Exercícios de produto escalar

Calcule o produto escalar dos vetores $\vec{u} = (3, -2)$ e $\vec{v} = (-1, 5)$.

Sabendo que os módulos de dois vetores são $|\vec{a}| = 4$ e $|\vec{b}| = 6$, e que o ângulo que formam é de $60^\circ$, determine o seu produto escalar.

Determine o módulo do vector $\vec{w} = (-5, 12)$.

Determine, justificando a sua resposta através de uma operação matemática, se os vetores $\vec{p} = (4, 6)$ e $\vec{q} = (-3, 2)$ são ortogonais.

Calcule o valor do parâmetro $k$ para que os vetores $\vec{u} = (k, 3)$ e $\vec{v} = (2, -4)$ sejam perpendiculares.

Encontra as coordenadas de um vetor que seja perpendicular a $\vec{v} = (-7, 2)$ e que tenha exatamente o mesmo módulo.

A Leonor quer encontrar um vetor perpendicular a $\vec{u} = (4, -3)$ que tenha exatamente o seu mesmo módulo. No seu exame, escreve: «Para que dois vetores sejam perpendiculares, basta mudar o sinal das suas coordenadas, pelo que o vetor procurado é $\vec{v} = (-4, 3)$».\na) Explica detalhadamente o erro concetual da Leonor calculando o produto escalar $\vec{u} \cdot \vec{v}$ e indica que relação geométrica guardam, na realidade, $\vec{u}$ e $\vec{v}$.\nb) Escreve as componentes dos dois vetores que são efetivamente perpendiculares a $\vec{u}$ e têm o seu mesmo módulo, demonstrando através do produto escalar por que razão a regra da rotação de componentes $(-u_2, u_1)$ garante a perpendicularidade.

Determina as componentes de um vetor $\vec{w}$ que satisfaça simultaneamente as três condições seguintes:\n1) É perpendicular ao vetor $\vec{u} = (3, -4)$.\n2) A sua primeira componente (abcissa) é estritamente positiva.\n3) O seu módulo é exatamente $15$.\nPara o resolveres, obtém primeiro um vetor unitário perpendicular a $\vec{u}$ e raciocina como transformá-lo para que atinja o módulo pretendido sem modificar a sua direção nem o seu sentido.

No motor físico de um jogo eletrónico, uma personagem situada na coordenada $P(10, 15)$ deve disparar um projétil na direção do vetor $\vec{d} = (3, -4)$ a uma velocidade constante de $20$ unidades de distância por fotograma. Determine o vetor velocidade $\vec{v}$ exato do projétil, sabendo que deve ter a mesma direção e sentido que $\vec{d}$, mas com módulo $20$.

Encontra as coordenadas de um vetor $\vec{w} = (x, y)$ sabendo que o seu módulo é $\sqrt{13}$ e que o seu produto escalar com o vetor $\vec{v} = (2, 3)$ é $13$.

Na física, o trabalho $W$ realizado por uma força constante $\vec{F}$ ao deslocar um objeto ao longo de um vetor de deslocamento $\vec{d}$ é calculado através do produto escalar $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$. Se um guindaste aplica uma força $\vec{F} = (150, -40)$ newtons para mover um contentor do ponto $A(2, 5)$ até ao ponto $B(12, 5)$ (coordenadas expressas em metros), calcule o trabalho total realizado.

No parque eólico de Santa Luzia (Viseu), os técnicos monitorizam a deslocação de um carro de manutenção ao longo de um carril-guia retilíneo desde o ponto $A(1, 4)$ até ao ponto $B(7, 12)$, com coordenadas expressas em metros. Durante este trajeto, o vento exerce uma força constante sobre o carro, registada pelos sensores como $\vec{F} = (80, -30)$ Newtons.\na) Determina o vetor deslocamento $\vec{d} = \vec{AB}$ e calcula o trabalho mecânico $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$ exercido pelo vento.\nb) Interpreta o sinal do trabalho obtido: o vento favorece ou dificulta o avanço do carro?\nc) Calcula o ângulo $\alpha$ formado pelo vetor força $\vec{F}$ e o vetor deslocamento $\vec{d}$ (arredondando às décimas de grau) e justifica se esse ângulo é coerente com a tua interpretação do sinal do trabalho.

Calcule o ângulo que os vetores $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ e $\vec{b} = (-\sqrt{3}, 1)$ formam.

Determine os possíveis valores do parâmetro $m$ para que os vetores $\vec{u} = (m, 1)$ e $\vec{v} = (2, m)$ formem um ângulo de $30^\circ$.

Para estabilizar o mastro de uma antena de telecomunicações, são esticados dois cabos ancorados no mesmo ponto do mastro e presos ao solo. Os vetores que representam a direção dos cabos desde a ancoragem superior até ao solo são $\vec{T_1} = (-4, -5)$ e $\vec{T_2} = (6, -3)$. Calcule o ângulo de separação formado pelos dois cabos no ponto de ancoragem superior.

Encontra as coordenadas de todos os vetores $\vec{a} = (x, y)$ que formem um ângulo exato de $45^\circ$ com o vetor $\vec{b} = (2, -2)$ e cujo módulo seja exatamente metade do módulo de $\vec{b}$.

Na instalação de um painel solar, o vetor normal (perpendicular à superfície do painel) é dado por $\vec{n} = (k, \sqrt{3})$. Os raios solares incidem sobre o painel segundo o vetor $\vec{s} = (1, -1)$. Calcule o valor positivo do parâmetro $k$ para que o ângulo de incidência (o ângulo formado entre o vetor normal $\vec{n}$ e o vetor oposto aos raios solares $-\vec{s}$) seja de $60^\circ$.

Dos vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$, sabemos que $|\vec{u}| = 3$, $|\vec{v}| = 5$ e que formam um ângulo de $120^\circ$. Aplicando as propriedades do produto escalar, calcule o valor exato da expressão $(2\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + 3\vec{v})$.

Sabendo que $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são dois vetores unitários, determine o ângulo que devem formar entre si para que o vetor soma $\vec{u} + \vec{v}$ tenha um módulo igual a $\sqrt{3}$.

Demonstre de forma vetorial, utilizando as propriedades do produto escalar, que as diagonais de qualquer losango se intersetam perpendicularmente. Para isso, considere um losango gerado por dois vetores livres $\vec{u}$ e $\vec{v}$ que partem do mesmo vértice e verificam que $|\vec{u}| = |\vec{v}|$.

Calcule a distância entre os pontos $A(2, -1)$ e $B(5, 3)$ determinando previamente as componentes do vetor $\vec{AB}$.

Verifique, utilizando exclusivamente o produto escalar, se o triângulo definido pelos vértices $A(1, 2)$, $B(4, 3)$ e $C(3, -1)$ é um triângulo retângulo. Em caso afirmativo, indique em qual vértice se encontra o ângulo reto.

Para verificar se o triângulo de vértices $A(1, 2)$, $B(5, 5)$ e $C(-2, 6)$ é retângulo, dois colegas de turma propõem estratégias distintas:\n- A Irene propõe calcular os vetores dos lados que partilham cada vértice e verificar se o produto escalar de algum par deles é igual a $0$.\n- O David propõe calcular o comprimento dos três lados através de distâncias entre pontos e verificar se as medidas obtidas satisfazem o teorema de Pitágoras ($a^2 + b^2 = c^2$).\na) Aplica o método da Irene calculando os vetores correspondentes e determina em que vértice se encontra o ângulo reto, se existir.\nb) Analisa e justifica qual dos dois métodos é mais vantajoso em geometria analítica, considerando a quantidade de operações necessárias e a manipulação de raízes quadradas.

Dados os pontos $A(-2, 1)$ e $B(4, 5)$, determine as coordenadas de um ponto $C$ situado sobre o eixo das abscissas de forma que o triângulo $ABC$ seja retângulo com o ângulo reto no vértice $C$. Quantas soluções possíveis existem para o ponto $C$?

Calcule o vetor projeção ortogonal do vetor $\vec{u} = (4, -3)$ sobre o vetor $\vec{v} = (1, 2)$.

Dados os vetores $\vec{a} = (3, -1)$ e $\vec{b} = (1, 3)$, expresse o vetor $\vec{c} = (7, 1)$ como combinação linear de $\vec{a}$ e $\vec{b}$. Uma vez resolvido, calcule o produto escalar de $\vec{a}$ e $\vec{b}$ e interprete geometricamente o resultado.

Um braço robótico industrial desloca-se num plano bidimensional. A sua garra encontra-se inicialmente no ponto $P(2, 5)$ e deve mover-se em linha reta até um ponto $Q$ situado sobre um tapete rolante, cuja trajetória é definida pela reta $x - 2y + 4 = 0$. Se o vetor deslocamento $\vec{PQ}$ deve ser ortogonal à direção do tapete rolante, determine as coordenadas exatas do ponto $Q$.

Calcule a área exata do triângulo determinado pelos vértices $A(1, 1)$, $B(5, 2)$ e $C(3, 6)$. Para isso, utilize a projeção ortogonal do vetor $\vec{AC}$ sobre o vetor $\vec{AB}$ para determinar a altura do triângulo, e a norma de $\vec{AB}$ como a base.

Consideram-se os vetores fixos do plano $\vec{u} = (1, 5)$ e $\vec{v} = (2, 1)$. Para cada valor do parâmetro real $t$, define-se o vetor combinado $\vec{w}(t) = \vec{u} + t\vec{v}$. Procura-se o valor exato de $t$ para o qual $\vec{w}(t)$ é perpendicular a $\vec{v}$.\na) Antes de calcular, faz uma estimativa qualitativa fundamentada: esboça a posição relativa de $\vec{u}$ e $\vec{v}$ no primeiro quadrante. Dado que formam um ângulo agudo, o parâmetro $t$ deve ser positivo ou negativo para que a combinação linear atinja uma direção ortogonal a $\vec{v}$? Estima, de forma fundamentada, entre que dois números inteiros consecutivos deve situar-se $t$.\nb) Apresenta a condição algébrica através do produto escalar $\vec{w}(t) \cdot \vec{v} = 0$ e determina o valor exato de $t$.\nc) Verifica se o resultado numérico confirma a tua estimativa prévia e explica geometricamente por que razão este vetor $\vec{w}(t)$ representa o segmento de comprimento mínimo que une a extremidade de $\vec{u}$ à reta que contém $\vec{v}$.

No espaço aéreo próximo de Lisboa-Humberto Delgado, a trajetória de saída de uma aeronave segue o vetor de direção $\vec{d} = (12, 5)$ em milhas náuticas. Por motivos de separação de tráfego, deve programar-se uma manobra de escape descrita por um vetor $\vec{v} = (x, y)$ que cumpra simultaneamente três condições:\n1) Deve ser estritamente perpendicular à trajetória $\vec{d}$.\n2) O seu módulo deve ser exatamente de $39$ milhas náuticas.\n3) Deve apresentar uma componente a favor do vento dominante $\vec{w} = (1, 2)$, o que exige que $\vec{v} \cdot \vec{w} > 0$.\na) Determina as componentes cartesianas exatas do vetor de escape $\vec{v}$ após avaliares qual das duas orientações perpendiculares possíveis satisfaz a restrição imposta pelo vento.\nb) Demonstra analiticamente que, para qualquer vetor genérico não nulo $\vec{u} = (u_1, u_2)$, os dois únicos vetores perpendiculares a ele que possuem um módulo fixado $m > 0$ são dados pela expressão $\vec{p} = \pm m \cdot \dfrac{(-u_2, u_1)}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2}}$, justificando cada passo a partir do produto escalar e do conceito de vetor unitário.

Desafio do tema. Como orientar um painel solar para maximizar a energia captada na tua localidade?

1. Recolha de dados: Consulta no site do IPMA ou do PVGIS a altitude e o azimute do Sol no teu concelho em quatro momentos de um dia de sol. Escreve as coordenadas do vetor unitário solar $\vec{s}(t) = (x(t), y(t), z(t))$ para cada instante medido.

2. Modelização com produto escalar: Define o vetor unitário perpendicular à placa $\vec{n}$, dependente do ângulo de inclinação $\theta$. A potência relativa captada é dada pelo produto escalar $P(\theta) = \vec{s} \cdot \vec{n} = |\vec{s}| |\vec{n}| \cos(\alpha)$ (se for negativo, o Sol está atrás da placa e considera-se $P = 0$). Introduz os dados no GeoGebra ou numa folha de cálculo e calcula $P(\theta)$ para diferentes ângulos (com incrementos de $5^\circ$ ou $0,1$ rad).

3. Otimização com derivadas: Modela a função de energia total captada em função do ângulo $\theta$, $E(\theta)$. Aplica o cálculo de derivadas: encontra a taxa de variação instantânea $E'(\theta)$ e identifica o ângulo ótimo resolvendo $E'(\theta) = 0$.

Entrega um relatório técnico breve com os teus dados, a tabela de valores, as derivadas calculadas e a tua proposta fundamentada de inclinação.

Será valorizado:

• Precisão ao extrair os dados reais e formular os vetores diretores.

• Aplicação rigorosa do produto escalar para modelar a energia projetada.

• Destreza no cálculo e interpretação geométrica das derivadas para otimizar o ângulo.

• Clareza e justificação formal no relatório final.