Resolução de triângulos obliquângulos

Num triângulo $ABC$, são conhecidos os lados $a = 5$ cm e $b = 8$ cm, e o ângulo compreendido entre eles $C = 60^\circ$. Calcule o comprimento do lado $c$.

Os três lados de um triângulo medem $a = 3$ m, $b = 5$ m e $c = 7$ m. Determine a amplitude do ângulo de maior amplitude desse triângulo.

O Marcos tem de calcular o comprimento do lado $a$ de um triângulo do qual conhece $b = 5\text{ cm}$, $c = 8\text{ cm}$ e o ângulo compreendido $A = 120^\circ$. No seu caderno escreve a seguinte resolução:

1) Aponta o erro de cálculo que o Marcos cometeu ao operar com os sinais.

2) Sem necessidade de refazer as contas ainda, fundamenta por que motivo um resultado de $a = 7\text{ cm}$ é geometricamente impossível neste triângulo (relaciona a amplitude do ângulo $A$ com as medidas relativas dos lados).

3) Corrige o procedimento e calcula o valor correto do lado $a$ arredondado a duas casas decimais.

Num triângulo $ABC$, os ângulos $A$ e $B$ medem $30^\circ$ e $105^\circ$, respetivamente. Se o lado oposto ao ângulo $A$ tem um comprimento de $a = 8$ cm, determine o comprimento do lado $c$ (oposto ao ângulo $C$).

Num triângulo isósceles, o lado desigual (a base) mede $12$ m e os ângulos iguais medem $75^\circ$ cada um. Determine o comprimento dos lados iguais utilizando o teorema dos senos.

De um triângulo conhecem-se os seus três lados: $a = 4\text{ cm}$, $b = 7\text{ cm}$ e $c = 10\text{ cm}$. Para o resolver completamente é necessário determinar os seus três ângulos. Dois colegas propõem caminhos distintos para calcular o segundo ângulo após terem obtido o primeiro:

• Inês: «Calculo primeiro o ângulo menor, $A$, com o teorema de Carnot. Depois, para fazer contas mais rápidas e simples, calculo o ângulo maior, $C$, usando a lei dos senos ($\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$), e finalmente $B = 180^\circ - A - C$».

• Rodrigo: «É perigoso calcular $C$ com a lei dos senos. É muito mais seguro calcular diretamente $C$ com o teorema de Carnot, ou então usar a lei dos senos para calcular $B$, mas nunca para $C$».

1) Justifica matematicamente a objeção do Rodrigo: que limitação tem a função $\arcsin$ na calculadora ao procurar ângulos que poderiam ser obtusos?

2) Verifica a falha do método da Inês: calcula o ângulo $A$ com o teorema de Carnot e mostra que valor errado para $C$ forneceria a lei dos senos se aplicada diretamente.

3) Aplica o caminho seguro proposto pelo Rodrigo para calcular com precisão os três ângulos do triângulo.

Determine a área de um triângulo $ABC$ do qual são conhecidos os lados $b = 14$ cm, $c = 20$ cm e o ângulo que eles formam, $A = 60^\circ$.

Os lados adjacentes de um paralelogramo medem $6$ cm e $10$ cm, e formam um ângulo obtuso de $120^\circ$. Calcule o comprimento da diagonal maior do paralelogramo.

Num triângulo $ABC$, o lado $a$ mede $10$ cm e o ângulo oposto $A$ mede $45^\circ$. Calcule o raio $R$ da circunferência circunscrita a esse triângulo.

Num triângulo $ABC$, sabe-se que o lado $a = 10$ cm, o ângulo $B = 30^\circ$ e que a área total do triângulo é de $20\sqrt{3}$ cm$^2$. Formule um sistema para encontrar o valor exato dos lados $b$ e $c$, e determine a amplitude dos ângulos $A$ e $C$.

Num triângulo $ABC$ de lados $a=13$ cm, $b=14$ cm e $c=15$ cm, traçam-se a circunferência circunscrita de raio $R$ e a circunferência inscrita de raio $r$. Calcule a área do triângulo utilizando a fórmula de Heron e, a partir dela, obtenha os valores exatos de $R$ e $r$.

Dois navios partem simultaneamente de um porto com rotas retilíneas que formam entre si um ângulo de $75^\circ$. O primeiro navio navega a uma velocidade constante de $15$ nós e o segundo a $20$ nós. Calcule a distância em milhas náuticas que separará ambos os navios após $2$ horas de navegação.

Para medir a altura $h$ de um aerogerador, posiciona-se num ponto $A$ no solo e mede-se o ângulo de elevação até ao ponto mais alto, obtendo-se $40^\circ$. Avança-se $30$ metros em linha reta em direção à base do aerogerador até chegar a um ponto $B$, de onde o novo ângulo de elevação é de $55^\circ$. Calcule a altura do aerogerador.

Dois rebocadores puxam uma barcaça por meio de dois cabos que formam entre si um ângulo de $45^\circ$. Se as tensões exercidas pelos cabos são de $4500$ N e $6000$ N, determine o módulo da força resultante e o ângulo que essa resultante forma com o cabo que exerce a força de $6000$ N.

Um drone de vigilância encontra-se num ponto $C$ a observar um troço reto de estrada delimitado por duas cidades $A$ e $B$ que distam $5$ km entre si. Os ângulos de depressão do drone para as cidades são tais que, no triângulo formado, o ângulo em $A$ é de $35^\circ$ e o ângulo em $B$ é de $62^\circ$. Calcule a altitude a que o drone voa em relação à estrada.

Um terreno agrícola tem a forma de um quadrilátero $ABCD$. As medidas dos seus lados são $AB = 50$ m, $BC = 40$ m, $CD = 30$ m e $DA = 60$ m. Sabendo que o ângulo no vértice $B$ é de $70^\circ$, calcule a área total do terreno dividindo-o em dois triângulos.

Um heptágono regular (polígono de $7$ lados iguais) está inscrito numa circunferência de $10$ cm de raio. Utilizando o teorema dos cossenos e/ou dos senos nos triângulos centrais, calcule o perímetro e a área desse heptágono.

Os lados de um triângulo são dados pelas expressões $x$, $x+2$ e $x+4$ centímetros. Sabendo que o ângulo de maior amplitude do triângulo mede $120^\circ$, formula a equação correspondente, encontra o valor exato de $x$ e calcula o perímetro do triângulo.

Demonstre geometricamente ou mediante o uso dos teoremas trigonométricos (do Seno e do Cosseno) que em qualquer triângulo $ABC$ é válida a relação de projeções: $a = b \cos C + c \cos B$. Em seguida, utilize esta identidade juntamente com o teorema dos senos para demonstrar a fórmula do seno da soma de dois ângulos: $\sin(B+C) = \sin B \cos C + \cos B \sin C$.