Razões trigonométricas do ângulo duplo

Simplifique a seguinte expressão trigonométrica a um único valor numérico exato:

$4\sin(15^\circ)\cos(15^\circ)$

Sabendo que $\cos(x) = 0,6$, determine o valor de $\cos(2x)$ utilizando exclusivamente a identidade que relaciona o cosseno do ângulo duplo com o cosseno do ângulo simples.

O Marcos tem de calcular o valor de $\sin(2\alpha)$ sabendo que $\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ e que $\sin\alpha = \frac{3}{5}$. No seu exame escreve a seguinte resolução:

«Como se trata do ângulo duplo, o valor do seno simplesmente duplica: $\sin(2\alpha) = 2 \cdot \sin\alpha = 2 \cdot \frac{3}{5} = \frac{6}{5} = 1,2$. No entanto, como o seno de qualquer ângulo real nunca pode ser maior do que $1$, este exercício não tem solução e o ângulo proposto é impossível».

1. a) Identifica os dois erros cometidos pelo Marcos (um conceptual sobre a suposta linearidade das razões trigonométricas e outro na sua conclusão final).
2. b) Corrige o exercício calculando o valor exato de $\sin(2\alpha)$ através da identidade do ângulo duplo e determina fundamentadamente em que quadrante se situa $2\alpha$ obtendo o sinal de $\cos(2\alpha)$.

Sabendo que $\sin(\alpha) = \frac{4}{5}$ e que $\alpha$ é um ângulo do primeiro quadrante, calcule o valor exato de $\sin(2\alpha)$.

Dado que $\cos(\alpha) = -\frac{1}{3}$ e que $\alpha$ pertence ao segundo quadrante, determine o valor exato de $\cos(2\alpha)$.

Se $\tan(\alpha) = \frac{3}{2}$, calcule o valor de $\tan(2\alpha)$ exprimindo o resultado como uma fração irredutível.

Considera-se um ângulo agudo $\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ do qual se sabe que $\cos\alpha = 0,8$.

1. a) Antes de realizares qualquer cálculo algébrico, estima fundamentadamente o sinal que terá $\cos(2\alpha)$. Para isso, compara $\cos\alpha = 0,8$ com o valor de referência $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707$, deduz se $\alpha$ é maior ou menor do que $45^\circ$ e justifica em que quadrante deve cair o ângulo duplo $2\alpha$.
2. b) Seleciona a variante da fórmula de $\cos(2\alpha)$ que depende unicamente do cosseno para calcular o seu valor numérico exato sob a forma decimal. Verifica se o sinal obtido coincide com a tua estimativa prévia.

Um raio de luz incide sobre um sistema de espelhos de modo que o seu ângulo de desvio final é $2\theta$. Se as medições do laboratório indicam que $\cos(2\theta) = 0,28$ e sabemos que o ângulo de incidência $\theta$ é agudo, determine o valor exato de $\sin(\theta)$ e $\cos(\theta)$.

No losango $ABCD$ da figura, as diagonais medem $AC = 16 \text{ cm}$ e $BD = 12 \text{ cm}$. Seja $\alpha$ a metade do ângulo interno no vértice $A$. Calcule o valor exato de $\sin(2\alpha)$ e $\cos(2\alpha)$ para determinar o seno e o cosseno do ângulo completo $\widehat{A}$.

Calcule o valor exato da seguinte expressão sem utilizar a calculadora:

$\cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right)$

Escreva a seguinte expressão em função de uma única razão trigonométrica do ângulo $x$, simplificando ao máximo:

$\frac{\sin(2x)}{2\sin(x)}$

Determine o valor exato da seguinte operação utilizando as fórmulas do ângulo duplo:

$\frac{2\tan(22,5^\circ)}{1 - \tan^2(22,5^\circ)}$

Um mecanismo de tesoura para um elevador hidráulico tem um pivô central que forma um ângulo de abertura $2\alpha$. A força de corte no cavilhão central é dada por uma expressão proporcional a $F(\alpha) = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)}$. Demonstre que esta expressão pode ser simplificada para uma única razão trigonométrica do ângulo $\alpha$.

Demonstre a seguinte identidade trigonométrica, transformando o primeiro membro até obter o segundo:

$\frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)} = \tan(x)$

Demonstre a seguinte identidade trigonométrica, válida para qualquer ângulo $x$ onde as expressões estejam definidas:

$\frac{1 + \sin(2x) - \cos(2x)}{1 + \sin(2x) + \cos(2x)} = \tan(x)$

Demonstre primeiro a identidade $\cos^4(x) - \sin^4(x) = \cos(2x)$. Em seguida, utilize este resultado para resolver a equação $\cos^4(x) - \sin^4(x) = \frac{1}{2}$ no intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$.

Resolva a seguinte equação trigonométrica, encontrando todas as soluções no intervalo $[0, 2\pi)$:

$\sin(2x) + \sqrt{3}\cos(x) = 0$

Resolva a seguinte equação trigonométrica e indique as soluções em graus no intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$:

$\cos(2x) - 3\sin(x) = 2$

Para resolver no intervalo $[0, 2\pi)$ a equação trigonométrica $\sin(2x) - \sqrt{3}\cos(x) = 0$, dois colegas de turma propõem estratégias distintas:

• A Beatriz propõe: «Divido ambos os membros por $\cos(x)$ para obter $\frac{\sin(2x)}{\cos(x)} - \sqrt{3} = 0$, substituo $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$, simplifico o fator $\cos(x)$ e isolo diretamente $\sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$».

• O Bruno propõe: «Substituo primeiro $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$ na equação, coloco em evidência o fator comum $\cos(x)$ sem dividir por nenhuma incógnita e igualo cada fator a zero».

1. a) Analisa criticamente o método da Beatriz: explica que infração algébrica comete ao dividir por $\cos(x)$ e que soluções concretas do intervalo $[0, 2\pi)$ se perdem se for aplicado o seu procedimento.
2. b) Desenvolve de forma completa e rigorosa o método do Bruno e escreve todas as soluções exatas da equação no intervalo $[0, 2\pi)$ expressas em radianos.

Um braço robótico plano é composto por dois elos, ambos de comprimento $L$. O primeiro elo forma um ângulo $\alpha$ com o eixo horizontal positivo. O segundo elo forma um ângulo $2\alpha$ em relação à horizontal. A coordenada $x$ do atuador final $P$ é dada pela expressão $x_P = L\cos(\alpha) + L\cos(2\alpha)$. Determine o valor exato do ângulo $\alpha \in [0, \pi/2]$ para o qual o atuador final se situa exatamente sobre o eixo Y ($x_P = 0$).

Resolva a seguinte equação trigonométrica, determinando todas as soluções no intervalo $[0, 2\pi)$:

$\tan(2x) \cdot \tan(x) = 1$

Encontra os valores do parâmetro $k \in \mathbb{R}$ para os quais a equação $\cos(2x) - 4\sin(x) + k = 0$ tem exatamente uma solução no intervalo $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$.

Resolva o seguinte sistema de equações trigonométricas para $x, y \in [0, \pi/2]$:

$\begin{cases} \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y) = 1 \\ \cos(2x) - \cos(2y) = 0 \end{cases}$

Na construção de um pavilhão industrial, foram projetadas duas coberturas contíguas. A primeira cobertura tem uma inclinação $\alpha$ em relação à horizontal tal que $\tan(\alpha) = 0,4$. Por motivos de drenagem de água, a segunda cobertura foi projetada com um ângulo de inclinação que é exatamente o dobro do da primeira, ou seja, $2\alpha$. Calcule o declive exato (tangente) da segunda cobertura.

Em física, o alcance máximo $R$ de um projétil lançado sobre um terreno horizontal é modelado pela fórmula $R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$, onde $v_0$ é a velocidade inicial, $\theta$ é o ângulo de lançamento e $g \approx 10 \text{ m/s}^2$ é a aceleração da gravidade. Se um canhão de testes dispara um projétil com uma velocidade inicial de $30 \text{ m/s}$ e se pretende atingir um alvo situado a $45 \text{ m}$ de distância, determina os possíveis ângulos de lançamento $\theta$ em graus.

No Centro de Alto Rendimento (CAR) do Jamor (Oeiras), uma equipa de biomecânica analisa o alcance horizontal dos remates à baliza em futebol. De acordo com o modelo físico simplificado sobre terreno plano, o alcance horizontal é dado pela expressão $d(\alpha) = \frac{v_0^2}{g}\sin(2\alpha)$, onde $v_0$ é a velocidade inicial do remate, $g \approx 9,8\text{ m/s}^2$ e $\alpha$ é o ângulo de elevação em relação à horizontal ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$).

Num primeiro ensaio com velocidade $v_0$ fixa, um futebolista remata a bola com um ângulo $\alpha_1$ tal que $\tan(\alpha_1) = \frac{3}{4}$.

1. a) Calcula o valor exato de $\sin(2\alpha_1)$ para determinar o coeficiente de alcance deste primeiro remate.
2. b) Se num segundo remate com idêntica velocidade inicial o jogador duplicar o ângulo de elevação para $\alpha_2 = 2\alpha_1$, calcula o valor exato de $\sin(2\alpha_2) = \sin(4\alpha_1)$ aplicando sucessivamente as fórmulas do ângulo duplo.
3. c) Compara ambos os alcances ($d(\alpha_1)$ face a $d(\alpha_2)$) e justifica fisicamente por que razão duplicar a inclinação inicial do remate não duplica a distância alcançada, produzindo antes o efeito contrário.

Numa circunferência de centro $O$ e raio $R$, o ângulo ao centro $\widehat{AOB}$ mede $2\alpha$ e subtende a corda $AB$. Um ponto $P$ situado no ponto médio do arco maior subtende um ângulo inscrito $\widehat{APB}$ que mede $\alpha$. Sabendo que $\cos(\alpha) = \frac{4}{5}$, calcula a razão (o quociente) entre a área do triângulo central $\triangle OAB$ e a área do triângulo inscrito $\triangle PAB$.

A função receita de uma empresa pela venda de um produto sazonal é dada pela expressão $I(x) = 5\sin(x)\cos(x) - 2\sin^2(x) + 1$, onde $x$ é o tempo em meses decorrido ($x \ge 0$). Expresse $I(x)$ em função de $\sin(2x)$ e $\cos(2x)$ e determine a receita máxima que a empresa pode alcançar.

Pretende-se conceber e reconstruir equações trigonométricas a partir das suas condições geométricas e das suas soluções.

1. a) Sabe-se que um determinado ângulo $\alpha$ pertencente ao segundo quadrante $\left(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\right)$ satisfaz $\cos(2\alpha) = -\frac{7}{25}$. Deduz de forma unívoca os valores exatos de $\cos\alpha$, $\sin\alpha$ e $\tan\alpha$, justificando a escolha do sinal em cada passo a partir do quadrante de proveniência.
2. b) Constrói uma equação trigonométrica da forma $\cos(2x) + b\cos(x) + c = 0$ (com $b, c \in \mathbb{R}$) cujas únicas soluções no intervalo fechado $[0, \pi]$ sejam exatamente $x = \frac{\pi}{3}$ e $x = \pi$. Mostra passo a passo como determinas os coeficientes $b$ e $c$ formulando previamente uma equação quadrática na variável auxiliar $u = \cos(x)$, e verifica que no referido intervalo não se introduz nenhuma solução espúria.

Considera-se a função $f(x) = \sin(2x) - 2\sin(x)$ definida no intervalo $[0, 2\pi]$.

1. a) Aplica a fórmula do ângulo duplo para expressar $f(x)$ como um produto da forma $2\sin(x)(\cos(x) - 1)$ e determina de modo exato todos os pontos do intervalo $[0, 2\pi]$ onde o gráfico interseta o eixo horizontal ($f(x) = 0$).
2. b) Realiza um estudo analítico do sinal de cada um dos fatores nos diferentes quadrantes e demonstra, sem recorrer a derivadas nem a gráficos por computador, que $f(x) \le 0$ para todo o $x \in [0, \pi]$ e que $f(x) \ge 0$ para todo o $x \in [\pi, 2\pi]$. Pode $f(x)$ assumir valores estritamente positivos no primeiro quadrante? Justifica a tua resposta.
3. c) Um aluno afirma: «Dado que o valor mínimo de $\sin(2x)$ é $-1$ e o valor mínimo de $-2\sin(x)$ é $-2$, o valor mínimo absoluto que $f(x)$ pode atingir é $-1 + (-2) = -3$». Refuta este raciocínio explicando por que razão não se podem otimizar ambos os termos de forma independente e verifica que para $x = \frac{2\pi}{3}$ a função atinge um valor inferior a $-2,5$ através do cálculo do seu valor exato.