Definição de derivada de uma função num ponto

Calcule, utilizando a definição de derivada por meio do limite $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$, o valor de $f'(2)$ para a função $f(x) = x^2 + 3$.

Encontra a taxa de variação instantânea (derivada) da função $f(x) = 3x - 5$ no ponto de abcissa $x = 1$, aplicando o limite da razão incremental.

O espaço percorrido por um objeto em queda livre num planeta fictício é dado por $s(t) = 4t^2$, onde $s$ é medido em metros e $t$ em segundos. Calcule a velocidade instantânea em $t = 3$ s aplicando a definição de derivada como limite.

Dada a função $f(x) = 2x^2 - x$, utiliza a expressão alternativa da definição $f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ para encontrares a derivada no ponto $a = -1$.

Utilizando a definição de derivada por meio de limites, calcule $f'(3)$ para a função racional $f(x) = \frac{1}{x - 1}$.

Encontra a derivada da função com radicais $f(x) = \sqrt{x + 5}$ no ponto $x = 4$, aplicando a definição de derivada como limite e operando com o conjugado para resolver a indeterminação.

Demonstre, calculando explicitamente os limites laterais da razão incremental, que a função módulo $f(x) = |x - 3|$ não é diferenciável no ponto $x = 3$.

Estude se a seguinte função definida por ramos é diferenciável em $x = 2$, verificando previamente a sua continuidade e aplicando depois a definição de derivadas laterais:

$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x \le 2 \\ 4x - 4 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

A Sofia tem de estudar a derivabilidade no ponto $x = 1$ da função definida por ramos:

No seu teste escreve a seguinte justificação:

«Calculo a derivada de cada ramo separadamente: a derivada à esquerda ($x < 1$) é $2x + 2$, que ao ser avaliada em $x = 1$ vale $2\cdot 1 + 2 = 4$. A derivada à direita ($x > 1$) é a constante $4$. Como ambas as derivadas laterais coincidem ($4 = 4$), afirmo que a função é derivável em $x = 1$ e a sua derivada vale $f'(1) = 4$».

1. a) Aponta o erro conceptual fundamental da Sofia ao assumir uma propriedade imprescindível antes de analisar a derivabilidade. Demonstra se tal propriedade se verifica ou não em $x = 1$.
2. b) Aplica a definição formal de derivada através dos limites laterais do quociente de diferenças:

Calcula detalhadamente ambos os limites e indica que resultado algébrico dá cada um.

1. c) Conclui fundamentadamente se $f$ é derivável em $x = 1$ e explica por que razão a regra prática de «derivar os ramos e substituir» conduz a uma conclusão errónea quando não se respeitam as definições de partida.

O gráfico anexo mostra uma função contínua que apresenta um ponto angular. Defina analiticamente uma função com valor absoluto que corresponda a esse gráfico e demonstre rigorosamente, calculando os limites laterais da taxa de variação média, por que a função não é derivável em $x = 2$.

Determine os valores exatos dos parâmetros $a$ e $b$ para que a função definida por ramos

$f(x) = \begin{cases} ax^2 + b & \text{si } x < 1 \\ \frac{1}{x} & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

seja derivável em $x = 1$. Justifique a sua resposta aplicando a definição de continuidade e calculando os limites das derivadas laterais por meio da razão incremental.

Dada a função $f(x) = x|x|$, demonstre por meio da definição de derivada, calculando os limites laterais da razão incremental, que a função é derivável em $x = 0$ e determine o valor exato de $f'(0)$.

Encontre a equação da reta tangente à curva $f(x) = x^2$ no ponto de abcissa $x = 2$. Para isso, calcule primeiro o declive $m = f'(2)$ utilizando a definição de derivada por meio do limite.

Encontra a equação da reta tangente à função $f(x) = \frac{x}{x + 2}$ na origem do referencial. Deve calcular-se o declive avaliando o limite da definição de derivada em $x = 0$.

Encontre as equações de todas as retas tangentes à curva $f(x) = x^3 - x$ que sejam estritamente paralelas à reta de equação $y = 2x + 1$. Para resolver isto, obtenha primeiro a expressão geral do declive $f'(x)$ aplicando a definição de derivada por limites.