Razões trigonométricas da diferença de dois ângulos
Um topógrafo, no Cabo de São Vicente, mede o ângulo de elevação da base do farol e o do seu topo. Para saber sob que ângulo vê o farol, tem de subtrair dois ângulos. Será que $\operatorname{sen}(\alpha-\beta)$ é simplesmente $\operatorname{sen}\alpha-\operatorname{sen}\beta$? Com estas fórmulas calculas também valores exatos como $\operatorname{sen}(15^\circ)$, sem calculadora.
As fórmulas da diferença: seno, cosseno e tangente
Recorda as fórmulas da soma: $\operatorname{sen}(\alpha+\beta)=\operatorname{sen}\alpha\cos\beta+\cos\alpha\operatorname{sen}\beta$ e $\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\operatorname{sen}\alpha\operatorname{sen}\beta$. As da diferença obtêm-se delas, trocando $\beta$ por $-\beta$ e usando $\operatorname{sen}(-\beta)=-\operatorname{sen}\beta$ e $\cos(-\beta)=\cos\beta$ (o seno é uma função ímpar, o cosseno é uma função par).
Simplifique ao máximo a seguinte expressão trigonométrica: $\cos(x) \cos(y) + \sin(x) \sin(y)$. Em seguida, utilize o resultado simplificado para avaliar a expressão de…
Simplifique ao máximo a seguinte expressão trigonométrica: $\cos(x) \cos(y) + \sin(x) \sin(y)$. Em seguida, utilize o resultado simplificado para avaliar a expressão de forma exata quando $x = 75^\circ$ e $y = 15^\circ$.
Sabendo que $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ e $\cos \beta = \frac{12}{13}$, e que tanto $\alpha$ quanto $\beta$ são ângulos do primeiro quadrante, calcule o valor exato de…
Sabendo que $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ e $\cos \beta = \frac{12}{13}$, e que tanto $\alpha$ quanto $\beta$ são ângulos do primeiro quadrante, calcule o valor exato de $\sin(\alpha - \beta)$.
Ângulos complementares e suplementares
Quando um dos ângulos é $90^\circ$ ou $180^\circ$, as fórmulas simplificam-se muito. Estas identidades deduzem-se apenas com as simetrias do círculo trigonométrico, como na redução ao primeiro quadrante.
Simplifique a expressão $\sin(90^\circ - x)$ aplicando a fórmula do seno da diferença de dois ângulos e verifique que equivale a uma das razões trigonométricas básicas…
Simplifique a expressão $\sin(90^\circ - x)$ aplicando a fórmula do seno da diferença de dois ângulos e verifique que equivale a uma das razões trigonométricas básicas do ângulo $x$.
Demonstre passo a passo que $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$ utilizando a fórmula do cosseno para a diferença de ângulos.
Demonstre passo a passo que $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$ utilizando a fórmula do cosseno para a diferença de ângulos.
Sabendo que dois ângulos $\alpha$ e $\beta$ são complementares ($\alpha + \beta = 90^\circ$), demonstre passo a passo que se verifica a identidade…
Sabendo que dois ângulos $\alpha$ e $\beta$ são complementares ($\alpha + \beta = 90^\circ$), demonstre passo a passo que se verifica a identidade $\sin(\alpha - \beta) = \cos(2\beta)$.
Valores exatos combinando ângulos notáveis
Para estimar $\operatorname{sen}15^\circ$ basta lembrar que, no círculo trigonométrico, entre $0^\circ$ e $90^\circ$ a ordenada do ponto cresce: o seno é crescente em $[0^\circ,90^\circ]$. Como $0^\circ<15^\circ<30^\circ$, vem $0<\operatorname{sen}15^\circ<0{,}5$.
Um ângulo como $15^\circ$ escreve-se como diferença de dois ângulos notáveis ($45^\circ-30^\circ$ ou $60^\circ-45^\circ$) para calcular as suas razões sem calculadora.
Calcule o valor exato de $\cos(15^\circ)$ sem utilizar a calculadora, aplicando a fórmula do cosseno da diferença de dois ângulos e sabendo que…
Calcule o valor exato de $\cos(15^\circ)$ sem utilizar a calculadora, aplicando a fórmula do cosseno da diferença de dois ângulos e sabendo que $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$.
Determine o valor exato de $\sin(15^\circ)$ exprimindo o ângulo como a diferença $60^\circ - 45^\circ$ e aplicando a identidade correspondente.
Determine o valor exato de $\sin(15^\circ)$ exprimindo o ângulo como a diferença $60^\circ - 45^\circ$ e aplicando a identidade correspondente.
Determine o valor exato de $\tan(15^\circ)$ a partir das tangentes dos ângulos notáveis $45^\circ$ e $30^\circ$. Racionalize o resultado, se necessário.
Determine o valor exato de $\tan(15^\circ)$ a partir das tangentes dos ângulos notáveis $45^\circ$ e $30^\circ$. Racionalize o resultado, se necessário.
Avalie de forma exata, sem fazer uso da calculadora, a seguinte expressão trigonométrica identificando a qual desenvolvimento corresponde:…
Avalie de forma exata, sem fazer uso da calculadora, a seguinte expressão trigonométrica identificando a qual desenvolvimento corresponde:
$\sin(75^\circ) \cos(15^\circ) - \cos(75^\circ) \sin(15^\circ)$
Resolver equações e problemas com razões conhecidas
Quando o enunciado dá razões de $\alpha$ e de $\beta$ (e não os ângulos), calculam-se primeiro as razões em falta e depois substitui-se na fórmula. Se a incógnita é um ângulo, resolve-se uma equação trigonométrica.
Numa simulação de navegação marítima, um navio deve ajustar o seu rumo atual. O ângulo de correção necessário é dado pela expressão $\alpha - \beta$. Sabendo que…
Numa simulação de navegação marítima, um navio deve ajustar o seu rumo atual. O ângulo de correção necessário é dado pela expressão $\alpha - \beta$. Sabendo que $\alpha$ e $\beta$ são ângulos agudos, com $\tan \alpha = 3$ e $\tan \beta = \frac{1}{2}$, calcule o valor exato de $\tan(\alpha - \beta)$ e deduza a amplitude do ângulo de correção.
Simplifique a seguinte expressão algébrica trigonométrica e exprima-a em função exclusivamente das tangentes dos ângulos $a$ e $b$: $\frac{\sin(a - b)}{\cos a \cos b}$
Simplifique a seguinte expressão algébrica trigonométrica e exprima-a em função exclusivamente das tangentes dos ângulos $a$ e $b$:
$\frac{\sin(a - b)}{\cos a \cos b}$
Resolva a seguinte equação trigonométrica, determinando todas as soluções possíveis no intervalo $0^\circ \leq x < 360^\circ$: $\sin(x - 30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Resolva a seguinte equação trigonométrica, determinando todas as soluções possíveis no intervalo $0^\circ \leq x < 360^\circ$:
$\sin(x - 30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Resolva a seguinte equação trigonométrica, determinando todas as soluções possíveis no intervalo $[0, 2\pi)$ radianos: $\cos(x - 45^\circ) + \cos(x + 45^\circ) = 1$
Resolva a seguinte equação trigonométrica, determinando todas as soluções possíveis no intervalo $[0, 2\pi)$ radianos:
$\cos(x - 45^\circ) + \cos(x + 45^\circ) = 1$
Aplicações: topografia, ótica e sinais
Duas visuais, dois raios de luz ou dois sinais desfasados descrevem-se com um único ângulo diferença, embora o contexto mude por completo.
Um raio de luz atravessa dois meios distintos com ângulos de refração $\alpha$ e $\beta$. Se pelas propriedades dos materiais sabemos que $\cos \alpha = \frac{3}{5}$…
Um raio de luz atravessa dois meios distintos com ângulos de refração $\alpha$ e $\beta$. Se pelas propriedades dos materiais sabemos que $\cos \alpha = \frac{3}{5}$ (sendo $\alpha$ um ângulo do quarto quadrante) e $\sin \beta = \frac{5}{13}$ (sendo $\beta$ um ângulo do segundo quadrante), determine o valor exato de $\cos(\alpha - \beta)$.
Num estudo de mercado, os ciclos de vendas sazonais de dois produtos são modelados por meio de funções trigonométricas. A diferença de fase que determina a concorrência…
Num estudo de mercado, os ciclos de vendas sazonais de dois produtos são modelados por meio de funções trigonométricas. A diferença de fase que determina a concorrência direta é dada pelo valor de $\cos(x - y)$. Se $\sin x = \frac{1}{3}$ e $\cos y = \frac{2}{5}$, com $x$ situado no primeiro quadrante e $y$ no quarto quadrante, determine o valor exato de $\cos(x - y)$.
Um topógrafo observa uma escarpa de altura $H$ e, situado mesmo na borda sobre ela, um farol de altura $h$. A partir da sua posição, a uma distância horizontal $d$, o…
Um topógrafo observa uma escarpa de altura $H$ e, situado mesmo na borda sobre ela, um farol de altura $h$. A partir da sua posição, a uma distância horizontal $d$, o ângulo de elevação até à base do farol é $\beta$ e até à cúpula do farol é $\alpha$. Exprima a tangente do ângulo sob o qual se vê exclusivamente o farol, ou seja $\tan(\alpha - \beta)$, em função apenas das distâncias $H$, $h$ e $d$.
Num circuito de corrente alternada, a diferença de potencial entre dois nós é dada pela sobreposição de dois sinais desfasados:…
Num circuito de corrente alternada, a diferença de potencial entre dois nós é dada pela sobreposição de dois sinais desfasados: $V(t) = 10 \sin(\omega t) - 10 \sin(\omega t - \frac{\pi}{3})$. Utiliza as fórmulas trigonométricas da diferença de ângulos para expressar a diferença de potencial $V(t)$ na forma simplificada $A \sin(\omega t + \phi)$, determinando os valores de $A$ e $\phi$.
Voltando ao princípio: $\operatorname{sen}15^\circ=\operatorname{sen}(45^\circ-30^\circ)=\frac{\sqrt2}2\cdot\frac{\sqrt3}2-\frac{\sqrt2}2\cdot\frac12=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$, e a visão do farol obtém-se com $\operatorname{tg}(\alpha-\beta)$, não com $\operatorname{tg}\alpha-\operatorname{tg}\beta$.