Movimientos y traslaciones
Un dron de reparto que vuela sobre Montevideo, una pieza de un engranaje que gira, un rayo de luz que se refleja en un espejo: los tres son movimientos del plano. En Educación Básica Integrada los viste con dibujos; ahora los calculás con coordenadas, con fórmulas muy sencillas. Al final vamos a resolver una pregunta de billar: ¿dónde tiene que rebotar la bola para pegarle a otra?
Traslaciones: mover según un vector
Un dron de reparto está en la posición $A(3, 5)$ y se desplaza siguiendo el vector $\vec{v} = (-4, 2)$. ¿Cuáles son las coordenadas de su posición final $A'$?
Un dron de reparto está en la posición $A(3, 5)$ y se desplaza siguiendo el vector $\vec{v} = (-4, 2)$. ¿Cuáles son las coordenadas de su posición final $A'$?
En un tablero de ajedrez gigante, una pieza se mueve desde la casilla con coordenadas $P(-1, -3)$ hasta la casilla $Q(4, 2)$. Determina las componentes del vector de…
En un tablero de ajedrez gigante, una pieza se mueve desde la casilla con coordenadas $P(-1, -3)$ hasta la casilla $Q(4, 2)$. Determina las componentes del vector de traslación $\vec{PQ}$.
En un software de arquitectura (CAD), el plano de una ventana está definido por el polígono de vértices $A(1, 1)$, $B(4, 1)$, $C(4, 3)$ y $D(1, 3)$. El diseñador decide…
En un software de arquitectura (CAD), el plano de una ventana está definido por el polígono de vértices $A(1, 1)$, $B(4, 1)$, $C(4, 3)$ y $D(1, 3)$. El diseñador decide trasladar la ventana aplicando el vector $\vec{v} = (-3, 2)$. Calcula las coordenadas de los nuevos vértices $A'$, $B'$, $C'$ y $D'$.
Trasladar varias veces, o en el espacio
Si un punto sufre dos traslaciones seguidas, equivale a una sola con el vector suma. Por ejemplo, un robot aspirador que sale de $O(0,0)$ y sigue $(2,5)$ y luego $(1,-3)$ termina en $(3,2)$, porque $(2,5)+(1,-3)=(3,2)$.
En el espacio se hace igual, con tres componentes: $A(10,5,2)$ y $\vec v=(-8,3,-2)$ dan $A'=(2,8,0)$.
Un robot aspirador se mueve desde su base siguiendo el vector $\vec{u} = (2, 5)$ y luego sigue el vector $\vec{w} = (1, -3)$. Si la base está en el origen $O(0,0)$,…
Un robot aspirador se mueve desde su base siguiendo el vector $\vec{u} = (2, 5)$ y luego sigue el vector $\vec{w} = (1, -3)$. Si la base está en el origen $O(0,0)$, ¿cuáles son las coordenadas de su posición final y qué vector único $\vec{v}$ representa el desplazamiento total?
En un almacén automatizado, un paquete se mueve en línea recta desde la estantería $A(10, 5, 2)$ hasta la zona de carga $B(2, 8, 0)$. Determina el vector de traslación…
En un almacén automatizado, un paquete se mueve en línea recta desde la estantería $A(10, 5, 2)$ hasta la zona de carga $B(2, 8, 0)$. Determina el vector de traslación $\vec{AB}$. Si otro paquete situado en $C(4, 4, 4)$ realiza exactamente el mismo movimiento, ¿cuáles serán las coordenadas de su posición final $C'$?
Giros: centro y ángulo
Una pieza de un engranaje situada en el punto $K(5, 0)$ gira $90^\circ$ en sentido antihorario alrededor del origen de coordenadas $O(0, 0)$. ¿En qué posición $K'$…
Una pieza de un engranaje situada en el punto $K(5, 0)$ gira $90^\circ$ en sentido antihorario alrededor del origen de coordenadas $O(0, 0)$. ¿En qué posición $K'$ quedará la pieza tras el giro?
Se aplica un giro de $180^\circ$ a una señal de tráfico circular con centro en el punto $C(3, 4)$ y radio $2$. ¿Qué punto exacto de la señal permanece en la misma…
Se aplica un giro de $180^\circ$ a una señal de tráfico circular con centro en el punto $C(3, 4)$ y radio $2$. ¿Qué punto exacto de la señal permanece en la misma posición (es invariante) tras el movimiento?
Un brazo robótico articula en el punto $C(2, 1)$. Su pinza se encuentra inicialmente en $P(5, 3)$. Si el brazo realiza un giro de $180^\circ$ alrededor de la…
Un brazo robótico articula en el punto $C(2, 1)$. Su pinza se encuentra inicialmente en $P(5, 3)$. Si el brazo realiza un giro de $180^\circ$ alrededor de la articulación $C$, ¿cuáles serán las nuevas coordenadas $P'$ de la pinza?
Una cámara de seguridad montada en un poste en $C(1, 2)$ enfoca inicialmente a una puerta situada en $P(4, 2)$. Para cubrir un pasillo, la cámara gira $90^\circ$ en…
Una cámara de seguridad montada en un poste en $C(1, 2)$ enfoca inicialmente a una puerta situada en $P(4, 2)$. Para cubrir un pasillo, la cámara gira $90^\circ$ en sentido antihorario alrededor de su eje en $C$. ¿Cuáles son las coordenadas del nuevo punto $P'$ al que apuntará la cámara? (Asume que la distancia focal se mantiene constante).
Simetrías: respecto a un eje o a un punto
Un jardinero quiere plantar un árbol en el punto $B'$, que debe ser simétrico al árbol situado en $B(2, -6)$ respecto al centro del jardín $C(0, 0)$. Calcula las…
Un jardinero quiere plantar un árbol en el punto $B'$, que debe ser simétrico al árbol situado en $B(2, -6)$ respecto al centro del jardín $C(0, 0)$. Calcula las coordenadas de $B'$.
En el diseño de un logotipo, el punto $M(-4, 7)$ se refleja respecto al eje de ordenadas (eje Y). ¿Cuáles son las coordenadas del punto reflejado $M'$?
En el diseño de un logotipo, el punto $M(-4, 7)$ se refleja respecto al eje de ordenadas (eje Y). ¿Cuáles son las coordenadas del punto reflejado $M'$?
Dos farolas están situadas en los puntos $F_1(-2, 8)$ y $F_2(6, -2)$. Se quiere colocar un transformador eléctrico en el centro de simetría de ambas. ¿Cuáles son las…
Dos farolas están situadas en los puntos $F_1(-2, 8)$ y $F_2(6, -2)$. Se quiere colocar un transformador eléctrico en el centro de simetría de ambas. ¿Cuáles son las coordenadas de dicho centro?
En una fábrica de textiles, una máquina dobla una tela a lo largo de la recta horizontal $y = 2$. Si un patrón decorativo está impreso en el punto $P(3, -1)$, ¿cuáles…
En una fábrica de textiles, una máquina dobla una tela a lo largo de la recta horizontal $y = 2$. Si un patrón decorativo está impreso en el punto $P(3, -1)$, ¿cuáles serán las coordenadas del patrón $P'$ una vez doblada la tela?
Reconocer y combinar movimientos
Si conocés una figura y su imagen, podés identificar el movimiento mirando cómo cambian las coordenadas: si a todos los puntos se les suma lo mismo, es una traslación; si $(x,y)\to(-x,-y)$, es un giro de $180^\circ$ (simetría central); si cambia el signo de una sola coordenada, es una simetría respecto a un eje.
También podés encadenar movimientos: se aplica uno, y al resultado se le aplica el siguiente. El orden importa en general.
Un programa de impresión 3D primero traslada un vértice de un sólido mediante el vector $\vec{v} = (0, 0, 4)$ y, a continuación, le aplica una simetría central respecto…
Un programa de impresión 3D primero traslada un vértice de un sólido mediante el vector $\vec{v} = (0, 0, 4)$ y, a continuación, le aplica una simetría central respecto al origen de coordenadas $O(0, 0, 0)$. Si el vértice original estaba en la posición $V(2, -3, 1)$, ¿cuál es su posición final $V'$?
Un rayo de luz atraviesa un cristal grueso y sufre una doble reflexión interna. Primero experimenta una simetría axial respecto a la recta vertical $x = 1$, y luego otra…
Un rayo de luz atraviesa un cristal grueso y sufre una doble reflexión interna. Primero experimenta una simetría axial respecto a la recta vertical $x = 1$, y luego otra simetría axial respecto a la recta $x = 4$. Si una impureza en el cristal está en el punto $M(-2, 3)$, halla su posición tras la primera simetría ($M'$) y tras la segunda ($M''$). ¿A qué vector de traslación directo equivale la composición de estas dos simetrías axiales?
En el mecanizado CNC de una pieza, la herramienta de corte se encuentra inicialmente en el punto $H(0, 5)$. El programa ejecuta dos comandos: primero, el plato de…
En el mecanizado CNC de una pieza, la herramienta de corte se encuentra inicialmente en el punto $H(0, 5)$. El programa ejecuta dos comandos: primero, el plato de sujeción gira $180^\circ$ respecto al centro $C(2, 3)$, llevando la herramienta a la posición $H'$. Inmediatamente después, el carro se traslada según el vector $\vec{u} = (-1, -4)$ hasta alcanzar la posición final $H''$. Determina las coordenadas exactas de $H'$ y $H''$.
En un estudio de transformaciones geométricas, los vértices de un triángulo son $A(1, 2)$, $B(3, 1)$ y $C(2, 4)$. Tras aplicar un único movimiento en el plano, los…
En un estudio de transformaciones geométricas, los vértices de un triángulo son $A(1, 2)$, $B(3, 1)$ y $C(2, 4)$. Tras aplicar un único movimiento en el plano, los nuevos vértices resultan ser $A'(-1, -2)$, $B'(-3, -1)$ y $C'(-2, -4)$. Identifica de qué tipo de movimiento se trata (traslación, giro o simetría) y especifica sus elementos característicos (vector, centro y ángulo, o eje). Justifica analíticamente tu respuesta.
Aplicaciones: reflejos, rebotes y centros desconocidos
Las simetrías resuelven problemas de reflexión: un rayo de luz, o una bola de billar que rebota en una banda. El camino que toca el «espejo» se calcula reflejando uno de los puntos y uniendo con una recta.
Volvamos al billar del principio. Con la bola en $A(2,3)$, la banda $x=8$ y el objetivo $B(4,7)$: $B'=(2\cdot8-4,\ 7)=(12,7)$. La recta $AB'$ tiene pendiente $\frac{7-3}{12-2}=\frac{2}{5}$, o sea $y=\frac25x+\frac{11}{5}$. En $x=8$: $y=\frac{16+11}{5}=\frac{27}{5}=5{,}4$. La bola rebota en $P(8;\ 5{,}4)$.
Un rayo láser se emite desde el punto $E(1, 5)$ y, tras reflejarse en un espejo plano y paralelo al eje X, impacta en el punto receptor $R(1, -1)$. Sabiendo que la…
Un rayo láser se emite desde el punto $E(1, 5)$ y, tras reflejarse en un espejo plano y paralelo al eje X, impacta en el punto receptor $R(1, -1)$. Sabiendo que la abscisa no cambia y la ordenada de los puntos simétricos equidista del espejo, ¿cuál es la ecuación de la recta que define la posición del espejo?
En una mesa de billar, una bola está en la posición $A(2, 3)$. Un jugador quiere golpearla para que impacte en la banda derecha (situada a lo largo de la recta $x = 8$)…
En una mesa de billar, una bola está en la posición $A(2, 3)$. Un jugador quiere golpearla para que impacte en la banda derecha (situada a lo largo de la recta $x = 8$) y, tras rebotar, golpee a otra bola situada en $B(4, 7)$. Para calcular la trayectoria, utiliza el punto simétrico de $B$ respecto a la banda, llamémosle $B'$. Halla las coordenadas de $B'$ y encuentra la ecuación de la recta que une $A$ con $B'$. ¿En qué punto exacto $P$ de la banda rebotará la bola?
Una tubería recta de suministro de agua pasa por los puntos $A(0, 4)$ y $B(4, 0)$. Por motivos de redundancia en el diseño, se construye una segunda tubería que es…
Una tubería recta de suministro de agua pasa por los puntos $A(0, 4)$ y $B(4, 0)$. Por motivos de redundancia en el diseño, se construye una segunda tubería que es exactamente simétrica a la primera respecto al eje de abscisas (eje X). Halla las coordenadas de los puntos simétricos $A'$ y $B'$, y determina la ecuación explícita de la recta que define la trayectoria de esta segunda tubería.
Una pieza triangular de un mosaico histórico con un vértice en $P(2, 6)$ se ha desprendido y, al caer, ha girado exactamente $90^\circ$ en sentido antihorario alrededor…
Una pieza triangular de un mosaico histórico con un vértice en $P(2, 6)$ se ha desprendido y, al caer, ha girado exactamente $90^\circ$ en sentido antihorario alrededor de un punto desconocido $C(x, y)$, quedando el vértice en la nueva posición $P'(-4, 4)$. Sabiendo que en un giro de $90^\circ$ antihorario alrededor del origen un vector $(a, b)$ se transforma en $(-b, a)$, plantea las ecuaciones correspondientes a la transformación del vector $\vec{CP}$ en $\vec{CP'}$ y resuelve el sistema para hallar las coordenadas del centro de giro $C$.
Módulo de un vector y distancia entre dos puntos
Una traslación mueve un punto una cierta cantidad. ¿Cuánto es esa cantidad? Es el largo del vector de traslación, y se calcula con el teorema de Pitágoras.
Un velero se desplaza en el mar impulsado por el viento, lo que le confiere un desplazamiento según el vector $\vec{v} = (12, -5)$ km. Simultáneamente, una corriente…
Un velero se desplaza en el mar impulsado por el viento, lo que le confiere un desplazamiento según el vector $\vec{v} = (12, -5)$ km. Simultáneamente, una corriente marina lo arrastra según el vector $\vec{c} = (-3, -2)$ km. Si el velero partió del puerto en $P(-4, 10)$, ¿cuál es su posición final $P'$ y a qué distancia en línea recta se encuentra del punto de partida?
Un cuadrado tiene su centro geométrico en el origen $O(0, 0)$ y uno de sus vértices es $V_1(3, 3)$. Para encontrar los demás vértices, se aplican giros sucesivos de…
Un cuadrado tiene su centro geométrico en el origen $O(0, 0)$ y uno de sus vértices es $V_1(3, 3)$. Para encontrar los demás vértices, se aplican giros sucesivos de $90^\circ$ en sentido horario alrededor del origen, obteniendo $V_2$, $V_3$ y $V_4$. Calcula las coordenadas de los cuatro vértices y comprueba analíticamente que la distancia entre $V_1$ y $V_2$ es exactamente igual a la distancia entre $V_2$ y $V_3$.