas por las expresiones $a$, $2a$ y $3a$ (donde $a > 0$). Sabiendo que la desviación típica de estas tres notas es exactamente $\sqrt{\frac{2}{3}}$, calcula el valor del parámetro $a$ y la media de las calificaciones.

La temperatura máxima diaria en una ciudad durante un mes tiene una media de $25$ ºC y una desviación típica de $2$ ºC. Si convertimos estas temperaturas a grados Fahrenheit mediante la fórmula $F = 1,8 \cdot C + 32$, calcula el coeficiente de variación en grados Fahrenheit y compáralo numéricamente con el coeficiente de variación original en grados Celsius. ¿Cambia la dispersión relativa al cambiar de escala?

En un liceo, el grupo de 4.° A tiene $20$ alumnos con una nota promedio en Matemática de $6$. El grupo de 4.° B tiene $30$ alumnos con una nota promedio de $7$. Si calculamos la nota de todos los alumnos de ambos grupos en conjunto, ¿cuál será la nota promedio global?

Un grupo de $10$ chicos tiene una altura media de $160$ cm y una varianza de $20$ cm$^2$. Un grupo de $10$ chicas tiene una altura media de $150$ cm y una varianza de $15$ cm$^2$. Calcula la varianza conjunta de los $20$ estudiantes. (Pista: calcula primero la media global y luego la suma de los cuadrados total empleando las fórmulas de la varianza de cada grupo).

La media aritmética de dos números positivos desconocidos es $5$ y su varianza es $4$. Plantea un sistema de ecuaciones utilizando las fórmulas de la media y la varianza, y determina cuáles son esos dos números.

En una pequeña empresa de $5$ trabajadores, $4$ de ellos cobran exactamente $40\,000$ pesos al mes, mientras que el gerente cobra $240\,000$ pesos. Calcula la media y la desviación típica de los $5$ sueldos. A la vista de los resultados numéricos obtenidos, explica razonadamente si la media aritmética es una medida representativa para este conjunto de datos.

Un profesor calculó que la nota media de sus $20$ alumnos en un examen era de $6,5$. Sin embargo, al revisar las correcciones, se dio cuenta de que anotó por error un $3$ a un alumno que en realidad había sacado un $8$. Calcula cuál es la nota media correcta sin necesidad de volver a sumar todas las notas individualmente.