Progressões aritméticas

Observe as seguintes sucessões de números. A sua tarefa consiste em identificar quais delas são progressões aritméticas.

Para aquelas que forem, indique qual é a razão ($d$) constante entre os seus termos e calcule o número que viria na posição seguinte.

1. a) $5, 9, 13, 17, \dots$
2. b) $2, 4, 8, 16, \dots$
3. c) $20, 15, 10, 5, \dots$
4. d) $1, 1, 2, 3, 5, \dots$

Uma planta de bambu cresce muito depressa e de forma constante em condições controladas de laboratório.

No dia 1, a planta mede 15 cm de altura.

No dia 2, a planta mede 18 cm de altura.

Sabendo que o seu crescimento segue uma progressão aritmética:

1. a) Quantos centímetros cresce a planta por dia ($d$)?
2. b) Quanto medirá a planta no dia 7?

Dada a seguinte progressão aritmética:

1. Identifique o primeiro termo ($a_1$) e a razão ($d$).

2. Utilizando a fórmula do termo geral $a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$, calcule o valor do termo que ocupa a posição 20 ($a_{20}$).

Encontre o termo geral ($a_n$) das seguintes progressões aritméticas dadas pelos seus primeiros termos. Expresse-o da forma mais simplificada possível (por exemplo: $a_n = 3n + 2$).

1. a) $2, 4, 6, 8, \dots$
2. b) $5, 8, 11, 14, \dots$
3. c) $10, 8, 6, 4, \dots$

Numa progressão aritmética, sabemos que o terceiro termo ($a_3$) vale $12$ e o oitavo termo ($a_8$) vale $27$.

Calcule a razão $d$ da progressão e escreva o valor do primeiro termo $a_1$.

Numa progressão aritmética não conhecemos nem o primeiro termo nem a diferença, mas sabemos que o sexto termo é 19 ($a_6 = 19$) e o décimo quinto termo é 64 ($a_{15} = 64$). Precisamos de descobrir o termo que ocupa a posição 40 ($a_{40}$).

Dois estudantes de 3.º de ESO propõem duas estratégias diferentes:

• Método do Sergio: Formular o sistema de duas equações com duas incógnitas formado por $a_1 + 5d = 19$ e $a_1 + 14d = 64$, resolvê-lo para encontrar $a_1$ e $d$, e depois calcular $a_{40} = a_1 + 39d$.

• Método da Laura: Dar-se conta de que para passar do termo 6 ao 15 são dados 9 passos: $a_{15} = a_6 + 9d$. Isolar $d$ diretamente dessa única equação e, de seguida, calcular $a_{40}$ avançando a partir de $a_{15}$ com a fórmula $a_{40} = a_{15} + (40 - 15) \cdot d$, sem calcular $a_1$.

1. a) Resolve o problema seguindo os passos do método do Sérgio até encontrares $a_{40}$.
2. b) Resolve o problema seguindo os passos do método da Laura e verifica se chegas à mesma solução.
3. c) Compara ambos os métodos: qual consideras mais eficiente e com menor risco de cometer erros de cálculo? Justifica a tua resposta.
4. d) Se, além disso, o problema te pedisse para calcular a soma dos primeiros 40 termos ($S_{40}$), o método da Laura continuaria a ser mais curto ou a abordagem do Sérgio ganharia vantagem? Justifica porquê.

Calcule a soma dos 15 primeiros termos de uma progressão aritmética sabendo que:

• O primeiro termo é $a_1 = 3$.

• O último termo a somar é $a_{15} = 45$.

Lembra-te de usar a fórmula da soma de uma progressão aritmética:

Um auditório tem as suas cadeiras dispostas em forma de trapézio. A primeira fila (a mais próxima do palco) tem $15$ lugares. Cada fila seguinte tem $2$ lugares a mais do que a anterior.

Se o auditório tem um total de $20$ filas:

1. a) Quantos lugares tem a última fila?
2. b) Qual é a capacidade total (número total de cadeiras) do auditório?

Calcule a soma de todos os múltiplos de $3$ que existem entre $100$ e $200$.

A plateia de um auditório de música tem a forma de um trapézio isósceles. Devido a esta forma, cada fila tem mais lugares do que a anterior.

• A primeira fila (a mais próxima do palco) tem 20 lugares.

• O auditório tem um total de 780 lugares.

• Cada fila tem 2 lugares a mais do que a fila imediatamente anterior.

Utilizando as fórmulas da soma de uma progressão aritmética ($S_n$), escreve uma equação do segundo grau para determinar quantas filas ($n$) tem no total o auditório.

Num supermercado, estão a montar uma exposição de latas de molho de tomate em forma de pirâmide triangular plana contra uma parede.

Na fila superior (o topo), colocam 1 lata. Na fila imediatamente abaixo, colocam 2 latas, na terceira fila 3 latas, e assim sucessivamente, aumentando uma lata a cada nível que descem.

Se a pirâmide tem um total de 8 filas de altura:

1. a) Escreva a sucessão que representa o número de latas em cada fila.
2. b) Quantas latas haverá na última fila (a da base)?

A Ioana decidiu poupar para comprar uma bicicleta nova. No seu mealheiro já tem 50 € que recebeu no aniversário. Decidiu que, a partir da próxima semana, guardará 5 € da sua mesada todas as semanas sem falta.

1. a) Escreve a poupança total que a Ioana terá no final da semana 1, da semana 2, da semana 3 e da semana 4.
2. b) De que tipo de progressão se trata e qual é a razão?
3. c) Calcula quanto dinheiro ela terá acumulado na semana 12.

João está a poupar para comprar uma bicicleta nova. Na primeira semana guarda $25$ € no seu mealheiro. Ele propôs-se aumentar a quantia que guarda em cada semana em $2,50$ € relativamente à semana anterior. Ou seja, na segunda semana guarda $27,50$ €, na terceira $30$ €, e assim sucessivamente.

Se mantiver este ritmo:

1. a) Quanto dinheiro terá de guardar no mealheiro na semana número 12?
2. b) Quanto dinheiro terá acumulado no total no final da semana 12?

As medidas dos quatro ângulos de um quadrilátero formam uma progressão aritmética. Sabendo que o menor ângulo mede $60^{\circ}$, calcule a medida dos outros três ângulos.

Lembra-te: a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre $360^{\circ}$.

Três números formam uma progressão aritmética. Sabemos que a sua soma é igual a 33 e que o seu produto é igual a 1287.

Monta um sistema de equações utilizando as propriedades das progressões aritméticas (podes chamar aos termos $x-d$, $x$ e $x+d$ para simplificar) e encontra o valor desses três números.