Exercícios de derivadas

Calcule a primeira e a segunda derivada da função polinomial $f(x) = 3x^4 - 5x^3 + 2x - 7$.

Determine a derivada da função racional $f(x) = \frac{3x - 1}{x^2 + 4}$.

Para derivar a função $f(x) = \frac{5x^4 - 10x^2 + 3}{5}$, dois estudantes propõem caminhos distintos:

• O João quer aplicar a regra do quociente, tratando o numerador como $u(x) = 5x^4 - 10x^2 + 3$ e o denominador como a função constante $v(x) = 5$.

• A Inês propõe reescrever previamente a função separando o denominador comum numa soma de monómios: $f(x) = x^4 - 2x^2 + \frac{3}{5}$, e derivar termo a termo.

1. a) Deriva a função seguindo o método do João e simplifica o resultado.
2. b) Deriva a função seguindo o método da Inês.
3. c) Compara ambos os métodos: qual requer menos operações algébricas e apresenta menor risco de erro? Justifica que regra geral sobre constantes multiplicativas torna desnecessário usar a regra do quociente quando o denominador é um número fixo.

Obtém a derivada da função $f(x) = (2x^2 + 3) e^x$.

Calcule a derivada da função $f(x) = \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$. Exprima o resultado na forma de potência fracionária ou raiz.

Calcule a derivada da função $f(x) = (5x^3 - 2x)^4$ aplicando a regra da cadeia.

Determine a derivada da função trigonométrica $f(x) = \cos(x^3 - 4x)$.

Calcule a derivada da função composta $f(x) = \sin^3(e^{2x} + 1)$, prestando atenção à aplicação sucessiva da regra da cadeia.

Dada a função $f(x) = \ln\left(\cos(3x^2)\right)$, calcule a sua derivada e avalie-a no ponto $x = \sqrt{\frac{\pi}{12}}$.

Dadas duas funções deriváveis $g(x)$ e $h(x)$, define-se uma nova função $f(x) = g(h(x^2))$. Sabendo que $h(1) = 2$, $h'(1) = 3$, $g(2) = 5$ e $g'(2) = -4$, calcule o valor exato de $f'(1)$ detalhando os passos da regra da cadeia.

Calcule a derivada da função $f(x) = \ln(7x^2 + 5) + 3^{2x}$.

Obtenha a derivada da função irracional $f(x) = \sqrt{x^4 - 3x^2 + 2}$.

A população de uma espécie de alga marinha em milhões de indivíduos segue a função $P(t) = \ln(t^2 + 4t + 1) + 5$, onde $t$ é o tempo em semanas. Determine a taxa de crescimento instantânea da população na terceira semana ($t=3$).

Num exame do 1.º ano do Ensino Secundário, a Alba tem de calcular a função derivada de $f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 4}$. O seu desenvolvimento escrito é o seguinte:

A seguir, a Alba corta os termos $x^4$ do numerador e do denominador e conclui que o resultado final é $f'(x) = \frac{12x^2}{16} = \frac{3x^2}{4}$.

1. a) Identifica e explica detalhadamente os dois erros algébricos graves cometidos pela Alba: um ao desenvolver o denominador e outro ao simplificar a fração.
2. b) Corrige o exercício realizando a derivada de forma adequada, colocando em evidência o fator comum no numerador e deixando a expressão como uma fração irredutível com o denominador fatorizado.

Calcule a derivada da função $f(x) = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x+2}$ e simplifique o resultado o máximo possível, expressando-o com um único denominador.

Dada a função racional $f(x) = \frac{8x}{x^2 + 4}$:

1. a) Observa que $f(0) = 0$ e que para um valor próximo, à direita, como $x = 0,5$, a função toma o valor $f(0,5) \approx 0,94 > 0$. A partir deste comportamento, estima fundamentadamente o sinal que a derivada $f'(0)$ deveria ter e indica se esperas que a função seja crescente ou decrescente nessa vizinhança.
2. b) Aplica a regra da derivada do quociente para obter a expressão algébrica de $f'(x)$. Simplifica ao máximo o numerador, colocando em evidência o fator comum numérico e fatorizando a diferença de quadrados resultante.
3. c) Avalia $f'(0)$ na expressão obtida e verifica se coincide com a tua estimativa da alínea a).
4. d) Resolve a equação $f'(x) = 0$ utilizando a forma fatorizada do numerador e interpreta que significado geométrico têm os pontos correspondentes no gráfico de $f$.

Segundo registos do Instituto Português do Mar e da Atmosfera (IPMA), durante um dia de onda de calor em Évora, a temperatura $T$ (em graus Celsius) registada entre as 8:00 h e as 22:00 h pode ser aproximada através do modelo:

onde $t$ é a hora do dia ($8 \le t \le 22$).

1. a) Calcula a função derivada $T'(t)$ aplicando a regra do quociente e a regra da cadeia. Simplifica o numerador fatorizando a expressão resultante até obteres $T'(t)$ como uma única fração irredutível com o numerador totalmente fatorizado.
2. b) A derivada $T'(t)$ mede a taxa de variação instantânea da temperatura em °C/h. Calcula $T'(11)$ e interpreta o resultado no contexto real: a temperatura aumenta ou diminui às 11:00 h, e a que ritmo exato?
3. c) Determina a que hora exata do dia é atingida a temperatura máxima resolvendo a equação $T'(t) = 0$ e calcula qual é o valor dessa temperatura recorde.

Pretende-se calcular a função derivada de $f(x) = \ln\left(\frac{x^2}{\sqrt{2x + 1}}\right)$, definida para $x > 0$.

1. a) A Marta tenta derivar aplicando diretamente a regra da cadeia à expressão completa: primeiro a derivada do logaritmo natural $\frac{u'}{u}$, e depois a regra do quociente com uma raiz no denominador para encontrar $u'$. Descreve que dificuldades e complexidade algébrica este caminho apresenta.
2. b) O Hugo propõe uma estratégia alternativa: antes de derivar, reescrever $f(x)$ aplicando as propriedades dos logaritmos (logaritmo de um quociente, de uma potência e de uma raiz) para decompor a função numa soma e subtração de logaritmos simples. Aplica a estratégia do Hugo para transformar $f(x)$.
3. c) Deriva termo a termo a expressão simplificada pelo Hugo, reduz as frações a um único denominador comum e verifica como o processo resulta direto.
4. d) A partir da derivada obtida na alínea c), analisa se existe algum ponto com tangente horizontal ($f'(x) = 0$) dentro do domínio de definição ($x > 0$) e justifica a tua resposta.

Demonstre, utilizando as propriedades dos logaritmos e as regras de derivação, que a derivada da função $f(x) = \ln \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}$ é $f'(x) = \frac{1}{\cos x}$.

Calcule a derivada de ordem n da função $f(x) = \frac{1}{2x-1}$. Expresse o resultado $f^{(n)}(x)$ através de uma fórmula geral que dependa de $n$.

Encontra os valores dos parâmetros $a$ e $b$ (com $b > 0$) para que a função $f(x) = a e^{bx}$ cumpra simultaneamente que $f(0) = 3$ e que a sua segunda derivada, calculada na origem, seja $f''(0) = 12$.

Calcule a derivada da função $f(x) = \arcsin\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)$ para $x > 0$ e simplifique ao máximo a expressão resultante.

A carga elétrica que atravessa um circuito em função do tempo é dada pela expressão $q(t) = 5t e^{-0,2t}$ coulombs. Calcule a intensidade de corrente $I(t) = q'(t)$ e determine em que instante exato a intensidade é nula.

O custo total em euros para produzir $x$ camisolas de capuz personalizadas para a viagem de finalistas é dado por $C(x) = \frac{150x}{\sqrt{x^2+100}} + 200$. Calcule a função de custo marginal $C'(x)$.

A intensidade da corrente num circuito de corrente alternada flutua segundo a função $I(t) = \frac{\sin(3t)}{t^2 + 2}$, onde $t$ é o tempo em segundos. Calcule a derivada $I'(t)$ aplicando a regra do quociente e a regra da cadeia.

Considera-se a função com parâmetro real $a$: $f(x) = (x^2 + a) \cdot e^{2x}$.

1. a) Olhando para a função «de fora para dentro», identifica a operação exterior principal e aplica a regra correspondente combinada com a regra da cadeia para calcular $f'(x)$. Exprime o resultado colocando em evidência a exponencial $e^{2x}$ de modo a ficar na forma $f'(x) = (2x^2 + 2x + 2a) \cdot e^{2x}$.
2. b) Sabendo que a reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto de abcissa $x = 1$ é horizontal (isto é, o seu declive é nulo), formula uma equação que envolva $f'(1)$ e deduz fundamentadamente o valor do parâmetro $a$.
3. c) Com o valor de $a$ encontrado, fatoriza completamente o polinómio que multiplica $e^{2x}$ em $f'(x)$ e encontra todos os pontos onde o declive da reta tangente à curva se anula.

A lei do arrefecimento de um material cerâmico num forno industrial segue a função $T(t) = 20 + 800 e^{-0,05t}$, onde $T$ é a temperatura em graus Celsius e $t$ é o tempo em minutos. Calcule a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo, $T'(t)$, e determine quanto tempo deve decorrer para que a temperatura diminua a um ritmo exato de $10^\circ \text{C/min}$.

Calcule a derivada da seguinte função, aplicando a regra do produto e a regra da cadeia: $f(x) = e^{x\sin(x)} \cdot \ln(x^2 + 4)$.

Demonstre, calculando a derivada e estudando o seu sinal, que a função $f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ é estritamente crescente em todo o seu domínio.