Função inversa

A função quadrática $f(x) = x^2 - 6x + 8$ não tem função inversa em todo o $\mathbb{R}$ porque não é injetiva. Restrinja o seu domínio ao intervalo $[3, +\infty)$ e calcule a expressão analítica da sua função inversa nesse intervalo.

O consumo de combustível de um automóvel que circula por uma autoestrada portuguesa a velocidade constante é modelado pela função $C(v) = 4,2 + 0,0003 \cdot (v - 80)^2$, onde $v$ é a velocidade do veículo em $\text{km/h}$, restrita ao intervalo regulamentar $[80, 120]$, e $C(v)$ é o consumo em litros a cada $100\text{ km}$ ($\text{L}/100\text{ km}$).

1. a) Justifica matematicamente, analisando a monotonia de $C(v)$ no intervalo $[80, 120]$, por que razão a função é injetiva nesse domínio e por que razão isto garante a existência da sua função inversa.
2. b) Obtém a expressão analítica da função inversa $v(C)$ e indica fundamentadamente o seu domínio de definição e a sua interpretação no contexto da condução.
3. c) Se o computador de bordo indicar que o consumo médio num troço plano foi de $4,68\text{ L}/100\text{ km}$, utiliza a função $v(C)$ para determinar a velocidade exata a que o veículo circulava.

Sabendo que $f(x) = x^3 + 2x + 1$, calcule o valor numérico de $f^{-1}(4)$ sem a necessidade de determinar a expressão algébrica completa da função inversa.

Determine a expressão analítica da função inversa da função afim $f(x) = 3x - 5$.

Determine a função inversa da função racional $g(x) = \frac{4}{x+2}$.

O número de utilizadores de uma nova aplicação de mensagens cresce segundo o modelo $U(t) = 150 \cdot e^{0,2t}$, onde $t$ é medido em semanas e $U(t)$ em milhares de utilizadores. Determine a função inversa $t(U)$ e use-a para calcular quanto tempo exato deve decorrer para que a aplicação alcance $3000$ milhares de utilizadores (três milhões).

Verifique, utilizando a composição de funções, se $f(x) = \frac{x+1}{2}$ e $g(x) = 2x - 1$ são funções inversas. Deves verificar se $(f \circ g)(x) = x$ e se $(g \circ f)(x) = x$.

Determine o valor do parâmetro $k$ para que a função $f(x) = \frac{3x + 2}{x + k}$ seja a sua própria inversa, ou seja, para que se verifique a condição $f(f(x)) = x$ para qualquer valor do seu domínio.

Dado o gráfico da função exponencial $f(x) = 2^x$, desenhe no seu caderno os eixos coordenados, a reta bissetriz do primeiro quadrante ($y = x$) e esboce o gráfico da sua função inversa $f^{-1}(x)$. Identifique as coordenadas de pelo menos três pontos por onde $f^{-1}(x)$ passa.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Dada a função racional $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 3}$, determine a sua função inversa $f^{-1}(x)$. Em seguida, calcule o domínio de $f(x)$ e o domínio de $f^{-1}(x)$, e explique a relação que existe entre esses domínios e os contradomínios de ambas as funções.

Seja a função irracional $f(x) = \sqrt{x+6}$. Calcule a sua função inversa $f^{-1}(x)$ indicando claramente o seu domínio. Determine analiticamente os pontos de interseção entre os gráficos de $f(x)$ e $f^{-1}(x)$, sabendo que, por simetria, esses pontos devem encontrar-se sobre a reta $y = x$.

Numa estação meteorológica do IPMA situada ao nível do mar regista-se uma temperatura de $24\text{ }^\circ\text{C}$. Na região montanhosa adjacente, a temperatura desce linearmente à razão de $0,65\text{ }^\circ\text{C}$ por cada $100\text{ m}$ de altitude ($h$, expressa em centenas de metros), de acordo com o modelo $T(h) = 24 - 0,65h$.

1. a) Antes de realizar qualquer cálculo analítico, estima se para encontrar uma temperatura de $11\text{ }^\circ\text{C}$ será necessário subir a mais ou a menos de $1500\text{ m}$ de altitude ($h = 15$) e justifica brevemente o teu raciocínio qualitativo.
2. b) Isola a variável $h$ na equação para obter a função inversa $h(T)$, interpreta que grandeza calcula essa função e determina com ela a altitude exata (em metros) à qual a temperatura é de $11\text{ }^\circ\text{C}$.
3. c) Compara o valor obtido com a tua estimativa prévia e avalia se o resultado é coerente com o comportamento físico do modelo.

A relação que permite converter uma temperatura dada em graus Celsius ($C$) para graus Fahrenheit ($F$) é $F(C) = \frac{9}{5}C + 32$. Determine a função inversa $C(F)$ e use-a para calcular a quantos graus Celsius correspondem $68$ graus Fahrenheit.

O nível de intensidade sonora em decibéis (dB) percecionado pelo ouvido humano é calculado por meio da função $\beta(I) = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$, onde $I$ é a intensidade acústica em $\text{W/m}^2$ e $I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$ é a intensidade do limiar de audição. Encontra a função inversa $I(\beta)$ que determina a intensidade em função dos decibéis. Se o limiar da dor humana se situa em $120 \text{ dB}$, qual é a intensidade acústica correspondente?