Produto escalar

Dados os pontos do plano $A(1, 2)$, $B(4, 3)$ e $C(0, 5)$, calcule o valor do produto escalar $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.

Sabendo que os módulos de dois vetores são $|\vec{a}| = 4$ e $|\vec{b}| = 6$, e que o ângulo que formam é de $60^\circ$, calcule o valor exato do seu produto escalar $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Calcule o módulo do vetor $\vec{w} = 3\vec{u} - 2\vec{v}$ conhecendo as componentes dos vetores $\vec{u} = (1, -1)$ e $\vec{v} = (0, 4)$.

Calcule o ângulo que os vetores $\vec{u} = (1, \sqrt{3})$ e $\vec{v} = (-\sqrt{3}, 1)$ formam.

A Helena tem de calcular o ângulo formado pelos vetores $\vec{u} = (1, -1)$ e $\vec{v} = (0, 3)$. No seu exame, escreve o seguinte procedimento:

«$\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 0 + (-1) \cdot 3 = -3$. Como o produto escalar não pode ser negativo por medir comprimentos geométricos, mudo o sinal para $+3$. Portanto, $\cos\alpha = \frac{3}{\sqrt{2} \cdot 3} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, donde $\alpha = 45^\circ$».

1. a) Aponta o erro concetual cometido pela Helena relativamente ao sinal do produto escalar e explica o seu verdadeiro significado geométrico em relação ao tipo de ângulo.
2. b) Corrige a resolução calculando o valor exato do ângulo $\alpha$ formado por ambos os vetores.

Calcula o valor (ou os valores) do parâmetro $k$ para que o ângulo formado pelos vetores $\vec{u} = (k, 3)$ e $\vec{v} = (1, -2)$ seja exatamente de $135^\circ$.

Dados os vetores $\vec{u} = (3, -2)$ e $\vec{v} = (4, 5)$, calcule o seu produto escalar e determine se são ortogonais.

Encontra o valor do parâmetro $m$ para que os vetores $\vec{p} = (m, -3)$ e $\vec{q} = (6, 2)$ sejam perpendiculares.

Determine as coordenadas de um vetor $\vec{w}$ que seja perpendicular ao vetor $\vec{v} = (-5, 12)$ e que tenha o mesmo módulo.

Verifique, utilizando exclusivamente o produto escalar, se o triângulo de vértices $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ e $C(1, 12)$ é retângulo, acutângulo ou obtusângulo. Identifique em qual vértice se encontra o ângulo reto, caso seja retângulo.

Utilizando as propriedades do produto escalar, desenvolva e calcule o valor da expressão $(\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v})$ sabendo que $|\vec{u}| = 5$ e $|\vec{v}| = 3$.

Sabendo que os módulos de dois vetores são $|\vec{a}| = 3$ e $|\vec{b}| = 5$, e que o seu produto escalar é $\vec{a} \cdot \vec{b} = -2$, calcule o valor exato da expressão $(2\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 3\vec{b})$.

Demonstre, utilizando exclusivamente as propriedades algébricas do produto escalar, que as diagonais de qualquer losango são perpendiculares entre si.

Nota: Pode modelar os lados do losango mediante dois vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ com a mesma origem e o mesmo módulo ($|\vec{u}| = |\vec{v}|$). Exprima as diagonais em função de $\vec{u}$ e $\vec{v}$.

Demonstre analiticamente a "Lei do Paralelogramo" utilizando as propriedades do produto escalar. Ou seja, demonstre que, para quaisquer dois vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$, se verifica a identidade:

$|\vec{u} + \vec{v}|^2 + |\vec{u} - \vec{v}|^2 = 2|\vec{u}|^2 + 2|\vec{v}|^2$

Explique cada passo algébrico baseando-se na definição de módulo ao quadrado como o produto escalar de um vetor por si mesmo.

Determine as coordenadas de um vetor $\vec{v}$ que seja ortogonal ao vetor $\vec{u} = (3, -4)$ e cujo módulo seja exatamente $10$. Tenha em conta que existem duas soluções possíveis; indique ambas.

Encontra o valor de $x$ para que o vetor $\vec{u} = (x, 2)$ forme um ângulo de $30^\circ$ com o semieixo positivo das abcissas. Utiliza o produto escalar com o vetor unitário $\vec{i} = (1, 0)$ para propor a equação.

Determine as coordenadas de um vetor $\vec{w} = (x, y)$ sabendo que o seu produto escalar com o vetor $\vec{u} = (2, -1)$ é igual a $4$, e que o seu produto escalar com o vetor $\vec{v} = (1, 3)$ é igual a $-5$.

Considere os pontos fixos $A(0, 3)$ e $B(5, 2)$. Determine todos os pontos $C$ situados sobre o eixo das abcissas tais que o triângulo $ABC$ seja retângulo com o ângulo reto situado no vértice $C$.

Numa obra de construção, uma grua arrasta um bloco de betão aplicando uma força constante representada pelo vetor $\vec{F} = (450, 600)$ expressa em newtons. O bloco sofre um deslocamento retilíneo dado pelo vetor $\vec{d} = (12, 5)$ em metros. Sabendo que o trabalho mecânico é definido como $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$, calcule o trabalho realizado pela grua e o ângulo que a força aplicada e o deslocamento formam.

No desenvolvimento de um motor físico para um jogo eletrónico, uma personagem desloca-se seguindo a direção e o sentido do vetor $\vec{d} = (8, 4)$. A gravidade neste ambiente virtual é definida pelo vetor $\vec{g} = (0; -9,8)$. Calcule a projeção ortogonal do vetor gravidade sobre a direção do movimento da personagem.