Exercícios: Razões trigonométricas da diferença de dois ângulos

Calcule o valor exato de $\cos(15^\circ)$ sem utilizar a calculadora, aplicando a fórmula do cosseno da diferença de dois ângulos e sabendo que $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$.

Determine o valor exato de $\sin(15^\circ)$ exprimindo o ângulo como a diferença $60^\circ - 45^\circ$ e aplicando a identidade correspondente.

Determine o valor exato de $\tan(15^\circ)$ a partir das tangentes dos ângulos notáveis $45^\circ$ e $30^\circ$. Racionalize o resultado, se necessário.

Simplifique a expressão $\sin(90^\circ - x)$ aplicando a fórmula do seno da diferença de dois ângulos e verifique que equivale a uma das razões trigonométricas básicas do ângulo $x$.

Sabendo que $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ e $\cos \beta = \frac{12}{13}$, e que tanto $\alpha$ quanto $\beta$ são ângulos do primeiro quadrante, calcule o valor exato de $\sin(\alpha - \beta)$.

Simplifique ao máximo a seguinte expressão trigonométrica: $\cos(x) \cos(y) + \sin(x) \sin(y)$. Em seguida, utilize o resultado simplificado para avaliar a expressão de forma exata quando $x = 75^\circ$ e $y = 15^\circ$.

Demonstre passo a passo que $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$ utilizando a fórmula do cosseno para a diferença de ângulos.

Calcule o valor exato de $\tan(105^\circ)$ utilizando a fórmula da diferença de ângulos, considerando que $105^\circ = 135^\circ - 30^\circ$.

O Marcos está a resolver um exercício no qual deve calcular o valor exato de $\cos(15^\circ)$ aplicando a fórmula do cosseno da diferença com $15^\circ = 60^\circ - 45^\circ$. No seu exame, escreve o seguinte desenvolvimento:

Ao verificar o seu resultado com a calculadora, observa com surpresa que obtém um número negativo (aproximadamente $-0,26$), o que sabe ser impossível porque $15^\circ$ pertence ao primeiro quadrante e o seu cosseno deve ser positivo.

1. a) Identifica com precisão o erro cometido pelo Marcos e explica, com base na paridade das funções trigonométricas ($\cos(-x) = \cos x$ e $\sin(-x) = -\sin x$), por que razão na fórmula do cosseno da diferença surge um sinal positivo central.
2. b) Corrige o cálculo e encontra o valor exato e simplificado de $\cos(15^\circ)$.

Propões-te calcular o valor exato de $\sin(15^\circ)$ mediante razões trigonométricas de ângulos notáveis.

1. a) Antes de realizar qualquer cálculo analítico, estima fundamentadamente entre que dois limites decimais simples deve encontrar-se $\sin(15^\circ)$: sabendo que $\sin(0^\circ) = 0$ e $\sin(30^\circ) = 0,5$, e tendo em conta que o gráfico da função seno no intervalo $[0^\circ, 30^\circ]$ é côncavo para baixo (fica acima da corda que une a origem ao ponto $(30^\circ; 0,5)$), fundamenta se $\sin(15^\circ)$ deve ser estritamente maior, menor ou igual a $0,25$.
2. b) Decompõe $15^\circ$ como $45^\circ - 30^\circ$ e aplica a fórmula de $\sin(\alpha - \beta)$ para obter a expressão algébrica exata e simplificada de $\sin(15^\circ)$.
3. c) Tomando as aproximações $\sqrt{2} \approx 1,414$ e $\sqrt{6} \approx 2,449$, calcula o valor decimal obtido com três casas decimais e verifica se a tua estimativa da alínea a) estava correta.

Numa simulação de navegação marítima, um navio deve ajustar o seu rumo atual. O ângulo de correção necessário é dado pela expressão $\alpha - \beta$. Sabendo que $\alpha$ e $\beta$ são ângulos agudos, com $\tan \alpha = 3$ e $\tan \beta = \frac{1}{2}$, calcule o valor exato de $\tan(\alpha - \beta)$ e deduza a amplitude do ângulo de correção.

Simplifique a seguinte expressão algébrica trigonométrica e exprima-a em função exclusivamente das tangentes dos ângulos $a$ e $b$:

$\frac{\sin(a - b)}{\cos a \cos b}$

Um raio de luz atravessa dois meios distintos com ângulos de refração $\alpha$ e $\beta$. Se pelas propriedades dos materiais sabemos que $\cos \alpha = \frac{3}{5}$ (sendo $\alpha$ um ângulo do quarto quadrante) e $\sin \beta = \frac{5}{13}$ (sendo $\beta$ um ângulo do segundo quadrante), determine o valor exato de $\cos(\alpha - \beta)$.

Avalie de forma exata, sem fazer uso da calculadora, a seguinte expressão trigonométrica identificando a qual desenvolvimento corresponde:

$\sin(75^\circ) \cos(15^\circ) - \cos(75^\circ) \sin(15^\circ)$

Duas forças coplanares são aplicadas sobre um objeto formando ângulos $\alpha$ e $\beta$ com a horizontal, respetivamente. Se $\sin \alpha = \frac{8}{17}$ e $\cos \beta = \frac{4}{5}$ (estando ambos os ângulos no primeiro quadrante), calcula o seno do ângulo que as duas forças formam entre si, ou seja, $\sin(\beta - \alpha)$.

Demonstre analiticamente que $\tan(45^\circ - x) = \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}$. Utilize este resultado para encontrar o valor exato de $\tan(15^\circ)$ sabendo que $\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Sabendo que dois ângulos $\alpha$ e $\beta$ são complementares ($\alpha + \beta = 90^\circ$), demonstre passo a passo que se verifica a identidade $\sin(\alpha - \beta) = \cos(2\beta)$.

Num estudo de mercado, os ciclos de vendas sazonais de dois produtos são modelados por meio de funções trigonométricas. A diferença de fase que determina a concorrência direta é dada pelo valor de $\cos(x - y)$. Se $\sin x = \frac{1}{3}$ e $\cos y = \frac{2}{5}$, com $x$ situado no primeiro quadrante e $y$ no quarto quadrante, determine o valor exato de $\cos(x - y)$.

Conhecem-se os seguintes dados de dois ângulos: $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ com $\alpha \in (90^\circ, 180^\circ)$, e $\cos \beta = -\frac{5}{13}$ com $\beta \in (180^\circ, 270^\circ)$. Pede-se para calcular o valor exato de $\sin(\alpha - \beta)$. Para o resolver, dois colegas propõem estratégias distintas:

• Método 1 (Direto): Calcular $\cos \alpha$ e $\sin \beta$ usando a identidade fundamental $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, escolhendo o sinal adequado consoante o quadrante de cada ângulo, e depois aplicar a fórmula de $\sin(\alpha - \beta)$.

• Método 2 (Indireto): Calcular $\tan \alpha$ e $\tan \beta$, aplicar a fórmula da diferença de tangentes para determinar $\tan(\alpha - \beta)$, e a partir desse valor deduzir $\sin(\alpha - \beta)$ através da relação $1 + \tan^2(\alpha - \beta) = \frac{1}{\cos^2(\alpha - \beta)}$.

1. a) Desenvolve por completo o Método 1 e obtém o valor exato e simplificado de $\sin(\alpha - \beta)$.
2. b) Analisa criticamente o Método 2: explica que ambiguidade fundamental surge ao tentar determinar o sinal de $\sin(\alpha - \beta)$ unicamente a partir da sua tangente e justifica por que razão o Método 1 é mais direto e seguro.

No Parque Nacional da Peneda-Gerês (Minho), uma equipa do Grupo de Intervenção de Proteção e Socorro (GIPS) planeia a evacuação de um caminhante numa parede vertical. A partir do ponto de observação no vale, a linha de visão até ao cimo da parede forma um ângulo $\alpha$ com a horizontal tal que $\tan \alpha = \frac{5}{2}$, enquanto a linha de visão até à base da parede forma um ângulo $\beta$ com a horizontal com $\tan \beta = \frac{3}{7}$ (ambos os ângulos no primeiro quadrante). O ângulo total que a parede subtende a partir do posto de observação é $\theta = \alpha - \beta$.

1. a) Modela a situação aplicando a fórmula da tangente da diferença para determinar o valor exato e irredutível de $\tan \theta = \tan(\alpha - \beta)$.
2. b) A partir do resultado obtido, deduz sem calculadora a medida exata do ângulo visual $\theta$ em graus sexagesimais.
3. c) O protocolo aeronáutico de resgate estabelece que, se o ângulo visual $\theta$ for superior a $40^\circ$, as turbulências térmicas da parede impedem uma aproximação frontal e o helicóptero deve entrar pelo flanco lateral. Justifica de forma fundamentada que manobra deve o piloto ordenar com base no teu cálculo.

Resolva a seguinte equação trigonométrica, determinando todas as soluções possíveis no intervalo $0^\circ \leq x < 360^\circ$:

$\sin(x - 30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Demonstre a seguinte identidade trigonométrica combinando adequadamente as fórmulas da soma e da diferença de ângulos para o seno e o cosseno:

$\frac{\cos(a - b) - \cos(a + b)}{\sin(a + b) + \sin(a - b)} = \tan b$

Um topógrafo observa uma escarpa de altura $H$ e, situado mesmo na borda sobre ela, um farol de altura $h$. A partir da sua posição, a uma distância horizontal $d$, o ângulo de elevação até à base do farol é $\beta$ e até à cúpula do farol é $\alpha$. Exprima a tangente do ângulo sob o qual se vê exclusivamente o farol, ou seja $\tan(\alpha - \beta)$, em função apenas das distâncias $H$, $h$ e $d$.

Resolva o seguinte sistema de equações trigonométricas sabendo que tanto $x$ como $y$ são ângulos pertencentes ao primeiro quadrante:

$\sin x \cos y = \frac{3}{4}$

$\cos x \sin y = \frac{1}{4}$

Sugestão: calcule em primeiro lugar o valor de $\sin(x - y)$ e $\sin(x + y)$ somando e subtraindo ambas as equações.

No projeto de um braço robótico, o ângulo de rotação da articulação final depende da diferença de dois ângulos de controlo internos $\alpha$ e $\beta$. Se a tangente do ângulo resultante é $\tan(\alpha - \beta) = \frac{1}{2}$ e por restrições mecânicas sabemos que $\tan \alpha = 3 \tan \beta$, determina os possíveis valores exatos de $\tan \beta$.

Demonstra analiticamente que $\sin(\alpha - \beta) \cdot \sin(\alpha + \beta) = \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta$. Em seguida, utiliza esse resultado algébrico para calcular mentalmente o valor exato da expressão $\sin(75^\circ) \cdot \sin(15^\circ)$.

Resolva a seguinte equação trigonométrica, determinando todas as soluções possíveis no intervalo $[0, 2\pi)$ radianos:

$\cos(x - 45^\circ) + \cos(x + 45^\circ) = 1$

Num circuito de corrente alternada, a diferença de potencial entre dois nós é dada pela sobreposição de dois sinais desfasados: $V(t) = 10 \sin(\omega t) - 10 \sin(\omega t - \frac{\pi}{3})$. Utiliza as fórmulas trigonométricas da diferença de ângulos para expressar a diferença de potencial $V(t)$ na forma simplificada $A \sin(\omega t + \phi)$, determinando os valores de $A$ e $\phi$.

No desenho de um sensor ótico num laboratório de física da Universidade de Coimbra, exige-se que dois feixes luminosos desfasados em ângulos agudos $\alpha$ e $\beta$ (com $\alpha, \beta \in (0^\circ, 90^\circ)$) cumpram a seguinte condição de sintonização:

1. a) Desenvolve ambos os membros aplicando respetivamente as fórmulas do cosseno da diferença e do seno da soma de dois ângulos.
2. b) Agrupa todos os termos no primeiro membro e fatoriza a expressão resultante através do agrupamento de termos para demonstrar que a igualdade anterior exige necessariamente que $\tan \alpha = 1$ ou que $\tan \beta = 1$. Que amplitudes angulares exatas em graus implica isto para $\alpha$ ou $\beta$?
3. c) Justifica por que razão este resultado era previsível recorrendo exclusivamente à propriedade das razões trigonométricas de ângulos complementares ($\cos x = \sin(90^\circ - x)$), sem necessidade de recorrer ao desenvolvimento algébrico da alínea a), e fornece um par concreto de ângulos agudos distintos $(\alpha, \beta)$ que satisfaçam a igualdade.

Numa sala de exposições do Museu Nacional de Arte Antiga (Lisboa), uma tela de $3\text{ m}$ de altura está pendurada verticalmente numa parede. A margem inferior do quadro encontra-se situada $2\text{ m}$ acima da altura dos olhos dos visitantes. Um observador coloca-se de pé a uma distância horizontal de $x$ metros da parede ($x > 0$). Define-se $\alpha$ como o ângulo de elevação desde os olhos do visitante até à margem superior do quadro, e $\beta$ como o ângulo de elevação até à margem inferior, de modo que o ângulo visual total sob o qual se contempla a tela é $\theta(x) = \alpha - \beta$.

1. a) Exprime $\tan \alpha$ e $\tan \beta$ em função da distância horizontal $x$.
2. b) Demonstra, aplicando a fórmula da tangente da diferença de dois ângulos, que a tangente do ângulo de visão é dada por:

1. c) Para maximizar a visualização dos detalhes da obra pictórica, procura-se a distância $x$ que torna máximo o ângulo $\theta(x)$ (e, consequentemente, $\tan \theta(x)$). Sabendo que $\frac{3x}{x^2+10} = \frac{3}{x + \frac{10}{x}}$ e que a expressão $x + \frac{10}{x}$ para $x > 0$ atinge o seu mínimo quando ambas as parcelas são iguais ($x = \frac{10}{x}$), calcula a distância exata em metros a que o visitante deve colocar-se para obter a melhor perspetiva e determina o valor exato de $\tan \theta$ nessa posição ótima.