Problemas de otimização

Decomponha o número $24$ como soma de dois números positivos de modo que o seu produto seja máximo. Formule a função a otimizar e resolva o problema com recurso à derivada.

Qual é o número positivo que excede o seu quadrado na maior quantidade possível? Exprime essa quantidade em função do número e maximiza-a com a derivada.

Encontra dois números positivos cuja soma seja $18$ e cuja soma de quadrados seja mínima.

Entre todos os retângulos de perímetro $36\ \text{m}$, encontra as dimensões daquele que tem área máxima e calcula essa área.

Um hortelão quer vedar uma horta retangular encostada ao muro da sua casa, de modo que só precisa de vedar três lados. Dispõe de $60\ \text{m}$ de vedação.

1. a) Exprime a área da horta em função do lado $x$ perpendicular ao muro.

1. b) Determina as dimensões que tornam máxima a área e o valor dessa área.

Com uma cartolina quadrada de $24\ \text{cm}$ de lado pretende-se construir uma caixa sem tampa, recortando quatro quadrados iguais de lado $x$ nos cantos e dobrando as laterais, como indica a figura.

1. a) Exprime o volume da caixa $V(x)$ em função de $x$ e indica o domínio de validade de $x$.

1. b) Determina o valor de $x$ que torna máximo o volume.

1. c) Calcula o volume máximo e verifica, com o sinal de $V'(x)$ de ambos os lados, que se trata de um máximo.

Um pecuarista dispõe de $240\ \text{m}$ de vedação para construir um curral retangular dividido em duas parcelas por uma vedação interior paralela a um dos lados, como na figura.

1. a) Expresse a área total do curral em função de um dos seus lados.

1. b) Determine as dimensões que tornam máxima a área total e calcule essa área.

Uma loja de roupa vende semanalmente $80$ t-shirts a $12\ \text{€}$ a unidade. Estima que por cada euro que reduza no preço venderá $10$ t-shirts a mais por semana.

1. a) Expresse a receita semanal $I(x)$ em função do desconto $x$ em euros.

1. b) Determine o preço que maximiza a receita e a receita máxima semanal.

De um tronco de secção circular de diâmetro $d$, quer-se cortar uma viga de secção retangular, como mostra a figura. A resistência da viga à flexão é proporcional ao produto da sua base pelo quadrado da sua altura: $R = k \cdot b \cdot h^2$.

1. a) Exprime a resistência em função da base $b$ usando a relação que relaciona $b$, $h$ e $d$.

1. b) Determina as dimensões da viga de resistência máxima.

Justifique se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: "O valor máximo de uma função contínua num intervalo fechado é sempre atingido num ponto onde $f'(x) = 0$". Se for falsa, dê um contraexemplo com uma função simples num intervalo concreto.

Para o problema da caixa sem tampa construída com uma cartolina quadrada de $32\ \text{cm}$ de lado, cujo volume é $V(x) = x \cdot (32 - 2x)^2$ com $0 < x < 16$, um aluno escreve: «$V'(x) = 12x^2 - 256x + 1024 = 0$ dá $x = 16$ e $x = \frac{16}{3}$; como o volume cresce com o tamanho do recorte, escolho $x = 16\ \text{cm}$». Indique os dois erros cometidos na conclusão (um de domínio e outro de justificação) e resolva o problema corretamente.