Teorema dos senos

Num triângulo $ABC$, são conhecidos os ângulos $A = 45^\circ$ e $B = 60^\circ$, e o comprimento do lado $a = 12$ cm. Calcule o comprimento do lado $b$ utilizando o teorema dos senos.

Num triângulo qualquer, o lado $c$ mede $24$ cm e o ângulo oposto $C$ mede $30^\circ$. Calcule o raio $R$ da circunferência circunscrita a esse triângulo.

Num triângulo isósceles, o ângulo desigual mede $40^\circ$ e os lados iguais medem $15$ cm. Calcule o comprimento do lado desigual aplicando diretamente o teorema dos senos.

Dado um triângulo $ABC$ do qual são conhecidos os lados $a = 15$ cm, $b = 10$ cm e o ângulo obtuso $A = 120^\circ$. Determine o valor do ângulo $B$.

Determine se é possível construir um triângulo $ABC$ com os seguintes dados: $a = 8$ cm, $b = 14$ cm e $A = 45^\circ$. Justifique a sua resposta matematicamente utilizando o teorema dos senos.

No triângulo $ABC$, são conhecidos os lados $a = 10$ cm, $b = 14$ cm e o ângulo $A = 30^\circ$. Calcule os dois possíveis valores para o ângulo $B$ e os comprimentos correspondentes do lado $c$ para cada caso.

Duas estações de guarda-costas, $A$ e $B$, estão separadas por uma distância de $50$ km ao longo de uma costa retilínea. Um barco $S$ emite um sinal de socorro. A estação $A$ deteta o sinal formando um ângulo de $40^\circ$ com a linha da costa, enquanto a estação $B$ deteta-o com um ângulo de $65^\circ$. Calcule a distância em linha reta de cada estação até ao barco.

Uma torre antiga inclinou-se e agora forma um ângulo de $85^\circ$ com o solo horizontal. Um topógrafo situa-se a $40$ m da base da torre, exatamente na direção para a qual esta se inclina. A partir desse ponto, mede o ângulo de elevação até ao topo da torre, obtendo $50^\circ$. Calcule o comprimento total da torre desde a sua base até ao topo.

Um teleférico sobe em linha reta de uma estação base $A$ até ao topo $C$ de uma montanha. A partir de um ponto $D$, situado $200$ m atrás de $A$ no mesmo plano horizontal, o ângulo de elevação para $C$ é de $22^\circ$. A partir da estação $A$, o ângulo de elevação para o topo é de $35^\circ$. Calcule o comprimento do cabo $AC$ do teleférico resolvendo o triângulo $ADC$.

Calcule o perímetro de um heptágono regular (polígono de 7 lados) que está inscrito numa circunferência de raio $R = 10$ cm. Utilize o teorema dos senos nos triângulos isósceles que se formam a partir do centro do polígono.

Um terreno com forma triangular tem dois ângulos que medem $60^\circ$ e $75^\circ$. O lado compreendido entre esses dois ângulos está delimitado por um muro reto que mede $120$ m. Calcule a área total do terreno.

A encosta de uma montanha apresenta uma inclinação constante de $15^\circ$ em relação ao plano horizontal. Dois pontos $A$ e $B$ encontram-se sobre a encosta, estando $B$ situado $50$ m mais acima do que $A$ ao longo da inclinação. No ponto $B$ foi instalado um poste vertical de telecomunicações. A partir do ponto $A$, o ângulo de elevação até à extremidade superior do poste é de $42^\circ$ medido a partir da horizontal. Calcule a altura exata do poste.

No triângulo $ABC$, sabe-se que o comprimento do lado $a$ é o dobro do do lado $b$ ($a = 2b$). Se $\sin A = 0,8$, determina o valor exato de $\sin B$.

Num triângulo $ABC$ conhecem-se os ângulos $A = 70^\circ$ e $B = 30^\circ$, bem como o comprimento do lado $a = 20\text{ m}$.

1. a) Antes de realizar qualquer cálculo numérico, estima fundamentadamente se o lado $b$ medirá mais ou menos de metade do lado $a$. Baseia a tua estimativa comparando o valor exato de $\sin 30^\circ$ com o comportamento da função seno quando o ângulo se aproxima de $90^\circ$.
2. b) Aplica a lei dos senos para calcular o comprimento exato de $b$, arredondando o resultado às centésimas.
3. c) Verifica se o valor obtido confirma a tua estimativa inicial e reflete: por que razão, num triângulo, os lados não são proporcionais aos ângulos, mas sim aos seus senos?

Para construir uma peça triangular $ABC$, um operário fixa o lado $b = 10\text{ cm}$ e o ângulo $A = 30^\circ$, mas pode variar a seu gosto o comprimento do lado oposto $a$.

1. a) A partir da lei dos senos, escreve a expressão que permite calcular $\sin B$ em função do comprimento $a$.
2. b) Determina fundamentadamente para que valores exatos ou intervalos do comprimento $a$ ocorre cada um dos seguintes casos:

i) Não é possível construir nenhum triângulo com essas medidas.

ii) É possível construir exatamente um triângulo e este é retângulo.

iii) É possível construir dois triângulos distintos não congruentes.

iv) É possível construir um único triângulo e este não é retângulo.

1. c) Interpreta geometricamente o que representa o valor crítico de $a$ encontrado no caso ii) em relação à altura traçada a partir do vértice $C$.

Na construção de um triângulo $ABC$, fixam-se o lado $a = 10$ cm e o ângulo $A = 45^\circ$. O lado $b$ tem um comprimento variável $x$ cm. Determine, de forma fundamentada, o intervalo estrito de valores reais de $x$ para os quais existem exatamente dois triângulos distintos que cumprem estas condições simultaneamente.

Num triângulo $ABC$, a bissetriz interna do ângulo $A$ interseta o lado oposto $BC$ no ponto $D$. Aplique o teorema dos senos nos triângulos $ABD$ e $ACD$ para demonstrar formalmente o teorema da bissetriz, ou seja, que se verifica a proporção:

$\frac{BD}{DC} = \frac{c}{b}$

Um avião voa em linha reta a uma altitude constante. Um observador estático no solo avista-o inicialmente com um ângulo de elevação de $30^\circ$. Exatamente $10$ segundos depois, o avião, que voa diretamente em direção à vertical do observador, é avistado com um ângulo de elevação de $45^\circ$. Se a velocidade constante do avião é de $600$ km/h, calcule a altitude a que voa resolvendo o triângulo formado pelo observador e pelas duas posições do avião através da lei dos senos.