Função exponencial
Uma publicação nas redes sociais é partilhada por 2 pessoas na primeira hora, depois por 4, por 8… Em cada hora, o número de partilhas é multiplicado pelo mesmo fator, e não aumentado por uma quantidade fixa. Também a carga de um telemóvel esquecido na gaveta ou a massa de uma amostra radioativa diminuem multiplicando-se pelo mesmo fator em intervalos de tempo iguais. Nestes casos, a variável $t$ está no expoente, e isso muda por completo a forma como a grandeza cresce ou decresce.
A função exponencial
Toda a função $f(x)=a^x$ passa pelo ponto $(0,1)$, porque $a^0=1$, e por $(1,a)$, porque $a^1=a$. Move o deslizador e repara nestes dois pontos.
Entre todas as bases possíveis, uma é especial: o número de Neper $e\approx2{,}71828\ldots$, um número irracional que surge em processos de crescimento contínuo. A função $e^x$ é a exponencial de referência em ciências e engenharia.
Dada a função exponencial $f(x) = 3^x$, calcule os valores numéricos de $f(2)$, $f(-1)$, $f(0)$ e $f(\frac{1}{2})$. Exprima os resultados de forma exata, utilizando…
Dada a função exponencial $f(x) = 3^x$, calcule os valores numéricos de $f(2)$, $f(-1)$, $f(0)$ e $f(\frac{1}{2})$. Exprima os resultados de forma exata, utilizando raízes ou frações se necessário.
Determine a expressão analítica de uma função exponencial da forma $f(x) = k \cdot a^x$ sabendo que o seu gráfico passa pelos pontos $(0, 3)$ e $(2, 12)$.
Determine a expressão analítica de uma função exponencial da forma $f(x) = k \cdot a^x$ sabendo que o seu gráfico passa pelos pontos $(0, 3)$ e $(2, 12)$.
Determine o domínio de definição da seguinte função: $f(x) = \frac{x+2}{e^x - e^2}$
Determine o domínio de definição da seguinte função:
$f(x) = \frac{x+2}{e^x - e^2}$
Crescimento e decrescimento
A razão: ao passar de $x$ para $x+1$, o valor é sempre multiplicado por $a$, isto é, $\dfrac{f(x+1)}{f(x)}=a$. Se esse fator é maior que $1$, cada passo aumenta o valor; se é menor que $1$, cada passo reduz.
Classifique as seguintes funções exponenciais em crescentes ou decrescentes, justificando a sua resposta em função do valor da sua base: $f(x) = 4^x$…
Classifique as seguintes funções exponenciais em crescentes ou decrescentes, justificando a sua resposta em função do valor da sua base:
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$f(x) = 4^x$
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$g(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x$
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$h(x) = 0,8^x$
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$i(x) = e^x$
Relacione cada um dos gráficos identificados com A, B, C e D na seguinte figura com a sua função exponencial correspondente. As funções são: $f(x) = 2^x$,…
Relacione cada um dos gráficos identificados com A, B, C e D na seguinte figura com a sua função exponencial correspondente. As funções são: $f(x) = 2^x$, $g(x) = 0,5^x$, $h(x) = 3^x$ e $i(x) = -2^x$.
No gráfico ao lado mostram-se as funções $f(x) = e^x$ e $g(x) = e^{-x}$, junto com a reta horizontal $y = e$. Determine analiticamente as coordenadas do ponto de…
No gráfico ao lado mostram-se as funções $f(x) = e^x$ e $g(x) = e^{-x}$, junto com a reta horizontal $y = e$.
Determine analiticamente as coordenadas do ponto de interseção entre as funções $f(x)$ e $g(x)$. Em seguida, calcule a área exata do triângulo cujos vértices são esse ponto de interseção e os dois pontos onde as curvas intersetam a reta $y = e$.
Domínio, contradomínio e assíntota horizontal
Ao transladar o gráfico, a assíntota translada-se com ele. Em $g(x)=a^{x-p}+q$:
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o $x-p$ desloca o gráfico $p$ unidades na horizontal;
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o $+q$ desloca-o $q$ unidades na vertical.
Se $a>1$, quando $x\to-\infty$ tem-se $a^{x-p}\to0^+$, logo $$\lim_{x\to-\infty}\left(a^{x-p}+q\right)=q.$$ A assíntota horizontal passa a ser $y=q$. (Se $0 Para os zeros, iguala a função a $0$ e isola a potência. Por exemplo, em $h(x)=2^x-8$: $2^x=8=2^3$, logo $x=3$ e o ponto de interseção com o eixo das abcissas é $(3,0)$. Uma assíntota vertical pode surgir quando o expoente é uma fração que não está definida num valor $c$. Em $f(x)=e^{\frac{1}{x-c}}$, quando $x\to c^+$ o expoente tende para $+\infty$ e $f\to+\infty$; quando $x\to c^-$ o expoente tende para $-\infty$ e $f\to0^+$. Logo $x=c$ é assíntota vertical (basta que um dos limites laterais seja infinito). Para a horizontal, calcula o limite do expoente quando $x\to\pm\infty$: se o expoente tende para $L$, a função tende para $e^L$. Determine o domínio, o contradomínio e a equação da assíntota horizontal da função $f(x) = 2^x - 5$. Calcule analiticamente as coordenadas dos pontos de interseção com o eixo das abcissas e com o eixo das ordenadas da função $f(x) = 3^{x+1} - 9$. A partir da função $f(x) = 2^x$, explique detalhadamente quais as transformações geométricas que devem ser aplicadas ao seu gráfico para obter o gráfico da função $g(x) = 2^{x-3} + 1$. Determine o domínio, o contradomínio e a equação da assíntota horizontal de $g(x)$.Determine o domínio, o contradomínio e a equação da assíntota horizontal da função $f(x) = 2^x - 5$.
Calcule analiticamente as coordenadas dos pontos de interseção com o eixo das abcissas e com o eixo das ordenadas da função $f(x) = 3^{x+1} - 9$.
A partir da função $f(x) = 2^x$, explique detalhadamente quais as transformações geométricas que devem ser aplicadas ao seu gráfico para obter o gráfico da função…
Equações exponenciais
Há quatro técnicas, da mais simples à mais geral.
Para sistemas com potências, faz uma mudança de variável em cada potência (por exemplo $u=2^x$ e $v=3^y$, ambas positivas), resolve o sistema linear em $u$ e $v$ e desfaz as mudanças.
Resolva a seguinte equação exponencial, igualando as bases em ambos os membros da igualdade: $5^{2x-1} = 125$
Resolva a seguinte equação exponencial, igualando as bases em ambos os membros da igualdade:
$5^{2x-1} = 125$
Expressa ambos os membros da equação como potências de base $2$ e resolve: $8^x = \frac{1}{4}$
Expressa ambos os membros da equação como potências de base $2$ e resolve:
$8^x = \frac{1}{4}$
Resolve a seguinte equação exponencial fazendo uma mudança de variável adequada: $9^x - 10 \cdot 3^x + 9 = 0$
Resolve a seguinte equação exponencial fazendo uma mudança de variável adequada:
$9^x - 10 \cdot 3^x + 9 = 0$
Resolva a seguinte equação exponencial aplicando logaritmos: $4^{x-1} = 15$ Expresse o resultado de forma exata utilizando logaritmos e forneça também uma aproximação…
Resolva a seguinte equação exponencial aplicando logaritmos:
$4^{x-1} = 15$
Expresse o resultado de forma exata utilizando logaritmos e forneça também uma aproximação arredondada às centésimas.
Resolva a seguinte equação exponencial, colocando o fator comum em evidência após aplicar as propriedades das potências: $2^{x+2} + 2^{x-1} - 2^{x-2} = 34$
Resolva a seguinte equação exponencial, colocando o fator comum em evidência após aplicar as propriedades das potências:
$2^{x+2} + 2^{x-1} - 2^{x-2} = 34$
Modelos de crescimento e decaimento
Há grandezas que crescem quase exponencialmente no início, mas têm um limite de capacidade $L$ (por exemplo, uma população isolada). O modelo logístico é $P(t)=\dfrac{L}{1+b\,e^{-kt}}$, com $b,k>0$. Em $t=0$, $P(0)=\dfrac{L}{1+b}$. Quando $t\to+\infty$, $e^{-kt}\to0$ e $P\to L$: a reta $y=L$ é assíntota horizontal. A curva tem forma de «S»: cresce devagar, depois depressa, e por fim estabiliza. Para saber quando $P=\dfrac L2$, resolve $1+b\,e^{-kt}=2$, ou seja, $e^{-kt}=\dfrac1b$.
Com capitalização cada vez mais frequente, o juro composto aproxima-se do juro contínuo, $C(t)=C_0\,e^{rt}$. Também a desintegração radioativa e o arrefecimento de Newton usam a forma $e^{\pm kt}$.
Uma população de bactérias duplica a cada hora. Se inicialmente no cultivo há $150$ bactérias, escreva a função $P(t)$ que modela o número de bactérias em função do…
Uma população de bactérias duplica a cada hora. Se inicialmente no cultivo há $150$ bactérias, escreva a função $P(t)$ que modela o número de bactérias em função do tempo $t$ (expresso em horas). Quantas bactérias haverá no cultivo ao fim de $4$ horas?
Investem-se $5000$ euros num depósito bancário que oferece juros compostos anuais de $3\%$. Escreva a função que determina o capital acumulado $C(t)$ ao fim de $t$ anos.…
Investem-se $5000$ euros num depósito bancário que oferece juros compostos anuais de $3\%$.
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Escreva a função que determina o capital acumulado $C(t)$ ao fim de $t$ anos.
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Calcule o capital total acumulado após $10$ anos.
Um isótopo radioativo tem um período de meia-vida (tempo que demora a reduzir a sua massa inicial para metade) de $8$ dias. Se partirmos de uma amostra inicial de $200$…
Um isótopo radioativo tem um período de meia-vida (tempo que demora a reduzir a sua massa inicial para metade) de $8$ dias. Se partirmos de uma amostra inicial de $200$ gramas:
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Escreve a função $M(t)$ que fornece a massa restante do isótopo em função do tempo $t$ em dias.
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Que massa desse isótopo restará após $24$ dias?
Segundo a lei do arrefecimento de Newton, a temperatura de um objeto num instante $t$ (em minutos) é dada pela expressão $T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}$, onde $T_a$ é…
Segundo a lei do arrefecimento de Newton, a temperatura de um objeto num instante $t$ (em minutos) é dada pela expressão $T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}$, onde $T_a$ é a temperatura ambiente e $T_0$ a temperatura inicial do objeto. Uma chávena de café a $90^\circ\text{C}$ é deixada numa sala que se mantém a uma temperatura constante de $20^\circ\text{C}$. Se após $10$ minutos a temperatura do café desceu para $60^\circ\text{C}$:
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Calcule o valor exato da constante de arrefecimento $k$.
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Determine o tempo total decorrido desde o início para que o café atinja uma temperatura de $30^\circ\text{C}$.
Vamos ao início: se as partilhas começam em $N_0$ e são multiplicadas por $k$ a cada hora, tem-se $N(t)=N_0\cdot k^t$; se a carga de um condensador se reduz a metade a cada segundo, $V(t)=V_0\cdot\left(\tfrac12\right)^t$.
Continuidade e sinal de produtos
Uma função é contínua num ponto $c$ se $\lim_{x\to c^-}f(x)=\lim_{x\to c^+}f(x)=f(c)$: o gráfico não tem saltos. Numa função definida por ramos, impõe-se esta igualdade nos pontos onde muda a expressão. As exponenciais são contínuas em $\mathbb{R}$.
Para estudar o sinal de um produto, fatoriza, determina os zeros de cada fator e constrói uma tabela de sinais. Como $e^{-x}>0$ e $2^x>0$, estes fatores não alteram o sinal: só conta o outro fator.
Determine os valores dos parâmetros $a$ e $b$ para que a seguinte função definida por ramos seja contínua em todo o $\mathbb{R}$: $$ f(x) = \begin{cases} e^{ax} + b &…
Determine os valores dos parâmetros $a$ e $b$ para que a seguinte função definida por ramos seja contínua em todo o $\mathbb{R}$:
$$ f(x) = \begin{cases} e^{ax} + b & \text{si } x < 0 \\ 3x + 2 & \text{si } 0 \le x \le 2 \\ 2^{x-1} + a & \text{si } x > 2 \end{cases} $$Determine analiticamente os intervalos de sinal constante (ou seja, os intervalos onde a função é estritamente positiva e onde é estritamente negativa) da função:…
Determine analiticamente os intervalos de sinal constante (ou seja, os intervalos onde a função é estritamente positiva e onde é estritamente negativa) da função:
$f(x) = (x^2 - 5x + 6)e^{-x}$