Resolução de triângulos retângulos

Um triângulo retângulo tem catetos que medem $5$ cm e $12$ cm. Calcule o comprimento da hipotenusa e a amplitude, em graus, dos seus dois ângulos agudos.

Os pontos $A(0,0)$, $B(8,0)$ e $C(8,6)$ formam um triângulo retângulo no plano cartesiano. Calcule as razões trigonométricas (seno, cosseno e tangente) do ângulo situado no vértice $A$.

Um obelisco projeta uma sombra de $15$ m de comprimento no solo horizontal no momento em que os raios de sol formam um ângulo de $42^\circ$ com a horizontal. Calcule a altura do obelisco.

Uma criança solta um papagaio de papel que está preso por um fio de $45$ m de comprimento, o qual se mantém completamente esticado. Se o fio forma um ângulo de $55^\circ$ com o solo horizontal, a que altura se encontra o papagaio? (Assume que a criança segura o fio ao nível do solo).

Uma rampa reta de acesso para cadeiras de rodas tem um comprimento de $6$ m e vence um desnível vertical de $0,45$ m. Determine o ângulo de inclinação da rampa em relação à horizontal.

Para calcular a distância entre a base de um farol costeiro de $24\text{ m}$ de altura sobre o nível do mar e uma lancha fundeada, o Lucas mede um ângulo de depressão de $20^\circ$ a partir da lanterna do farol. No seu caderno escreve:

1. a) Sem usar a calculadora, explica mediante um raciocínio geométrico elementar (comparando mentalmente com a forma de um triângulo de $45^\circ$) por que razão um resultado de $8,74\text{ m}$ é, em todos os aspetos, absurdo para um ângulo de depressão de apenas $20^\circ$.
2. b) Identifica o erro concetual que o Lucas cometeu ao posicionar o ângulo de depressão em relação à vertical em vez da horizontal.
3. c) Corrige o raciocínio e calcula a distância horizontal real $x$ entre o farol e a lancha.

A partir da lanterna de um farol, situada a $45$ m acima do nível do mar, observam-se dois barcos que navegam alinhados com a base do farol. O ângulo de depressão segundo o qual se vê o barco mais próximo é de $34^\circ$, e o do barco mais afastado é de $18^\circ$. Calcule a distância exata que separa os dois barcos.

Duas chaminés industriais verticais de $20$ m e $35$ m de altura estão construídas sobre um terreno plano. A partir do ponto médio do segmento retilíneo que une as suas bases, observa-se o topo da primeira chaminé com um ângulo de elevação de $35^\circ$. Com que ângulo de elevação se observará o topo da segunda chaminé a partir desse mesmo ponto médio?

A partir de um ponto no solo, observa-se a nacela de um aerogerador com um ângulo de elevação de $32^\circ$. Ao avançar $25$ m em linha reta em direção à base da torre, o novo ângulo de elevação é de $50^\circ$. Monte um sistema de equações trigonométricas e calcule a altura do aerogerador.

Na cobertura plana de um edifício encontra-se instalada uma antena de telecomunicações. A partir de um ponto no solo, situado a $45$ m da base do edifício, um topógrafo observa a base da antena com um ângulo de elevação de $38^\circ$ e o topo da antena com um ângulo de elevação de $46^\circ$. Calcule a altura do edifício e o comprimento exato da antena.

Dois observadores, $A$ e $B$, encontram-se separados por uma distância de $300$ m numa planície horizontal. Ambos olham para um drone estático que se encontra exatamente no plano vertical que passa pela linha reta que os une, e situado espacialmente entre eles. O observador $A$ vê o drone com um ângulo de elevação de $60^\circ$ e o observador $B$ vê-o com um ângulo de $45^\circ$. Calcule a altura exata a que o drone voa, expressando o resultado com radicais.

Calcule a área e o perímetro de um hexágono regular que está inscrito numa circunferência de $12$ cm de raio. (Lembre-se de dividir o polígono em triângulos para usar a trigonometria).

Um sinal de trânsito adverte para uma inclinação prolongada de $15\%$. Isto indica que, por cada $100$ m percorridos na projeção horizontal, se sobem $15$ m na vertical. Calcule o ângulo de inclinação da estrada e a distância real que um veículo percorrerá sobre o asfalto se avançar $600$ m na projeção horizontal.

A partir de um ponto $P$ exterior a uma circunferência de raio $8$ cm, traçam-se as duas retas tangentes à mesma. Se a distância do ponto $P$ ao centro da circunferência é de $17$ cm, calcule a amplitude do ângulo formado entre as duas retas tangentes.

Num triângulo retângulo, o comprimento de um cateto é $x$ cm, o do outro cateto é $(x+7)$ cm e a hipotenusa mede $(x+14)$ cm. Formule e resolva a equação correspondente para determinar o valor de $x$. Em seguida, calcule o valor exato (na forma de fração irredutível) do seno e do cosseno do ângulo de menor amplitude do triângulo.