Representação gráfica de funções

Encontra os pontos de interseção do gráfico de $f(x) = x^3 - 4x$ com os eixos coordenados.

Verifique que a função $f(x) = x^3 - x$ é ímpar e explique que vantagem essa simetria traz na hora de a representar graficamente.

Estude e represente a função biquadrática $f(x) = x^4 - 2x^2$: simetria, pontos de interseção com os eixos, intervalos de monotonia, extremos relativos e desenho do gráfico.

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Estude e represente a função definida por ramos

analisando: domínio, continuidade no ponto de junção, monotonia em cada ramo, extremos relativos e desenho do gráfico completo.

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Determine o domínio da função $f(x) = \frac{x + 1}{x - 3}$ e indique a sua assíntota vertical, estudando os limites laterais no ponto que não pertence ao domínio.

Verifique que a função $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 4}$ tem uma assíntota horizontal e calcule a sua equação estudando o limite quando $x \to \pm \infty$.

Estude e represente a função racional $f(x) = \frac{x - 1}{x + 2}$: domínio, pontos de interseção, assíntotas verticais e horizontais com os respetivos limites, monotonia por meio da derivada e esboço do gráfico.

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Realiza o estudo completo e a representação gráfica de $f(x) = \frac{x^2}{x - 2}$:

1. a) Domínio, pontos de interseção com os eixos e simetrias.

1. b) Assíntotas verticais, horizontais e oblíquas, com os limites correspondentes.

1. c) Intervalos de monotonia e extremos relativos.

1. d) Posição do gráfico em relação à assíntota oblíqua e esboço final.

A figura mostra o gráfico completo de uma função racional, com as suas assíntotas desenhadas a tracejado. A partir da leitura do gráfico, indique: domínio, pontos de interseção com os eixos, equações das assíntotas e intervalos de monotonia (crescimento e decrescimento).

Estude e represente graficamente a função $f(x) = x^3 - 3x^2$ seguindo estes passos:

1. a) Pontos de interseção com os eixos.

1. b) Derivada, pontos singulares e intervalos de monotonia.

1. c) Máximos e mínimos relativos.

1. d) Desenhe o gráfico reunindo toda a informação anterior.

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Mede-se a temperatura de um copo de água quente numa cozinha a $20\ \text{°C}$ e obtêm-se os dados da figura. O modelo proposto é $T(t) = 20 + \frac{80}{t + 1}$, com $t$ em minutos.

1. a) Verifique que o modelo é coerente com os primeiros dados da figura.

1. b) Estude a monotonia de $T(t)$ para $t \geq 0$ por meio da sua derivada.

1. c) Calcule a assíntota horizontal e interprete o seu significado físico.

1. d) Esboce o gráfico do modelo para $t \geq 0$.

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Estude e represente a função $f(x) = x + \frac{1}{x}$: domínio, simetria ímpar, ausência de interseções com o eixo das abcissas (justifique-a), assíntotas vertical e oblíqua, intervalos de monotonia, extremos relativos com os seus valores e gráfico.

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Observe o seguinte gráfico de uma função polinomial. Identifique os intervalos em que a função é convexa (forma de $\cup$) e côncava (forma de $\cap$). Indique também as coordenadas aproximadas do seu ponto de inflexão.

Dada a função polinomial $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$, sabe-se pelo seu gráfico que o seu ponto de inflexão se encontra situado exatamente na coordenada $x$, que é o ponto médio entre os seus dois extremos relativos (um máximo local em $x=1$ e um mínimo local em $x=3$).

Calcule as coordenadas exatas do ponto de inflexão e determine os intervalos de concavidade ($\cap$) e convexidade ($\cup$) da função.

Descreve e desenha no teu caderno um esboço de uma função contínua $f(x)$ definida no domínio $[-5, 5]$ que cumpra simultaneamente todas as seguintes condições:

• É ímpar (simetria em relação à origem).

• Tem um máximo relativo em $x = 2$ e um mínimo relativo em $x = -2$.

• Tem exatamente três pontos de inflexão situados em $x = -3$, $x = 0$ e $x = 3$.

• Tem a concavidade voltada para cima ($\cup$) nos intervalos $(-3, 0) \cup (3, 5]$.

• Tem a concavidade voltada para baixo ($\cap$) nos intervalos $[-5, -3) \cup (0, 3)$.

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