Aproximaciones y errores

Aproxima el número decimal $4,8275$ a las centésimas utilizando el método de truncamiento y el método de redondeo.

Aproxima el número irracional $\sqrt{7}$ a las milésimas, indicando claramente cuál es la aproximación por defecto y cuál es la aproximación por exceso.

El tamaño de un archivo informático es de $4567,89$ Megabytes (MB). Al copiarlo a un disco duro, el sistema operativo trunca el valor a las décimas, mientras que un programa de compresión lo redondea a las décimas. Calcula la diferencia entre el error absoluto cometido por el sistema operativo y el cometido por el programa de compresión.

Calcula el error absoluto que se comete al utilizar la aproximación $0,33$ para el valor exacto de la fracción $\frac{1}{3}$. Expresa el resultado en forma de fracción.

Calcula el error relativo cometido al aproximar $\frac{1}{3}$ por $0,33$. Expresa el resultado en forma de porcentaje.

Durante una competición de atletismo, el juez principal mide la longitud de la pista y anota $399,5$ m. Si la longitud oficial y exacta de la pista debe ser de $400$ m, calcula el error absoluto y el error relativo porcentual de la medición del juez. ¿Consideras que es una medición aceptable si el reglamento permite un error relativo máximo del $0,2\%$?

Un termómetro digital marca una temperatura de $38,2^\circ \text{C}$. Si mediante un instrumento de alta precisión se sabe que la temperatura real es de $38,45^\circ \text{C}$, determina el error absoluto y el error relativo de la medida del termómetro digital.

Se han realizado dos mediciones distintas. En la primera, se ha cometido un error relativo del $0,015$. En la segunda, el error relativo ha sido del $1,2\%$. Determina cuál de las dos mediciones es más precisa y justifica tu respuesta.

Al realizar el presupuesto para una obra, se estima que el costo de los materiales será de $616\,000$ pesos. Al finalizar la obra, las facturas suman un total real de $633\,000$ pesos. Calculá el error absoluto y relativo de la estimación inicial. Si la empresa constructora asume las pérdidas si el error relativo supera el $3\%$, ¿quién pagará la diferencia?

Dos carpinteros cortan listones de madera que deben medir exactamente $\frac{5}{7}$ de metro. El primer carpintero corta el listón a $0,71$ m y el segundo lo corta a $0,72$ m. Sin usar decimales, operando con fracciones, determina cuál de los dos ha cometido un menor error absoluto.

En un laboratorio de química, un estudiante utiliza el valor $6,02 \cdot 10^{23}$ para el número de Avogadro en sus cálculos. Si el valor más preciso aceptado actualmente es $6,02214 \cdot 10^{23}$, determina el error absoluto en notación científica y el error relativo porcentual que comete el estudiante.

La distancia media de la Tierra al Sol es de aproximadamente $149\,597\,870$ km. Un libro de texto de secundaria afirma que la distancia es de $1,5 \cdot 10^8$ km. Calcula el error relativo porcentual que introduce el libro de texto al usar esta aproximación en notación científica.

Indica la cota de error absoluto que se asume al afirmar que el peso de un objeto, redondeado a las milésimas, es de $12,458$ kg.

Una báscula de cocina da una lectura de $250$ g con una cota de error absoluto de $5$ g. Escribe en forma de intervalo matemático el rango de valores en el que se encuentra el peso real del objeto.

Para calcular la densidad de un bloque de metal, se mide su masa obteniendo $m = 12,4$ kg y su volumen obteniendo $V = 0,004$ m$^3$. Si ambas medidas se han redondeado a la última cifra decimal mostrada, determina la cota de error absoluto de la masa y del volumen.

El siguiente diagrama muestra el intervalo de confianza de una medición en un experimento de física, donde el punto central representa el valor aproximado $V_a$ y los extremos representan los límites dados por la cota de error absoluto $E_a$. Si los extremos del intervalo son $14,35$ y $14,65$, determina el valor aproximado $V_a$, la cota de error absoluto $E_a$ y el error relativo máximo posible.

Se sabe que al aproximar un número $x$ por $3,14$, el error absoluto cometido es menor que $0,005$. Por otro lado, al aproximar el mismo número $x$ por $3,146$, el error absoluto es menor que $0,002$. Expresa ambas condiciones como intervalos, calcula su intersección y determina el rango de valores posibles para el número exacto $x$.

Una app de seguimiento deportivo estima la distancia de una ruta en bicicleta. Sabemos que el error relativo de su estimación ha sido exactamente del $4\%$. Si el valor estimado que muestra la app es de $26,00$ km, plantea y resuelve las ecuaciones necesarias para encontrar los dos posibles valores reales exactos que podría tener la distancia.

Un arquitecto mide las dimensiones de una habitación rectangular obteniendo $4,5$ m de largo y $3,2$ m de ancho. Sabe que su cinta métrica tiene una cota de error absoluto de $0,1$ m en cada medida. Calcula el área medida y determina entre qué valores máximo y mínimo se encuentra el área real de la habitación.

En la fabricación de una pieza cilíndrica para un motor de alta precisión, se requiere que el radio sea $r = 2,50$ cm y la altura $h = 8,00$ cm. Si la maquinaria tiene una cota de error relativo del $1\%$ en cualquier medida lineal, demuestra algebraicamente si el error relativo máximo en el cálculo del volumen del cilindro ($V = \pi r^2 h$) será del $1\%$, $2\%$ o $3\%$. Asume que los errores relativos son lo suficientemente pequeños para sumar sus aproximaciones lineales.

Al calcular el interés compuesto de un capital inicial de $400\,000$ pesos al $5\%$ anual durante $10$ años, un contable decide truncar la tasa de crecimiento anual de $1,05$ a $1,0$ en sus cálculos preliminares. Calcula el error absoluto y el error relativo que comete en el cálculo del capital final. ¿Qué conclusión puedes extraer sobre la propagación de errores en operaciones con exponentes elevados?

La velocidad de propagación de una señal en una red de fibra óptica se calcula mediante la fórmula $v = \frac{d}{t}$. Se mide una distancia $d = 1200 \pm 5$ m y un tiempo $t = 0,006 \pm 0,0001$ s. Calcula los valores máximo y mínimo posibles para la velocidad $v$, y deduce a partir de ellos la cota de error absoluto general de la medición de la velocidad.

Un estudiante debe calcular el valor de $y = \sqrt{x}$. Sabe que el valor exacto de $x$ pertenece al intervalo $[15,8; 16,2]$. Si decide utilizar $x = 16$ para simplificar, obteniendo $y = 4$, determina la cota superior del error absoluto que está cometiendo en la variable $y$.

Demuestra matemáticamente que si un número positivo $x$ se redondea a las unidades obteniendo una aproximación $A$, el error relativo $E_r$ siempre cumple la desigualdad $E_r \le \frac{0,5}{A - 0,5}$. Aplica esta fórmula para encontrar la cota máxima de error relativo al redondear a $A = 5$.