Introdução à combinatória

Um restaurante oferece uma ementa do dia com $4$ primeiros pratos, $3$ segundos pratos e $5$ sobremesas. De quantas formas distintas se pode pedir uma ementa completa composta por um primeiro prato, um segundo prato e uma sobremesa?

Uma marca de bicicletas fabrica um modelo que está disponível em $3$ tamanhos diferentes de quadro, $5$ cores e com $2$ tipos de travões distintos. Quantas versões diferentes deste modelo de bicicleta existem no mercado?

Para proteger uma bicicleta na escola secundária, utiliza-se um cadeado de combinação de $3$ rodas giratórias, cada uma com os dígitos de $0$ a $9$. O proprietário estabelece que o código não pode começar por $0$ e que os três dígitos devem ser distintos entre si.

1. a) Antes de realizar qualquer cálculo exato, estima de forma intuitiva se o número total de códigos possíveis será inferior a $300$, estará entre $300$ e $700$, ou será superior a $700$. Justifica brevemente em que baseias a tua intuição inicial.
2. b) Modela a situação através do princípio da multiplicação e calcula o número exato de códigos distintos que cumprem essas condições.
3. c) Verifica se a tua estimativa inicial foi acertada e reflete sobre como muda o resultado se fosse permitido repetir dígitos (mantendo o primeiro dígito diferente de $0$).

Numa biblioteca da sala de aula há $12$ romances de ficção científica, $8$ de romance histórico e $5$ biografias. Se só houver tempo para ler um livro neste fim de semana, quantas opções diferentes existem para escolher?

Para ir da cidade A à cidade B há $3$ estradas distintas, e para ir da cidade B à cidade C há $2$ estradas distintas.

• De quantas formas é possível viajar de A até C passando obrigatoriamente por B?

• Desenhe o diagrama em árvore correspondente a esta viagem.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Uma palavra-passe para um sistema informático deve ser formada por $2$ letras do alfabeto (de $26$ letras possíveis) seguidas de $3$ dígitos (do $0$ ao $9$), ou por $3$ letras seguidas de $2$ dígitos. Se for permitido repetir tanto as letras como os dígitos, quantas palavras-passe distintas podem ser criadas no total?

Desenhe o diagrama de árvore para a experiência que consiste em lançar uma moeda normal e, em seguida, lançar um dado com forma de tetraedro (com as suas faces numeradas de $1$ a $4$). Quantos resultados possíveis tem esta experiência composta?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Duas equipas de basquetebol, Alfa e Beta, disputam uma eliminatória à melhor de $3$ jogos (a primeira que conseguir vencer $2$ jogos apura-se). Não são possíveis empates. Desenhe o diagrama de árvore com todos os desenvolvimentos possíveis da eliminatória. De quantas formas distintas pode decorrer a série de jogos?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Numa urna há $3$ bolas vermelhas e $2$ bolas azuis. Retiram-se duas bolas consecutivamente e sem reposição. Desenhe o diagrama de árvore da experiência e calcule quantos resultados distintos podem ser obtidos se tivermos em conta a ordem de extração e a cor das bolas.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Dois amigos, João e Diana, jogam um jogo de tabuleiro composto por várias rondas. O vencedor final do jogo será o primeiro que conseguir vencer $2$ rondas consecutivas ou $3$ rondas no total ao longo da partida. Sabendo que não são possíveis empates em nenhuma ronda, desenhe o diagrama em árvore correspondente e determine o número máximo de rondas que podem chegar a jogar e quantos desenvolvimentos distintos o jogo tem.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Utilizando apenas os algarismos do conjunto $\{1, 2, 3, 4, 5\}$:

• Quantos números de $4$ algarismos distintos podem ser formados?

• Quantos desses números formados são pares?

Uma prova de escolha múltipla consta de $10$ perguntas. Cada pergunta tem $4$ opções de resposta, das quais apenas uma é correta.

• De quantas formas diferentes se pode responder à prova se for obrigatório assinalar uma opção em todas as perguntas?

• De quantas formas se poderia responder se for permitido deixar perguntas em branco?

Deseja-se projetar uma bandeira com $3$ faixas verticais utilizando uma paleta de $5$ cores disponíveis.

• De quantas formas se pode colorir se duas faixas adjacentes não puderem ter a mesma cor?

• De quantas formas se pode colorir se, além da condição anterior, a primeira e a última faixa também deverem ser obrigatoriamente de cores distintas?

No sistema de numeração decimal, consideramos todos os números inteiros compreendidos entre $1000$ e $9999$ (ambos inclusive). Quantos destes números contêm o algarismo $7$ pelo menos uma vez na sua escrita?

Calcule o valor das seguintes expressões numéricas utilizando as propriedades dos fatoriais:

• $\frac{8!}{6!}$

• $4! + 3!$

Escreva os seguintes produtos utilizando a notação matemática de fatorial:

• $15 \cdot 14 \cdot 13$

• $7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$

O Tomás está a resolver um problema de simplificação com fatoriais e apresenta no quadro o seguinte desenvolvimento:

1. a) Aponta com precisão o erro algébrico que o Tomás cometeu e explica por que razão não é válido simplificar a fração dessa forma.
2. b) Resolve corretamente a expressão aplicando as propriedades do fatorial (decompondo $7!$ em função de $5!$ ou colocando fator comum em evidência) e determina o seu valor numérico final.

Simplifique a expressão algébrica $\frac{(x+2)!}{x!}$ e, em seguida, resolva a equação $\frac{(x+2)!}{x!} = 72$.

Resolva a seguinte equação com fatoriais, sabendo que $n$ é um número natural:

Demonstre algebricamente a seguinte identidade válida para qualquer número natural $n \ge 1$:

Uma vez demonstrada, aplique este resultado para simplificar e calcular o valor exato da expressão $\frac{10! + 9!}{11!}$.

Observe a grelha da figura. Um robô desloca-se do ponto A até ao ponto B movendo-se apenas para a direita ou para cima através das linhas da grelha. Quantos caminhos diferentes pode o robô seguir para chegar ao seu destino?

Num clube de leitura juvenil querem atribuir a cada associado um cartão com um código personalizado. O código é sempre composto por uma vogal maiúscula (escolhida do conjunto $\{A, E, I, O, U\}$) seguida de uma sequência de $k$ dígitos ímpares distintos (escolhidos do conjunto $\{1, 3, 5, 7, 9\}$).

A pessoa responsável pela base de dados repara que, com as condições fixadas, se podem gerar exatamente $300$ códigos diferentes.

1. a) Apresenta uma expressão geral em função de $k$ para o número total de códigos possíveis aplicando o princípio da multiplicação.
2. b) Resolve o problema inverso: determina de forma fundamentada quantos dígitos ímpares ($k$) deve conter cada código para se obterem exatamente esses $300$ códigos.

Numa turma de $20$ alunos deve-se escolher uma comissão diretiva formada por um presidente, um vice-presidente e um secretário (cargos distintos que não podem ser ocupados pela mesma pessoa em simultâneo). Uma vez escolhida a comissão diretiva, deve-se escolher um delegado de desporto entre os $17$ alunos restantes. De quantas formas diferentes se pode realizar todo este processo de seleção?

Um número capicua é aquele que se lê da mesma forma da esquerda para a direita e da direita para a esquerda (por exemplo, o número $35153$).

• Quantos números capicuas de $5$ algarismos existem no total?

• Quantos desses números capicuas de $5$ algarismos são números pares?

No serviço de urgência de um hospital distrital devem cobrir-se os turnos de fim de semana atribuindo um médico ao sábado e outro diferente ao domingo, escolhidos de entre uma equipa de $6$ profissionais disponíveis: Ana, Blas, Clara, David, Elena e Félix. Por motivos de descanso após uma cirurgia prévia, Ana e Blas não podem coincidir no mesmo fim de semana (isto é, não pode acontecer que um faça serviço de urgência ao sábado e o outro ao domingo).

Para calcular o número de turnos válidos possíveis, dois residentes sugerem estratégias diferentes:

• Estratégia A (Contagem direta por casos): Somar as opções em que não participa nenhum dos dois médicos incompatíveis e as opções em que participa exatamente um deles.

• Estratégia B (Contagem pelo complementar): Calcular todas as atribuições possíveis de médicos distintos para sábado e domingo sem restrições e subtrair os casos proibidos em que Ana e Blas coincidem.

1. a) Desenvolve detalhadamente os cálculos passo a passo seguindo a Estratégia A e depois seguindo a Estratégia B, verificando que ambos os caminhos conduzem ao mesmo resultado numérico.
2. b) Compara ambos os procedimentos e justifica qual dos dois se revela mais vantajoso e menos propenso a erros se a equipa fosse composta por $25$ médicos em vez de $6$, mantendo a mesma restrição entre Ana e Blas.

Na gaveta de uma cómoda há meias soltas de $3$ cores distintas (pretas, brancas e azuis). Se houver um apagão e forem retiradas meias no escuro, qual é o número mínimo de meias que se deve retirar para garantir pelo menos um par da mesma cor?

Numa escola há $400$ alunos matriculados.

• Justifique matematicamente porque é possível assegurar que pelo menos dois alunos fazem anos no mesmo dia do ano.

• Quantos alunos seriam necessários, no mínimo, na escola para garantir que pelo menos três deles partilham a mesma data de aniversário? (Considere anos não bissextos de $365$ dias).

Numa escola secundária de Lisboa há $750$ alunos matriculados no total. Para gerir o empréstimo de computadores portáteis, é gerada uma etiqueta de identificação para cada aluno formada por uma letra do alfabeto espanhol ($27$ letras oficiais, incluindo o Ñ) seguida de um algarismo par pertencente ao conjunto $\{0, 2, 4, 6, 8\}$.

1. a) Modela a situação através do princípio da multiplicação para calcular quantas etiquetas de identificação distintas se podem emitir com este formato.
2. b) Utiliza o princípio do pombal para justificar rigorosamente por que razão é seguro que haverá alunos com etiquetas idênticas atribuídas.
3. c) Determina qual é o número mínimo de alunos que, com certeza matemática absoluta, partilharão exatamente a mesma etiqueta na referida escola.

Escolhem-se ao acaso $5$ pontos no interior de um quadrado de lado $2\text{ cm}$. Demonstre, utilizando o princípio das gavetas de Dirichlet, que haverá sempre pelo menos dois pontos cuja distância entre eles seja menor ou igual a $\sqrt{2}\text{ cm}$. (Sugestão: divida o quadrado em regiões convenientes).