Função derivada

Aplique a definição de derivada por meio do cálculo do limite $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ para encontrar a função derivada de $f(x) = 3x^2 - 5x + 2$.

Considera a função polinomial $f(x) = 4 - x^2$.

1. a) Antes de calcular qualquer derivada, realiza uma estimativa qualitativa fundamentada: que sinal esperas que tenha o declive da reta tangente à curva em $x = 1$ e em $x = -2$? Em qual dos dois pontos prevês que a inclinação seja mais pronunciada em valor absoluto? Justifica as tuas respostas a partir do crescimento e da forma simétrica da parábola.
2. b) Obtém a função derivada geral $f'(x)$ aplicando rigorosamente a definição de derivada através do limite do quociente de diferenças: $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$.
3. c) Avalia $f'(1)$ e $f'(-2)$ substituindo na função derivada que obtiveste e verifica se os resultados numéricos confirmam as estimativas que formulaste na alínea a).

Encontre a função derivada aplicando a regra do quociente. Exprima o resultado final com o numerador simplificado.

$f(x) = \frac{4x - 3}{x^2 + 5}$

A equação do movimento de um veículo autónomo em testes é dada pela função $s(t) = 2t^3 - 15t^2 + 24t + 10$, onde $s$ é a posição em metros e $t$ o tempo em segundos ($t \ge 0$).

Encontre a função velocidade $v(t)$ e a função aceleração $a(t)$. Determine em que instantes de tempo o veículo para momentaneamente.

O custo total de produção, em euros, de $x$ unidades de um componente eletrónico de alta precisão é modelado pela função $C(x) = 0,02x^3 - 0,6x^2 + 40x + 500$.

Calcule a função custo marginal $C'(x)$ e avalie o seu valor quando são produzidas exatamente $x = 15$ unidades. Interprete o resultado obtido no contexto do problema.

Observe o gráfico da função $f(x)$ que representa a trajetória de um projétil em função do tempo.

A partir da representação visual, determine o sinal da função derivada $f'(x)$ nas abcissas $x = 1$, $x = 2$ e $x = 3$. Justifique a sua resposta com base no conceito geométrico da derivada.

O seguinte gráfico representa a função derivada $f'(x)$ de uma certa função $f(x)$ contínua em todo o $\mathbb{R}$.

Observando exclusivamente o comportamento de $f'(x)$, determine os intervalos em que a função original $f(x)$ é crescente e em que é decrescente. Em quais abscissas $f(x)$ apresentará extremos relativos?

No painel seguinte, são mostradas duas curvas, A (azul) e B (verde). Sabe-se que uma delas corresponde a uma função polinomial $f(x)$ e a outra à sua função derivada $f'(x)$.

Identifique, justificando, qual curva representa $f(x)$ e qual representa $f'(x)$ com base na relação geométrica entre os pontos de interseção, os extremos relativos e o crescimento. Em seguida, deduza o sinal da segunda derivada $f''(x)$ na abscissa $x = 0$.

A Marta está a estudar os extremos relativos da função $f(x) = (x-2)^3 + 1$. Para isso, calcula a sua função derivada e obtém $f'(x) = 3(x-2)^2$. Em seguida, propõe a equação $f'(x) = 0$, encontra como única solução $x = 2$ e conclui no seu exame: «Como a derivada em $x = 2$ é igual a zero, a função $f$ atinge obrigatoriamente um mínimo relativo no ponto $(2, 1)$».

1. a) Explica fundamentadamente o erro conceptual da Marta: a condição $f'(a) = 0$ por si só garante que em $x = a$ exista um extremo relativo?
2. b) Estuda o sinal da função derivada $f'(x)$ nos intervalos $(-\infty, 2)$ e $(2, +\infty)$. A partir dessa análise, descreve o que faz realmente a curva à esquerda e à direita de $x = 2$ e deduz que tipo de ponto a função tem em $(2, 1)$.

Numa experiência de cinética química, a concentração de um reagente em função do tempo $t$ (em minutos) ajusta-se à expressão $C(t) = \frac{8t}{t^2 + 4}$ em mol por litro.

Determine a função derivada $C'(t)$ que representa a velocidade da reação. Em que instante $t > 0$ é nula a velocidade da reação?

Durante um dia de onda de calor registado pelo IPMA numa estação meteorológica do sul de Portugal, a temperatura exterior $T$ (em graus Celsius) entre as 08:00 h ($t = 0$) e as 20:00 h ($t = 12$) é modelada pela função:

onde $t$ é o tempo medido em horas decorridas desde as 08:00.

1. a) Obtém a função derivada $T'(t)$ e interpreta que grandeza física representa neste contexto, indicando as suas unidades de medida correspondentes.
2. b) Calcula a taxa de variação instantânea da temperatura às 10:00 h ($t = 2$) e às 18:00 h ($t = 10$). Interpreta o significado físico do sinal e do valor obtido em cada caso.
3. c) Resolve a equação $T'(t) = 0$ para encontrar a hora exata em que a temperatura atinge o seu valor máximo diário e calcula essa temperatura máxima.
4. d) Determina a função derivada de segunda ordem $T''(t)$. O que mede esta segunda derivada sobre a evolução do calor ao longo do dia e o que nos indica o facto de o seu sinal ser negativo em todo o intervalo?