Transformações de funções

Dada a função $f(x) = x^2 - 3x$, escreva a expressão algébrica da função $g(x)$ que se obtém ao transladar o gráfico de $f(x)$ quatro unidades para a esquerda e duas unidades para cima.

Um balão de ar quente desce com uma velocidade constante. A sua altitude em metros é dada por $A(t) = 800 - 50t$, onde $t$ é o tempo em minutos. Um segundo balão inicia a sua descida $10$ minutos mais tarde exatamente com o mesmo perfil de voo. Escreva a expressão da altitude do segundo balão $B(t)$ em função de $A(t)$ e desenvolva a sua expressão algébrica final.

Observe o gráfico da função $f(x)$ definida no intervalo $[-4, 4]$. Determine o domínio e o contradomínio da função transformada $g(x) = f(x-3) + 1$.

O lucro mensal de uma pequena empresa de tecnologia, em milhares de euros, é modelado pela função $B(x) = -2x^2 + 12x - 10$, onde $x$ representa o mês do ano ($x=1$ para janeiro, etc.). A empresa decide adiar o lançamento da sua campanha de marketing um mês, o que implica uma translação horizontal da curva de lucros, e além disso assume um aumento de custos fixos de $3$ mil euros mensais. Determine a nova expressão da função de lucro $N(x)$ e determine em que mês será agora atingido o lucro máximo.

O gráfico de uma função $f(x)$ passa pelo ponto $P(-3, 5)$. Determine as coordenadas do ponto homólogo nos gráficos das seguintes funções transformadas:

• $g(x) = -f(x)$

• $h(x) = f(-x)$

• $i(x) = 2f(x)$

• $j(x) = f(x) - 4$

Dada a função elemental $f(x) = \frac{1}{x}$, indique que transformações geométricas (translações, dilatações, reflexões) é necessário aplicar sucessivamente, e em que ordem, para obter a função $g(x) = -\frac{3}{x} + 2$.

A função $C(x)$ representa o custo em euros de produzir $x$ componentes eletrónicos. Devido a uma melhoria tecnológica na linha de montagem, agora é possível produzir o triplo de componentes exatamente pelo mesmo custo total. Expresse a nova função de custo $N(x)$ em termos da função original $C(x)$.

O Marcos está a estudar como transformar o gráfico da função $f(x) = x^2 - 4x$. O seu objetivo é obter a expressão analítica de uma nova função $g(x)$ cujo gráfico seja o resultado de deslocar o de $f(x)$ exatamente $3$ unidades para a direita e, em seguida, refleti-lo em relação ao eixo das abcissas ($X$). O Marcos apresenta a seguinte resolução no seu caderno:

«Para transladar $3$ unidades para a direita, somo $3$ dentro do argumento: $x \to x + 3$. Para refletir em relação ao eixo $X$, mudo o sinal da variável independente: $x \to -x$. Portanto, substituindo na fórmula obtenho: $g(x) = (-x + 3)^2 - 4(-x + 3)$».

1. a) Localiza e explica detalhadamente os dois erros conceptuais cometidos pelo Marcos ao aplicar as transformações.
2. b) Mostra o procedimento correto passo a passo e escreve a expressão algébrica de $g(x)$ na sua forma desenvolvida e simplificada.

O gráfico da função $f(x)$ é formado por dois segmentos de reta que unem os pontos $(-4, -2)$, $(0, 4)$ e $(4, -2)$. Define-se uma nova função por meio da transformação $g(x) = -f\left(\frac{x}{2}\right) + 3$.

• Descreva a sucessão ordenada de transformações geométricas aplicadas a $f(x)$.

• Calcule as coordenadas exatas dos novos vértices do gráfico de $g(x)$.

Dada a função elementar $f(x) = \sqrt{x}$, queremos obter a função $g(x) = \sqrt{4x - 12} + 5$.

Explique detalhadamente duas sucessões diferentes de transformações geométricas (alterando a ordem das translações e dilatações horizontais) que permitem obter $g(x)$ a partir de $f(x)$. Demonstre algebricamente que ambas as sucessões conduzem à mesma expressão.

Num estudo de acústica, uma onda sonora base é modelada pela função $S(t) = \sin(t)$. Para uma experiência, a onda original é amplificada multiplicando a sua amplitude por $4$ e torna-se mais aguda duplicando a sua frequência. Além disso, introduz-se um atraso na emissão de $\frac{\pi}{4}$ segundos. Escreva a expressão analítica da nova onda sonora $W(t)$ e calcule o seu novo período.

Dada uma função arbitrária $f(x)$ cujo domínio é o intervalo $[-6, 8]$ e cujo contradomínio é o intervalo $[-4, 12]$, define-se uma nova função por meio da expressão $h(x) = -2f\left(3 - \frac{x}{2}\right) + 5$.

Calcule de forma fundamentada, detalhando os efeitos de cada transformação aplicada, o domínio e o contradomínio da função $h(x)$.

A partir do gráfico da função $f(x)$ representado na figura, descreva os passos geométricos necessários para obter o gráfico da função $g(x) = |f(x)|$ e calcule as coordenadas dos novos vértices ou pontos de inflexão.

Exprime a função $g(x) = |-x^2 + 4|$ como uma função definida por ramos, eliminando o módulo e indicando claramente os intervalos onde a expressão original muda de sinal.

Associa cada uma das expressões analíticas ao painel correspondente na figura, sabendo que todas derivam de transformações com valor absoluto aplicadas à função base $y = x - 3$.

1. $y = |x| - 3$

2. $y = ||x-3| - 2|$

3. $y = ||x| - 3|$

4. $y = |x-3| - 2$

Na figura, é mostrada a curva de luz de uma estrela variável, modelada pela função $L(t) = 4 \sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 10$, onde $t$ é medido em dias e $L$ em unidades de luminosidade. Uma densa nuvem de poeira cósmica obscurece a estrela de tal forma que a luminosidade observada $O(t)$ a partir da Terra é exatamente o valor absoluto da diferença entre $L(t)$ e a sua luminosidade média.

Determine a expressão analítica de $O(t)$, calcule o seu novo período e encontre em que instantes $t \in [0, 12]$ a luminosidade observada é máxima.