Arranjos
Numa final de atletismo com 8 atletas, de quantas formas se podem distribuir as medalhas de ouro, prata e bronze? Não ordenas os 8 atletas: escolhes apenas 3 e colocas cada um num lugar diferente. Para contar casos como este usamos os arranjos.
Arranjos simples
O raciocínio é o do princípio da multiplicação: para o 1.º lugar há $n$ opções, para o 2.º há $n-1$ (um já foi usado), e assim sucessivamente até ao lugar $p$, onde restam $n-p+1$ opções.
$${}^{n}A_{p} = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-p+1) = \frac{n!}{(n-p)!}$$Numa galeria de arte vão ser expostos $2$ quadros selecionados de uma coleção privada de $7$ obras. Um será colocado na parede esquerda da sala e o outro na parede…
Numa galeria de arte vão ser expostos $2$ quadros selecionados de uma coleção privada de $7$ obras. Um será colocado na parede esquerda da sala e o outro na parede direita. De quantas formas diferentes se pode organizar esta exposição?
Um clube de leitura tem $9$ membros. Devem escolher uma direção formada por um presidente, um vice-presidente e um secretário. Como os cargos são distintos e cada pessoa…
Um clube de leitura tem $9$ membros. Devem escolher uma direção formada por um presidente, um vice-presidente e um secretário. Como os cargos são distintos e cada pessoa só pode ocupar um, de quantas formas se pode formar a direção?
Numa corrida de $100\text{ m}$ rasos participam $8$ atletas. De quantas formas distintas se podem distribuir as medalhas de ouro, prata e bronze, sabendo que não pode…
Numa corrida de $100\text{ m}$ rasos participam $8$ atletas. De quantas formas distintas se podem distribuir as medalhas de ouro, prata e bronze, sabendo que não pode haver empates?
Arranjos completos
E se o mesmo elemento puder aparecer mais do que uma vez? Ao lançar um dado 4 vezes seguidas, o resultado de cada lançamento não depende dos anteriores: o 6 pode sair as 4 vezes. Em cada etapa, as opções não diminuem.
$${}^{n}A'_{p} = n^p$$Cada uma das $p$ posições tem sempre as mesmas $n$ opções, porque nada se «gasta»: é o princípio da multiplicação com o mesmo fator repetido $p$ vezes.
Lançamos um dado cúbico tradicional de $6$ faces $4$ vezes consecutivas e registamos o resultado de cada lançamento por ordem. Quantos resultados distintos podemos obter…
Lançamos um dado cúbico tradicional de $6$ faces $4$ vezes consecutivas e registamos o resultado de cada lançamento por ordem. Quantos resultados distintos podemos obter no total?
Queremos pintar $3$ caixas de correio alinhadas numa rua. Dispomos de $4$ cores distintas (vermelho, verde, azul e amarelo). Se pudermos repetir cores em caixas de…
Queremos pintar $3$ caixas de correio alinhadas numa rua. Dispomos de $4$ cores distintas (vermelho, verde, azul e amarelo). Se pudermos repetir cores em caixas de correio diferentes, de quantas formas diferentes as podemos pintar?
O sistema de matrículas de veículos de um país é formado por um bloco de $4$ dígitos (do $0$ ao $9$) seguido de um bloco de $2$ letras escolhidas de um alfabeto de $20$…
O sistema de matrículas de veículos de um país é formado por um bloco de $4$ dígitos (do $0$ ao $9$) seguido de um bloco de $2$ letras escolhidas de um alfabeto de $20$ consoantes. Em ambos os blocos é permitida a repetição de carateres. Quantas matrículas distintas podem ser emitidas no total com este formato?
Arranjos, permutações ou combinações?
Antes de aplicares uma fórmula, responde a duas perguntas: usam-se todos os elementos ou só parte deles? A ordem importa? E, no caso de escolheres só alguns, os elementos podem repetir-se?
Restrições numa posição
Quando há uma condição sobre uma posição (por exemplo, «o número é par» ou «não começa por 0»), começa pela posição condicionada, conta as suas opções e só depois preenche as restantes.
Princípio da adição: somar casos
Quando o problema se divide em casos que não se podem dar ao mesmo tempo (casos disjuntos), contas cada caso à parte e somas os resultados. É o princípio da adição. A multiplicação serve para escolhas sucessivas; a adição serve para alternativas.
Somar arranjos completos com comprimentos diferentes
Se o comprimento da sequência pode variar (por exemplo, «no máximo 3 símbolos»), calcula cada comprimento $p$ separadamente e soma: ${}^{n}A'_{1} + {}^{n}A'_{2} + {}^{n}A'_{3}$.
Restrição entre posições vizinhas
Quando duas posições seguidas não podem ser iguais, escolhe da esquerda para a direita: a primeira tem $n$ opções e cada uma das seguintes tem $n-1$, porque só fica proibida a cor (ou o elemento) da posição anterior.
Utilizando os dígitos $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$, quantos números pares de $3$ algarismos podem ser formados se não for permitido repetir nenhum algarismo no mesmo número?
Utilizando os dígitos $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$, quantos números pares de $3$ algarismos podem ser formados se não for permitido repetir nenhum algarismo no mesmo número?
Quantos números de $4$ algarismos se podem formar com os dígitos $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ (podendo repetir algarismos) que sejam estritamente maiores do que $3000$?
Quantos números de $4$ algarismos se podem formar com os dígitos $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ (podendo repetir algarismos) que sejam estritamente maiores do que $3000$?
No código Morse, as letras são representadas mediante sequências de pontos e traços. Quantos sinais distintos podem ser formados utilizando no máximo $3$ símbolos por…
No código Morse, as letras são representadas mediante sequências de pontos e traços. Quantos sinais distintos podem ser formados utilizando no máximo $3$ símbolos por sinal?
Pretende-se projetar uma bandeira com $4$ faixas verticais. Dispomos de $5$ cores distintas. De quantas formas se pode colorir a bandeira se a única condição for que…
Pretende-se projetar uma bandeira com $4$ faixas verticais. Dispomos de $5$ cores distintas. De quantas formas se pode colorir a bandeira se a única condição for que duas faixas adjacentes (juntas) não possam ter a mesma cor?
Para aceder a uma base de dados segura é necessária uma palavra-passe de $5$ caracteres. Por segurança, o sistema exige que os dois primeiros caracteres sejam vogais…
Para aceder a uma base de dados segura é necessária uma palavra-passe de $5$ caracteres. Por segurança, o sistema exige que os dois primeiros caracteres sejam vogais (permite-se que se repitam) e os três últimos caracteres devem ser números de $0$ a $9$ (sem que nenhum se repita). Quantas palavras-passe distintas cumprem este formato?
Equações com arranjos
Nos problemas inversos conheces o total e procuras $n$ (ou $p$). Desenvolve a fórmula, obtém uma equação e resolve-a; podes ainda experimentar valores naturais pequenos.
Num torneio de xadrez joga-se em duas voltas (cada jogador defronta todos os outros duas vezes, alternando a cor das peças). Sabendo-se que no total foram disputadas…
Num torneio de xadrez joga-se em duas voltas (cada jogador defronta todos os outros duas vezes, alternando a cor das peças). Sabendo-se que no total foram disputadas $90$ partidas, elabore a equação correspondente utilizando a fórmula dos arranjos e determine quantos jogadores participaram no torneio.
Sabendo que o número de arranjos com repetição de $x$ elementos tomados $2$ a $2$ excede em $12$ o número de arranjos sem repetição dos mesmos $x$ elementos tomados $2$…
Sabendo que o número de arranjos com repetição de $x$ elementos tomados $2$ a $2$ excede em $12$ o número de arranjos sem repetição dos mesmos $x$ elementos tomados $2$ a $2$, escreva a equação correspondente e determine o valor de $x$.
Voltando ao início: as medalhas de ouro, prata e bronze entre 8 atletas podem ser distribuídas de ${}^{8}A_{3}=336$ formas.