Composição de funções

Dadas as funções $f(x) = 3x + 2$ e $g(x) = x^2 - 1$, calcule o valor numérico da composição $(g \circ f)(2)$.

A Beatriz tem de calcular o valor numérico da composição $(f \circ g)(2)$ para as funções $f(x) = 2x^2 - 1$ e $g(x) = 3x - 5$. No seu exame, escreve o seguinte procedimento:

«Como me pedem $(f \circ g)(2)$, calculo primeiro $f(2) = 2 \cdot 2^2 - 1 = 7$. Depois introduzo este resultado na segunda função: $g(7) = 3 \cdot 7 - 5 = 16$. Portanto, $(f \circ g)(2) = 16$».

1. a) Identifica o erro concetual que a Beatriz cometeu e explica, recorrendo à definição teórica da composição de funções, por que razão o seu raciocínio não está correto.
2. b) Realiza os cálculos na ordem adequada para encontrar o valor correto de $(f \circ g)(2)$.
3. c) Que expressão ou valor calculou a Beatriz na realidade? Justifica a tua resposta.

Observe o seguinte gráfico onde se representam as funções $f(x)$ (em azul) e $g(x)$ (em verde). A partir da informação visual e sem necessidade de obter as suas expressões algébricas, determine os valores numéricos de $(f \circ g)(2)$ e $(g \circ f)(-1)$.

Encontra a expressão algébrica da função composta $(f \circ g)(x)$ sabendo que $f(x) = 5x - 4$ e $g(x) = x^2 + 3x$.

Considere as funções $f(x) = x - 2$, $g(x) = 3x$ e $h(x) = x^2$. Calcule o valor numérico da composição sucessiva $(h \circ g \circ f)(4)$.

Ao lançar uma pedra num lago, forma-se uma onda circular cujo raio aumenta com o tempo segundo a função $r(t) = 2,5t$ (com $r$ em centímetros e $t$ em segundos). Sabendo que a área do círculo é dada por $A(r) = \pi r^2$, determine a função $(A \circ r)(t)$ que descreve a área em função do tempo e calcule a área da superfície afetada aos $4$ segundos.

O custo diário de produção de $x$ peças numa fábrica é dado pela função $C(x) = 15x + 500$ euros. O número de peças que uma máquina monta em $t$ horas de funcionamento contínuo é $x(t) = 40t$. Exprime o custo de produção em função do tempo de funcionamento da máquina e calcula o custo total após um dia de trabalho de $8$ horas.

Utilizando as funções $f(x) = 5x - 4$ e $g(x) = x^2 + 3x$, determine a expressão de $(g \circ f)(x)$ e verifique analiticamente que a composição de funções não é comutativa.

Dadas as funções racionais $f(x) = \frac{2}{x}$ e $g(x) = x + 3$, determine a expressão simplificada de $(f \circ g)(x)$ e a de $(g \circ f)(x)$.

Uma loja de eletrónicos aplica um desconto de $15\%$ a todos os seus produtos, o que é modelado pela função $d(x) = 0,85x$. Além disso, um cliente tem um cupão de fidelidade de $20$ euros de desconto direto, modelado pela função $c(x) = x - 20$. Determine as expressões de $(c \circ d)(x)$ e $(d \circ c)(x)$. Qual a ordem de composição que mais beneficia o cliente se ele quiser comprar um computador cujo preço inicial é de $600$ euros?

Dadas as funções $f(x) = 2x + k$ e $g(x) = 4x - 3$, determine o valor do parâmetro $k$ para que se cumpra a propriedade comutativa neste caso particular, ou seja, que $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$ para qualquer valor de $x$.

Dada a função composta $h(x) = \sqrt{2x + 5}$, exprima-a como a composição de duas funções mais simples $(g \circ f)(x)$, indicando claramente qual é a expressão de $f(x)$ e qual é a de $g(x)$.

Sabendo que $f(x) = 3x + 2$ e que a função composta é $(g \circ f)(x) = 9x^2 + 12x + 5$, determine a expressão algébrica da função exterior $g(x)$.

Conhecemos a função polinomial de primeiro grau $f(x) = 2x - 3$, mas desconhecemos a expressão de uma segunda função $g(x)$. Não obstante, sabe-se que, ao compô-las, se obtém como resultado a função quadrática:

1. a) Encontra, fundamentadamente, a expressão algébrica de $g(x)$. Para isso, realiza a mudança de variável $u = 2x - 3$, isola $x$ em função de $u$ e substitui-o na expressão composta $(g \circ f)(x)$.
2. b) Verifica que a tua dedução está correta, calculando novamente $g(f(x))$ a partir da fórmula que encontraste para $g(x)$.
3. c) Argumenta se a função $g(x)$ encontrada é única ou se poderiam existir outras funções distintas que produzam exatamente a mesma composição com $f(x)$.

Decomponha a função composta $H(x) = \frac{1}{\sqrt{3^{\sin x} + 2}}$ como a composição sucessiva de quatro funções elementares $f_1, f_2, f_3, f_4$ de modo que $H(x) = (f_4 \circ f_3 \circ f_2 \circ f_1)(x)$. Indique claramente a expressão algébrica de cada uma das quatro funções.

A procura elétrica de uma cidade, em megawatts, depende da temperatura ambiente segundo a função $D(T) = 50T^2 - 100T + 200$. Por sua vez, a temperatura varia com o tempo, em horas, segundo $T(t) = 1,5t + 10$. Calcule a procura elétrica exata que haverá decorridas $6$ horas.

Numa estância de esqui da Serra da Estrela, a altitude $h$ (medida em centenas de metros acima do nível do mar) atingida por um teleférico depende do tempo $t$ (em minutos decorridos desde a estação base) de acordo com a função:

Por outro lado, segundo os registos meteorológicos do IPMA para esse dia, a temperatura exterior $T$ (em graus Celsius) diminui de forma linear com a altitude seguindo a função:

1. a) Determina qual das duas composições, $(T \circ h)(t)$ ou $(h \circ T)(t)$, modela a temperatura sentida por um esquiador ao longo do trajeto. Justifica a tua escolha explicando o papel das entradas e saídas de cada função.
2. b) Obtém a expressão algébrica simplificada da função composta escolhida e indica qual é o seu domínio no contexto real do problema.
3. c) Interpreta o significado físico do coeficiente que multiplica $t$ (o declive) e calcula a que temperatura exata se encontrará o esquiador ao chegar ao cume ($t = 10$ minutos).

Um balão aerostático esférico é inflado por meio de um compressor que injeta ar a um ritmo constante, de modo que o seu volume em metros cúbicos é dado por $V(t) = 12t$ (com $t$ em minutos). Sabendo que o volume de uma esfera é $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ e a sua superfície é $S = 4\pi r^2$, determine a função composta $S(t)$ que fornece a superfície do balão diretamente em função do tempo decorrido.

Um feixe de luz atravessa uma série de filtros óticos. Um filtro do tipo A reduz a intensidade luminosa em $20\%$, modelado por $f_A(I) = 0,8I$. Um filtro do tipo B reduz a intensidade numa quantidade fixa de $15 \text{ W/m}^2$, modelado por $f_B(I) = I - 15$. Se a intensidade inicial é $I_0$, determina a expressão da intensidade final após atravessar $3$ filtros do tipo A seguidos de $2$ filtros do tipo B. O resultado é equivalente a atravessar primeiro os $2$ do tipo B e depois os $3$ do tipo A?

Determine rigorosamente o domínio da função composta $(g \circ f)(x)$ sabendo que $f(x) = x - 4$ e $g(x) = \sqrt{x}$.

Considera as funções $f(x) = \sqrt{x + 3}$ e $g(x) = \frac{1}{x^2 - 4}$. Realiza um estudo analítico rigoroso para determinar o domínio de definição da função composta $(f \circ g)(x)$.

Dadas as funções $f(x) = x^2 - 4$ e $g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$, define-se a função composta $h(x) = (g \circ f)(x)$.

1. a) Estima: Antes de realizares qualquer cálculo algébrico formal, reflete sobre a cadeia de processos: que tipo de valores reais a função $g$ admite como entrada para não gerar indeterminações nos números reais? Tendo isto em conta, deduz qualitativamente que sinal deve ter a saída de $f(x)$ e estima que intervalos da reta real formarão o domínio de $h(x)$. Em particular, justifica sem efetuar operações se os valores $x = 0$ e $x = 2$ podem fazer parte desse domínio.
2. b) Calcula: Escreve a fórmula analítica de $h(x)$ e determina rigorosamente o seu domínio aplicando as duas condições teóricas: $x \in \operatorname{Dom}(f)$ e $f(x) \in \operatorname{Dom}(g)$. Expressa o resultado através de intervalos.
3. c) Verifica: Contrasta o domínio obtido analiticamente com as tuas estimativas da alínea a). Explica detalhadamente por que razão, embora $x = 0$ pertença ao domínio de $f$, fica finalmente excluído da composição.

Consideram-se a função racional $f(x) = \frac{1}{x - 3}$ e uma função desconhecida $g(x)$. Sabe-se que a composição entre ambas produz o resultado:

1. a) Determina de forma fundamentada a expressão algébrica da função $g(x)$.
2. b) Calcula o domínio de definição da função composta $(f \circ g)(x)$ aplicando estritamente a definição formal de cadeia de funções: $x \in \operatorname{Dom}(g)$ e $g(x) \in \operatorname{Dom}(f)$.
3. c) Um estudante observa a expressão final $\frac{x + 1}{2 - 3x}$ e afirma: «O domínio de $(f \circ g)$ são todos os números reais exceto $x = \frac{2}{3}$, já que para $x = -1$ a fórmula dá $\frac{-1+1}{2-3(-1)} = \frac{0}{5} = 0$, que é um valor real perfeitamente válido». Pensa na composição como duas máquinas encadeadas: a primeira é $g$, que recebe o número $x$ e entrega $g(x)$; essa saída entra diretamente na segunda máquina, $f$, que entrega $f(g(x))$. Cada máquina só funciona com as entradas do seu próprio domínio, e se a primeira não entrega nenhum resultado, a segunda não recebe nada. Utilizando esta ideia das duas máquinas encadeadas, refuta o argumento do estudante e explica o que acontece exatamente no processo de cálculo quando se tenta avaliar a composição em $x = -1$.

Dadas a função constante $f(x) = 7$ e a função quadrática $g(x) = 2x^2 - x$, determine as expressões algébricas de $(f \circ g)(x)$ e $(g \circ f)(x)$.

Verifique analiticamente que, ao compor a função $f(x) = \frac{3x + 1}{x - 2}$ com a função identidade $I(x) = x$, se obtém a mesma função original. Calcule e simplifique tanto $(f \circ I)(x)$ como $(I \circ f)(x)$.

Dadas as funções $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$ e $g(x) = x^2 - 4$, precisas de calcular o valor exato de $(g \circ f)(5)$. Para resolvê-lo, propõem-se dois caminhos distintos:

• Método 1: Obter primeiro a fórmula geral simplificada de $(g \circ f)(x)$ substituindo a expressão de $f(x)$ em cada variável de $g(x)$, reduzir ao mesmo denominador e, no final, substituir $x = 5$.

• Método 2: Calcular diretamente a imagem da primeira função no ponto indicado, $f(5)$, e aplicar depois a função $g$ sobre o número obtido.

1. a) Aplica ambos os métodos separadamente e verifica que se chega ao mesmo resultado numérico.
2. b) Compara o número de operações e o risco de erro algébrico que cada alternativa implica. Justifica qual dos dois métodos é mais conveniente quando só interessa avaliar a função num número concreto e em que caso prático seria obrigatório utilizar o Método 1.

Seja a função racional $f(x) = \frac{x}{x - 1}$. Calcule as composições sucessivas $(f \circ f)(x)$ e $(f \circ f \circ f)(x)$. A partir dos resultados obtidos, deduza de forma fundamentada qual será a expressão de $f^{[n]}(x)$ (a composição de $f$ consigo mesma $n$ vezes) dependendo de $n$ ser um número par ou ímpar.

Demonstre algebricamente que, se $f(x) = \frac{ax + b}{cx - a}$ (com a condição $a^2 + bc \neq 0$), a função é a sua própria inversa, verificando que $(f \circ f)(x) = x$ para todo o $x$ pertencente ao seu domínio.

Dadas as funções $f(x)$ e $g(x)$, onde $f(x) = 2x$ se $x < 1$ e $f(x) = x^2$ se $x \geq 1$, e a função $g(x) = x + 3$. Determine a expressão analítica completa da função composta $(f \circ g)(x)$, prestando especial atenção aos intervalos de definição.

Observe o gráfico da função $f(x)$. A partir dele, obtenha a expressão analítica de $f(x)$ definida por partes e calcule a expressão algébrica detalhada de $(f \circ f)(x)$.