Tabela e gráfico de uma função

Dada a função linear $f(x) = 2x - 3$:

1. a) Complete uma tabela de valores para $x \in \{-2, 0, 1, 3\}$.
2. b) Represente graficamente a função no referencial cartesiano utilizando os pontos obtidos.

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Identifique se a seguinte tabela de valores corresponde a uma função linear ou a uma função quadrática calculando as diferenças entre valores consecutivos de $y$. Em seguida, obtenha a sua expressão analítica $y = f(x)$.

Uma função quadrática da forma $f(x) = ax^2 + bx + c$ passa pelos pontos $(0, 3)$, $(1, 0)$ e $(2, -1)$.

1. a) Formule e resolva o sistema de equações para determinar os valores de $a, b$ e $c$.
2. b) Com a expressão analítica obtida, calcule o vértice e construa uma tabela de valores para representar a parábola.

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Considere a função quadrática $f(x) = x^2 - 4$:

1. a) Calcule as imagens para $x = -3, -2, 0, 2, 3$ e organize os resultados numa tabela.
2. b) Desenhe o gráfico da função e identifique as coordenadas do seu vértice.

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Considere a função quadrática $f(x) = -x^2 + 6x - 5$.

1. a) Calcule analiticamente as coordenadas do seu vértice e os pontos de interseção com os eixos.
2. b) Construa uma tabela de valores tomando dois pontos à esquerda do vértice e dois à direita.
3. c) Represente graficamente a parábola.

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O lucro mensal $B(x)$, em euros, de uma fábrica de componentes eletrónicos em função do número de unidades produzidas $x$ é modelado pela função $B(x) = -5x^2 + 300x - 4000$.

1. a) Encontra os pontos de equilíbrio (produção para a qual o lucro é zero).
2. b) Constrói uma tabela de valores estratégica que inclua os pontos de equilíbrio e o vértice.
3. c) Quantas unidades devem ser produzidas para maximizar o lucro e qual é esse lucro máximo?

O custo $C(t)$ em euros de deixar um carro num parque de estacionamento é dado pela função $C(t) = 2 + 1,5t$, onde $t$ é o tempo em horas.

1. a) Faz uma tabela de valores para as primeiras 4 horas ($t=0, 1, 2, 3, 4$).
2. b) Representa graficamente a função nesse intervalo.

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A temperatura $T$ (em $^\circ\text{C}$) de um forno industrial desde que se acende é dada pela função $T(t) = 20 + 15t$, onde $t$ é medido em minutos.

1. a) Qual é a temperatura inicial do forno?
2. b) Construa uma tabela de valores para $t = 0, 5, 10, 15$.
3. c) Quanto tempo deve decorrer para que o forno atinja os $200^\circ\text{C}$?

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Pretende-se construir um cercado retangular aproveitando um muro já existente para um dos seus lados. Dispõe-se de $20\text{ m}$ de vedação metálica para os outros três lados.

1. a) Exprima a área $A(x)$ do cercado em função do comprimento $x$ de um dos lados perpendiculares ao muro.
2. b) Determine o domínio de validade da função $A(x)$ no contexto do problema.
3. c) Construa uma tabela de valores e utilize-a para esboçar o gráfico e encontrar as dimensões que maximizam a área.

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O Marcos deve representar a função definida por ramos $f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{se } x \le 2 \\ x^2 - 3 & \text{se } x > 2 \end{cases}$ e decide calcular o valor na fronteira $x = 2$ para a sua tabela de valores. No seu caderno escreve: «Como $x = 2$ é o ponto de mudança, substituo em ambos os ramos: $f(2) = 2 \cdot 2 + 1 = 5$ e $f(2) = 2^2 - 3 = 1$; portanto, o ponto $(2, 5)$ e o ponto $(2, 1)$ pertencem ao gráfico».\na) Identifica o erro conceptual que o Marcos comete e explica por que razão a sua afirmação contradiz a definição matemática de função.\nb) Indica qual é o único valor correto para $f(2)$, justificando a que ramo corresponde de acordo com a condição dada.\nc) Para analisar o comportamento do gráfico logo a seguir à fronteira sem cometer o erro do Marcos, que valor de $x$ proporias para a tabela e que valor da função se obtém?

Dada a função definida por ramos:

$f(x) = \begin{cases} -x + 2 & \text{si } x < 1 \\ 2x - 1 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

1. a) Construa uma tabela de valores, calculando a função em $x = -2; 0; 0,99; 1; 2; 3$.
2. b) Represente graficamente a função e indique se é contínua em $x = 1$.

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Dada a função definida por ramos dependente de um parâmetro $k$:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - k & \text{si } x < 2 \\ 2x + 1 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$

1. a) Determine o valor de $k$ para que os dois ramos da função se "liguem" no ponto $x = 2$ (ou seja, para que a função seja contínua).
2. b) Com o valor de $k$ determinado, construa uma tabela de valores no intervalo $[0, 4]$ e esboce o gráfico da função.

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Numa localidade portuguesa, a fatura mensal da água estrutura-se em dois escalões de consumo para incentivar a poupança:\n- Escalão 1: Se o consumo mensal $x$ não ultrapassar os $15\text{ m}^3$, aplica-se uma quota fixa de $6\text{ \euro}$ mais $0,50\text{ \euro}$ por cada metro cúbico consumido.\n- Escalão 2: Se o consumo ultrapassar os $15\text{ m}^3$, os primeiros $15\text{ m}^3$ são faturados de acordo com o Escalão 1, e cada metro cúbico adicional que exceda $15$ é cobrado a $1,20\text{ \euro}$.\na) Escreve a expressão analítica do custo total $C(x)$ (em euros) em função dos metros cúbicos $x$ consumidos ($x \ge 0$) como uma função definida por ramos.\nb) Elabora uma tabela de valores estratégica que inclua o consumo nulo ($x = 0$), o ponto de fronteira da mudança de escalão e um valor de cada lado da mudança ($x = 14$ e $x = 16$).\nc) Determina se a fatura sofre um salto brusco ao passar de $15\text{ m}^3$ para um consumo ligeiramente superior ou se o custo varia de forma contínua. Justifica a tua resposta utilizando os valores da tua tabela.

Durante um episódio de poluição atmosférica numa cidade, a concentração de dióxido de azoto $C(t)$ (em $\mu\text{g}/\text{m}^3$) durante as primeiras $24$ horas é modelada através de uma função definida por ramos:\n- Ramo inicial ($0 \le t \le 6$): A concentração segue uma parábola $C(t) = -t^2 + bt + c$, cujo vértice (máximo do ramo) é atingido exatamente às $t = 4\text{ h}$ com um nível de $36\text{ }\mu\text{g}/\text{m}^3$.\n- Ramo posterior ($6 < t \le 24$): Ativam-se medidas de restrição de trânsito e a concentração diminui de acordo com a função racional $C(t) = \dfrac{k}{t - 2} + 12$.\na) Determina as constantes $b$ e $c$ a partir da informação do vértice e determina a concentração no instante inicial $t = 0$.\nb) Calcula o valor do parâmetro $k$ para que a concentração não sofra uma descontinuidade na mudança de ramo ($t = 6$).\nc) Concebe uma tabela de valores estratégica para o intervalo $[0, 24]$ que contenha: o início, a interseção com o eixo das ordenadas, o vértice, o ponto de junção, um ponto posterior ($t = 12$) e o extremo final ($t = 24$). A partir da tabela, deduz qual é o valor mínimo para o qual tenderia a concentração se as restrições se prolongassem indefinidamente no tempo.

Calcule analiticamente os pontos de interseção com o eixo das abcissas (eixo X) e com o eixo das ordenadas (eixo Y) da função racional $f(x) = \frac{3x+6}{x-1}$.

Dada a função racional $f(x) = \dfrac{3}{x - 4}$:\na) Antes de calcular qualquer valor exato, estima que sinal e que ordem de grandeza (muito próximo de zero ou muito grande em valor absoluto) esperas que $f(x)$ tome quando avaliamos em valores muito próximos de $4$, como $x = 3,9$ e $x = 4,1$. Justifica a tua previsão a partir dos sinais do numerador e do denominador.\nb) Verifica a tua estimativa calculando os valores da função para $x = 3,9$; $x = 3,99$; $x = 4,01$ e $x = 4,1$, e organiza-os numa tabela de valores.\nc) A partir dos resultados numéricos obtidos, interpreta o que acontece geometricamente na reta $x = 4$ e fundamenta se se trata de uma assíntota vertical.

Dada a função racional $f(x) = \frac{4}{x-2}$:

1. a) Determine o seu domínio.
2. b) Construa uma tabela de valores avaliando a função em pontos próximos de $x = 2$ pela esquerda e pela direita ($x = 1,9; 1,99; 2,1; 2,01$).
3. c) A partir dos resultados obtidos, que elemento gráfico a função apresenta em $x = 2$?

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Procura-se determinar a fórmula analítica de uma função racional da forma $f(x) = \dfrac{ax + b}{x - c}$ para que satisfaça as seguintes características observadas na sua tabela de valores-chave:\n1. O seu gráfico interseta o eixo das abcissas unicamente no ponto $(4, 0)$.\n2. O seu gráfico interseta o eixo das ordenadas no ponto $(0, -2)$.\n3. A função não está definida em $x = 2$, apresentando nessa reta uma assíntota vertical.\na) Determina fundamentadamente os valores das constantes reais $a$, $b$ e $c$.\nb) Com a função já obtida, elabora uma tabela de valores estratégica que contemple os pontos de interseção com os eixos e dois valores situados imediatamente antes e depois do valor proibido ($x = 1,9$ e $x = 2,1$).\nc) Explica o que acontece aos valores de $f(x)$ quando a variável $x$ toma valores positivos cada vez maiores ($x = 100$, $x = 1000$) e deduz a equação da sua assíntota horizontal.

Para representar o gráfico da função $f(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 3}{x - 1}$, dois estudantes propõem métodos distintos:\n- Método da Leonor: Construir diretamente uma tabela com sete números inteiros consecutivos: $x \in \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}$, substituindo diretamente na fórmula dada.\n- Método do David: Antes de calcular pontos, estudar o domínio da função, fatorizar o numerador para ver se se simplifica com o denominador para $x \ne 1$, e depois elaborar uma tabela estratégica com pontos de interseção e valores próximos das descontinuidades.\na) Se for seguido o método da Leonor, que problema insuperável surge exatamente em $x = 1$? Poderia isto levar a deduzir erroneamente que a reta $x = 1$ é uma assíntota vertical?\nb) Desenvolve o método do David: simplifica a expressão de $f(x)$ para todo o $x \ne 1$ e calcula os valores de $f(x)$ para $x = 0,99$ e $x = 1,01$. Estes valores crescem ilimitadamente como numa assíntota ou aproximam-se de um número finito?\nc) Compara ambos os métodos e justifica qual é mais fiável para evitar interpretações gráficas falsas. Descreve com precisão que elemento geométrico aparece no gráfico no ponto de abcissa $x = 1$ (indicando as suas coordenadas).

Dada a função irracional $f(x) = \sqrt{x+2}$:

1. a) Determine analiticamente o seu domínio.
2. b) Complete uma tabela de valores para $x \in \{-2, -1, 2, 7\}$ e utilize-a para esboçar o gráfico.

Considere a função $f(x) = \sqrt{9-x^2}$.

1. a) Calcule analiticamente o seu domínio de definição.
2. b) Faça uma tabela de valores para $x \in \{-3, -2, 0, 2, 3\}$.
3. c) Represente graficamente a função e indique qual é o seu contradomínio.

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Dada a função módulo $f(x) = |2x - 5|$:

1. a) Calcule o valor da função nos pontos $x = 0; 2; 2,5; 3; 5$ e construa uma tabela de valores.
2. b) Represente graficamente a função.

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Dada a função módulo $f(x) = |x^2 - 4|$:

1. a) Exprime a função definida por ramos eliminando o módulo.
2. b) Determina os pontos de interseção com os eixos.
3. c) Constrói uma tabela de valores no intervalo $[-3, 3]$ e desenha o seu gráfico.

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Num laboratório estuda-se o crescimento de uma população de bactérias. O número de bactérias $N(t)$ em milhares é dado pela função $N(t) = 100 \cdot 2^t$, onde $t$ é o tempo em horas.

1. a) Construa uma tabela de valores para as primeiras 4 horas ($t = 0, 1, 2, 3, 4$).
2. b) Represente graficamente a função. Que tipo de crescimento se observa?

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A massa $M(t)$ em gramas de um isótopo radioativo diminui com o tempo $t$ (em dias) segundo a função exponencial $M(t) = M_0 \cdot (0,5)^{\frac{t}{T}}$, onde $M_0$ é a massa inicial e $T$ é o tempo de meia-vida.

Sabendo que no instante $t=0$ havia $200\text{ g}$ de substância e que após $60\text{ dias}$ restam $50\text{ g}$:

1. a) Calcule o valor dos parâmetros $M_0$ e $T$.
2. b) Construa uma tabela de valores para $t = 0, 30, 60, 90, 120$ e esboce o gráfico.

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Dada a função logarítmica $f(x) = \log_2(x+4)$:

1. a) Determine analiticamente o seu domínio e a equação da sua assíntota vertical.
2. b) Construa uma tabela de valores escolhendo valores estratégicos de $x$ que resultem em potências exatas de base 2 para o argumento do logaritmo.
3. c) Represente graficamente a função.

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Na figura seguinte, mostra-se o gráfico da função exponencial $f(x) = 2^x$ e a reta $y = x$.

1. a) A partir dos pontos destacados na curva azul de $f(x)$, construa uma tabela de valores para a sua função inversa $f^{-1}(x)$.
2. b) Desenhe no seu caderno o gráfico da função inversa, aproveitando a simetria em relação à reta $y=x$.
3. c) Escreva a expressão analítica de $f^{-1}(x)$.

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Observe o gráfico seguinte de uma função $f(x)$ definida por segmentos de reta:

A partir do gráfico, determine:

1. a) O domínio e o contradomínio da função.
2. b) O valor de $f(-2)$ e $f(1)$.

O gráfico seguinte mostra a evolução da temperatura $T$ (em $^\circ\text{C}$) de uma chávena de café em função do tempo $t$ (em minutos) desde que é servida.

A partir do gráfico:

1. a) Indique a temperatura inicial do café.
2. b) Para que valor tende a temperatura à medida que decorre muito tempo? Que significado físico tem a assíntota horizontal?
3. c) A função é crescente ou decrescente? Justifique a sua resposta.

Observe o seguinte gráfico de uma função racional da forma $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$:

A partir da informação fornecida pelo gráfico (assíntotas e pontos de interseção):

1. a) Determine o domínio e o contradomínio da função.
2. b) Deduza a expressão analítica da função $f(x)$.