Exercícios: Teorema dos senos

Num triângulo $ABC$, são conhecidos os ângulos $A = 45^\circ$ e $B = 60^\circ$, e o comprimento do lado $a = 12$ cm. Calcule o comprimento do lado $b$ utilizando o teorema dos senos.

Dado um triângulo $ABC$ do qual são conhecidos os lados $a = 15$ cm, $b = 10$ cm e o ângulo obtuso $A = 120^\circ$. Determine o valor do ângulo $B$.

Num triângulo qualquer, o lado $c$ mede $24$ cm e o ângulo oposto $C$ mede $30^\circ$. Calcule o raio $R$ da circunferência circunscrita a esse triângulo.

No triângulo $ABC$, sabe-se que o comprimento do lado $a$ é o dobro do do lado $b$ ($a = 2b$). Se $\sin A = 0,8$, determina o valor exato de $\sin B$.

Um triângulo $PQR$ tem os ângulos $P = 50^\circ$ e $Q = 75^\circ$. Se o lado $r = 20$ m, calcule o comprimento do lado $p$.

Determine se é possível construir um triângulo $ABC$ com os seguintes dados: $a = 8$ cm, $b = 14$ cm e $A = 45^\circ$. Justifique a sua resposta matematicamente utilizando o teorema dos senos.

Num triângulo isósceles, o ângulo desigual mede $40^\circ$ e os lados iguais medem $15$ cm. Calcule o comprimento do lado desigual aplicando diretamente o teorema dos senos.

Os lados de um triângulo são proporcionais aos senos dos seus ângulos opostos. Se a relação entre dois lados é $\frac{a}{b} = \sqrt{2}$ e o ângulo $B = 30^\circ$, determine a medida do ângulo $A$, sabendo de antemão que é um ângulo agudo.

Num teste de Trigonometria, o Marcos deve resolver um triângulo do qual se conhecem $a = 14\text{ cm}$, $b = 9\text{ cm}$ e $A = 35^\circ$. Para determinar o ângulo $B$, o Marcos escreve:

E conclui: «Como a função seno é positiva tanto no primeiro quadrante como no segundo, existem duas soluções possíveis: $B_1 = \arcsin(0,3687) \approx 21,63^\circ$ e $B_2 = 180^\circ - 21,63^\circ = 158,37^\circ$. Portanto, há dois triângulos distintos que cumprem os dados». Localiza o erro conceptual que o Marcos comete, explica através de dois argumentos geométricos distintos por que razão a solução $B_2$ é impossível neste triângulo e calcula a medida correta dos restantes ângulos $B$ e $C$.

Num triângulo $ABC$ conhecem-se os ângulos $A = 70^\circ$ e $B = 30^\circ$, bem como o comprimento do lado $a = 20\text{ m}$.

1. a) Antes de realizar qualquer cálculo numérico, estima fundamentadamente se o lado $b$ medirá mais ou menos de metade do lado $a$. Baseia a tua estimativa comparando o valor exato de $\sin 30^\circ$ com o comportamento da função seno quando o ângulo se aproxima de $90^\circ$.
2. b) Aplica a lei dos senos para calcular o comprimento exato de $b$, arredondando o resultado às centésimas.
3. c) Verifica se o valor obtido confirma a tua estimativa inicial e reflete: por que razão, num triângulo, os lados não são proporcionais aos ângulos, mas sim aos seus senos?

No triângulo $ABC$, são conhecidos os lados $a = 10$ cm, $b = 14$ cm e o ângulo $A = 30^\circ$. Calcule os dois possíveis valores para o ângulo $B$ e os comprimentos correspondentes do lado $c$ para cada caso.

Duas estações de guarda-costas, $A$ e $B$, estão separadas por uma distância de $50$ km ao longo de uma costa retilínea. Um barco $S$ emite um sinal de socorro. A estação $A$ deteta o sinal formando um ângulo de $40^\circ$ com a linha da costa, enquanto a estação $B$ deteta-o com um ângulo de $65^\circ$. Calcule a distância em linha reta de cada estação até ao barco.

Uma torre antiga inclinou-se e agora forma um ângulo de $85^\circ$ com o solo horizontal. Um topógrafo situa-se a $40$ m da base da torre, exatamente na direção para a qual esta se inclina. A partir desse ponto, mede o ângulo de elevação até ao topo da torre, obtendo $50^\circ$. Calcule o comprimento total da torre desde a sua base até ao topo.

Calcule o perímetro de um heptágono regular (polígono de 7 lados) que está inscrito numa circunferência de raio $R = 10$ cm. Utilize o teorema dos senos nos triângulos isósceles que se formam a partir do centro do polígono.

Um terreno com forma triangular tem dois ângulos que medem $60^\circ$ e $75^\circ$. O lado compreendido entre esses dois ângulos está delimitado por um muro reto que mede $120$ m. Calcule a área total do terreno.

Num triângulo $ABC$, verifica-se a proporção $\frac{a}{\sin A} = 24$. Se a soma dos ângulos $A + B = 120^\circ$ e o lado $a = 12\sqrt{3}$ cm, determine o comprimento exato do lado $c$.

Um teleférico sobe em linha reta de uma estação base $A$ até ao topo $C$ de uma montanha. A partir de um ponto $D$, situado $200$ m atrás de $A$ no mesmo plano horizontal, o ângulo de elevação para $C$ é de $22^\circ$. A partir da estação $A$, o ângulo de elevação para o topo é de $35^\circ$. Calcule o comprimento do cabo $AC$ do teleférico resolvendo o triângulo $ADC$.

Dois observadores $A$ e $B$ estão separados por $1200$ km na superfície terrestre (distância que consideraremos retilínea para este cálculo local). Ambos observam um satélite $S$ que transita no mesmo plano vertical que os une, de modo que a sua projeção no solo fica entre $A$ e $B$. O ângulo de elevação medido a partir de $A$ é de $82^\circ$ e o medido a partir de $B$ é de $85^\circ$. Calcule a distância exata do observador $A$ até ao satélite.

O serviço de vigilância de incêndios florestais do Alentejo dispõe de dois postos de observação, o Posto $A$ e o Posto $B$, situados numa planície e separados por uma distância em linha reta de $6\text{ km}$. Ambos os postos avistam uma mesma coluna de fumo num ponto $C$.

A partir do Posto $A$, a linha de visão para o incêndio forma um ângulo de $42^\circ$ com o segmento retilíneo $AB$. A partir do Posto $B$, a linha de visão para o fogo forma um ângulo de $68^\circ$ com esse mesmo segmento $AB$.

1. a) Modela a situação através de um triângulo e calcula, aplicando a lei dos senos, a que distância se encontra o foco do incêndio em relação a cada um dos postos de vigilância (arredonda os resultados às centésimas).
2. b) Se for enviado um helicóptero com base contígua ao Posto $B$ que voa em linha reta em direção ao fogo a uma velocidade média de $150\text{ km/h}$, calcula quantos minutos demorará a chegar ao local do incêndio.

Para construir uma peça triangular $ABC$, um operário fixa o lado $b = 10\text{ cm}$ e o ângulo $A = 30^\circ$, mas pode variar a seu gosto o comprimento do lado oposto $a$.

1. a) A partir da lei dos senos, escreve a expressão que permite calcular $\sin B$ em função do comprimento $a$.
2. b) Determina fundamentadamente para que valores exatos ou intervalos do comprimento $a$ ocorre cada um dos seguintes casos:

i) Não é possível construir nenhum triângulo com essas medidas.

ii) É possível construir exatamente um triângulo e este é retângulo.

iii) É possível construir dois triângulos distintos não congruentes.

iv) É possível construir um único triângulo e este não é retângulo.

1. c) Interpreta geometricamente o que representa o valor crítico de $a$ encontrado no caso ii) em relação à altura traçada a partir do vértice $C$.

Demonstre, partindo do teorema dos senos, que em qualquer triângulo $ABC$ se verifica a seguinte identidade trigonométrica que relaciona os seus lados e ângulos:

$a \sin(B - C) + b \sin(C - A) + c \sin(A - B) = 0$

Num triângulo $ABC$, a bissetriz interna do ângulo $A$ interseta o lado oposto $BC$ no ponto $D$. Aplique o teorema dos senos nos triângulos $ABD$ e $ACD$ para demonstrar formalmente o teorema da bissetriz, ou seja, que se verifica a proporção:

$\frac{BD}{DC} = \frac{c}{b}$

Demonstre que o raio $R$ da circunferência circunscrita a um triângulo $ABC$ está diretamente relacionado com a área do triângulo $S$ através da fórmula:

$R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4S}$

(Sugestão: Exprima a área do triângulo usando o seno de um dos seus ângulos e combine-a com o teorema dos senos).

Na construção de um triângulo $ABC$, fixam-se o lado $a = 10$ cm e o ângulo $A = 45^\circ$. O lado $b$ tem um comprimento variável $x$ cm. Determine, de forma fundamentada, o intervalo estrito de valores reais de $x$ para os quais existem exatamente dois triângulos distintos que cumprem estas condições simultaneamente.

A encosta de uma montanha apresenta uma inclinação constante de $15^\circ$ em relação ao plano horizontal. Dois pontos $A$ e $B$ encontram-se sobre a encosta, estando $B$ situado $50$ m mais acima do que $A$ ao longo da inclinação. No ponto $B$ foi instalado um poste vertical de telecomunicações. A partir do ponto $A$, o ângulo de elevação até à extremidade superior do poste é de $42^\circ$ medido a partir da horizontal. Calcule a altura exata do poste.

Num triângulo $ABC$, o ângulo $A$ é exatamente o dobro do ângulo $B$ ($A = 2B$). Demonstre, utilizando o teorema dos senos e as fórmulas trigonométricas do ângulo duplo, que os comprimentos dos lados cumprem a relação $a = 2b \cos B$.

Num triângulo $ABC$, os comprimentos dos lados $a$, $b$ e $c$ estão em progressão aritmética, verificando-se a relação $2b = a + c$. Demonstre que os senos dos ângulos opostos mantêm uma relação análoga: $\sin A + \sin C = 2 \sin B$.

Um avião voa em linha reta a uma altitude constante. Um observador estático no solo avista-o inicialmente com um ângulo de elevação de $30^\circ$. Exatamente $10$ segundos depois, o avião, que voa diretamente em direção à vertical do observador, é avistado com um ângulo de elevação de $45^\circ$. Se a velocidade constante do avião é de $600$ km/h, calcule a altitude a que voa resolvendo o triângulo formado pelo observador e pelas duas posições do avião através da lei dos senos.

Pretende-se calcular o perímetro de um canteiro triangular $ABC$ inscrito numa rotunda circular de raio $R = 8\text{ m}$. Conhecem-se os ângulos internos $A = 45^\circ$ e $B = 60^\circ$.

Para resolver o problema propõem-se duas estratégias:

• Estratégia 1: Traçar a altura a partir do vértice $C$ para dividir o triângulo em dois triângulos retângulos, calcular as alturas e projeções recorrendo à trigonometria elementar de ângulos notáveis e isolar os lados mediante sistemas de equações.

• Estratégia 2: Calcular o terceiro ângulo $C$ e aplicar a relação estendida da lei dos senos ($\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$).

1. a) Compara fundamentadamente ambos os métodos avaliando a sua eficiência operacional (número de passos de cálculo) e o risco de propagação de erros de arredondamento. Justifica qual dos dois é preferível.
2. b) Aplica a estratégia mais vantajosa para determinar o valor exato do perímetro em função de radicais (utiliza que $\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$) e obtém o seu valor numérico aproximado, em metros, com duas casas decimais.

Uma empresa de telecomunicações instala uma estrutura triangular rígida $ABC$ cujos três vértices devem apoiar-se sobre uma guia circular de raio $R = 10\text{ m}$. Por condicionantes técnicas das barras disponíveis, estabelece-se que o lado $a$ deve medir $14\text{ m}$ e o lado $b$ deve medir $18\text{ m}$.

1. a) Recorre à relação estendida da lei dos senos para obter todos os possíveis valores angulares para os vértices $A$ e $B$ (arredondados às centésimas de grau).
2. b) Analisa de forma exaustiva as quatro combinações possíveis de pares de ângulos $(A, B)$ e determina quantos triângulos geometricamente viáveis e não congruentes podem ser construídos. Para cada triângulo válido, calcula a medida do ângulo $C$ e o comprimento do lado restante $c$.
3. c) A regulamentação técnica exige que a estrutura seja estritamente acutângula para distribuir homogeneamente as tensões do vento. Justifica se algum dos triângulos viáveis cumpre este requisito e, em caso afirmativo, calcula a área da superfície delimitada por essa estrutura utilizando a fórmula da área que relaciona dois lados e o seno do ângulo compreendido.