Função logarítmica

Determine o domínio de definição da função logarítmica $f(x) = \log_3(2x - 8)$.

Determine o domínio de definição da função $f(x) = \ln(x^2 - 4x - 5)$. Exprima o resultado utilizando intervalos.

Determine o domínio de definição da função $f(x) = \log_{10} \left( \frac{x+3}{|x-2|} \right)$. Preste especial atenção aos pontos que anulam o numerador, o denominador e o argumento do logaritmo.

Utilizando as propriedades dos logaritmos, desenvolva a seguinte expressão para a escrever como soma e subtração de logaritmos mais simples:

$\log_5 \left( \frac{25x^3}{y} \right)$

Determine os valores de $x$ e $y$ que satisfazem o seguinte sistema de equações não lineares:

$\begin{cases} x - y = 9 \\ \log_3(x) + \log_3(y) = 3 \end{cases}$

Determine os pontos de interseção com os eixos coordenados (eixo das abcissas e eixo das ordenadas, se existirem) da função $g(x) = \ln(x - 2)$.

Dada a função $h(x) = \log_{0,5}(x)$, indique fundamentadamente se é uma função crescente ou decrescente em todo o seu domínio e calcule o valor exato de $h(1)$ e $h(4)$.

Descreva de forma precisa quais as transformações geométricas (deslocamentos) que devem ser aplicadas ao gráfico da função elementar $f(x) = \ln(x)$ para obter o gráfico da função $g(x) = \ln(x+2) - 3$.

Escreva a expressão analítica da função inversa (ou recíproca) $f^{-1}(x)$ da função exponencial $f(x) = 10^{x+2} - 5$.

A partir da seguinte representação gráfica da função $f(x) = \log_2(x+2) - 1$, determine analiticamente o seu domínio, o seu contradomínio, a equação da sua assíntota vertical e as coordenadas exatas dos pontos de interseção com os eixos X e Y.

O valor contabilístico de um servidor de alta capacidade deprecia-se com o tempo segundo a função exponencial $V(t) = 4500 \cdot e^{-0,25t}$, onde $V$ é o valor em euros e $t$ é o tempo decorrido em anos desde a sua compra. Determine a expressão analítica da função inversa $t(V)$ e explique brevemente que grandeza esta nova função permite calcular.

Analisa a relação de simetria entre as funções $f(x) = e^{x-1}$ e $g(x) = \ln(x) + 1$. Observa o gráfico ao lado que mostra ambas as curvas e a bissetriz dos quadrantes ímpares. Demonstra analiticamente que são funções inversas calculando a composição $(f \circ g)(x)$ e $(g \circ f)(x)$.

Resolve a seguinte equação logarítmica aplicando a definição de logaritmo:

$\log_2(3x + 1) = 4$

Resolva a seguinte equação logarítmica, verificando a validade das soluções obtidas:

$\log(x + 2) + \log(x - 1) = 1$

Resolva a seguinte equação logarítmica. Certifique-se de que verifica as possíveis soluções na equação original para rejeitar raízes falsas:

$2\log_2(x) - \log_2(x-1) = 3$

Em química, o pH de uma solução é definido pela expressão $pH = -\log[H^+]$, em que $[H^+]$ representa a concentração de iões de hidrogénio em mol por litro. Calcule o pH de um sumo de laranja cuja concentração de iões de hidrogénio é $[H^+] = 10^{-3,2}$.

O nível de intensidade sonora $\beta$, medido em decibéis (dB), é calculado através da fórmula acústica $\beta = 10 \log \left( \frac{I}{I_0} \right)$, onde $I$ é a intensidade do som em $\text{W/m}^2$ e $I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$ é o limiar padrão de audição. Se a descolagem de um avião a jato gera um nível de ruído de $140 \text{ dB}$, qual é a intensidade $I$ desse som em $\text{W/m}^2$?

Na escala sismológica de Richter, a magnitude $M$ de um sismo relaciona-se com a energia libertada $E$ (em erg) através da equação empírica $\log(E) = 11,8 + 1,5M$. Calcule quantas vezes é maior a energia libertada por um sismo de magnitude $7,0$ em comparação com a energia libertada por um de magnitude $5,0$.

A lei de decaimento radioativo do Carbono-14 é dada pela função $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$, onde $N_0$ é a quantidade inicial do isótopo, $N(t)$ é a quantidade restante no instante $t$ (em anos) e $\lambda$ é a constante de decaimento. Sabendo que o período de meia-vida (tempo necessário para que a quantidade inicial se reduza exatamente a metade) é de $5730$ anos, calcule o valor exato da constante $\lambda$. Posteriormente, determine a idade aproximada de um fóssil ósseo que conserva apenas $15\%$ do seu Carbono-14 original.

Estude a continuidade da seguinte função definida por ramos no ponto $x = 1$. Se existir alguma descontinuidade, classifique-a indicando de que tipo é.

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{si } x < 1 \\ \ln(x) & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$