Taxa média de variação de uma função

Calcule a taxa de variação média da função $f(x) = 3x - 5$ no intervalo $[1, 4]$. Este valor coincide com o declive da reta que representa a função?

Encontra a taxa de variação média da função quadrática $g(x) = x^2 - 4x + 1$ nos intervalos $[0, 2]$ e $[2, 4]$.

Dada a função $h(t) = t^3 + 2t$, determine a sua taxa de variação média no intervalo $[-1, 2]$.

Calcule a taxa de variação média da função racional $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1}$ no intervalo $[2, 5]$.

Observe o gráfico da função $f(x)$ representado na figura. Calcule a taxa de variação média no intervalo $[-2, 2]$. Que interpretação geométrica tem esse valor em relação à reta secante traçada?

Dada a função $f(x) = -x^2 + 6x - 5$, determine a equação da reta secante que passa pelos pontos do gráfico de abcissas $x = 1$ e $x = 4$. Qual é a relação entre o declive dessa reta e a taxa de variação média nesse intervalo?

Calcule a taxa de variação média da função $f(x) = \frac{1}{x}$ no intervalo genérico $[a, a+h]$, simplificando a expressão resultante o máximo possível.

Deseja-se estudar a taxa de variação média da função quadrática $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$ em três intervalos que partem do mesmo ponto $a = 1$: $[1, 2]$, $[1; 1,5]$ e $[1; 1,1]$. Dois colegas de turma propõem estratégias distintas:

• Método da Clara: calcular separadamente $f(b)$ e $f(1)$ para cada extremo e aplicar a fórmula $\text{TVM} = \frac{f(b) - f(1)}{b - 1}$ três vezes de forma independente.

• Método do Daniel: expressar o extremo superior como $1+h$, deduzir uma fórmula algébrica geral simplificada para $\text{TVM}[1, 1+h] = \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$ em função do incremento $h$, e depois particularizar substituindo $h = 1$, $h = 0,5$ e $h = 0,1$.

1. a) Aplica o método do Daniel: desenvolve e simplifica ao máximo a expressão algébrica da $\text{TVM}[1, 1+h]$ e determina os três valores pedidos.
2. b) Aplica o método da Clara unicamente para o intervalo $[1; 1,1]$ e verifica que ambos os métodos conduzem exatamente ao mesmo resultado.
3. c) Argumenta qual dos dois métodos se revela mais vantajoso quando se devem avaliar muitos intervalos que partilham a origem $a = 1$, e explica como a expressão obtida pelo Daniel permite deduzir a tendência da taxa quando o incremento $h$ se torna praticamente zero.

Calcule a taxa de variação média da função $f(x) = \sqrt{x+2}$ no intervalo $[2, 2+h]$. Em seguida, determine de que valor se aproxima essa taxa de variação quando $h$ tende para $0$.

A distância em metros percorrida por um ciclista em função do tempo em segundos é dada pela expressão $d(t) = 2t^2 + 5t$. Qual foi a sua velocidade média entre os instantes $t = 2$ e $t = 5$?

A temperatura em graus Celsius de um forno industrial evolui segundo a função $T(t) = 20 + 5t - t^2$, onde $t$ é o tempo em minutos. Calcule a taxa de variação média da temperatura nos primeiros $3$ minutos.

Os lucros mensais de uma empresa, em milhares de euros, são dados pela função $B(x) = -2x^2 + 24x - 10$, onde $x$ é a quantia investida em publicidade em milhares de euros. Calcule a taxa de variação média do lucro se o investimento em publicidade passar de $3$ para $6$ milhares de euros, e interprete o resultado.

Do topo de um penhasco lança-se verticalmente para cima um sinalizador de salvamento. A sua altura, em metros, em relação ao nível do mar após $t$ segundos é dada por $h(t) = 80 + 30t - 5t^2$. Determine a velocidade média do sinalizador nos intervalos $[1, 3]$ e $[3, 5]$. O que indica o sinal dos resultados obtidos?

Compare a taxa de variação média das funções $f(x) = 2^x$ e $g(x) = x^3$ no intervalo $[2, 4]$. Qual das duas funções tem um crescimento médio maior nesse intervalo?

O número de bactérias numa cultura de laboratório após $t$ horas é modelado pela função $N(t) = 500 \cdot e^{0,2t}$. Calcule a taxa de variação média da população no intervalo de tempo compreendido entre $t = 0$ e $t = 5$ horas. Exprima o resultado em função do número $e$.

Demonstre analiticamente que a taxa de variação média de qualquer função afim $f(x) = mx + n$ num intervalo arbitrário $[a, b]$ é sempre constante e igual a $m$.