Exercícios: Resolução de triângulos retângulos

Um triângulo retângulo tem catetos que medem $5$ cm e $12$ cm. Calcule o comprimento da hipotenusa e a amplitude, em graus, dos seus dois ângulos agudos.

Uma escada de $4$ m de comprimento está apoiada contra um muro vertical. Se a base da escada está a $1,2$ m da parede, determine o ângulo que a escada forma com o solo horizontal e a altura que a sua extremidade superior atinge no muro.

Um obelisco projeta uma sombra de $15$ m de comprimento no solo horizontal no momento em que os raios de sol formam um ângulo de $42^\circ$ com a horizontal. Calcule a altura do obelisco.

Uma criança solta um papagaio de papel que está preso por um fio de $45$ m de comprimento, o qual se mantém completamente esticado. Se o fio forma um ângulo de $55^\circ$ com o solo horizontal, a que altura se encontra o papagaio? (Assume que a criança segura o fio ao nível do solo).

Num ecrã de computador de formato retangular, a diagonal mede $60$ cm e forma um ângulo de $29^\circ$ com a base inferior do quadro. Calcule a largura e a altura do ecrã.

Uma rampa reta de acesso para cadeiras de rodas tem um comprimento de $6$ m e vence um desnível vertical de $0,45$ m. Determine o ângulo de inclinação da rampa em relação à horizontal.

Um triângulo isósceles tem dois lados iguais que medem $14$ cm cada um, e o ângulo desigual (o compreendido entre eles) mede $40^\circ$. Traçando a altura correspondente à base para o dividir em dois triângulos retângulos, calcule o comprimento dessa base.

Os pontos $A(0,0)$, $B(8,0)$ e $C(8,6)$ formam um triângulo retângulo no plano cartesiano. Calcule as razões trigonométricas (seno, cosseno e tangente) do ângulo situado no vértice $A$.

Para calcular a distância entre a base de um farol costeiro de $24\text{ m}$ de altura sobre o nível do mar e uma lancha fundeada, o Lucas mede um ângulo de depressão de $20^\circ$ a partir da lanterna do farol. No seu caderno escreve:

1. a) Sem usar a calculadora, explica mediante um raciocínio geométrico elementar (comparando mentalmente com a forma de um triângulo de $45^\circ$) por que razão um resultado de $8,74\text{ m}$ é, em todos os aspetos, absurdo para um ângulo de depressão de apenas $20^\circ$.
2. b) Identifica o erro concetual que o Lucas cometeu ao posicionar o ângulo de depressão em relação à vertical em vez da horizontal.
3. c) Corrige o raciocínio e calcula a distância horizontal real $x$ entre o farol e a lancha.

Na remodelação de um centro de saúde no Alentejo, projeta-se construir uma rampa retilínea de acesso para vencer um desnível vertical de $1,2\text{ m}$. Por limitações de espaço urbano no passeio, o desenvolvimento horizontal máximo disponível é de exatamente $10\text{ m}$.

1. a) Antes de calcular: raciocina se o ângulo de inclinação da rampa será maior ou menor do que $10^\circ$. Para o fundamentar, considera que ângulo de inclinação corresponderia a uma inclinação de $100\,\%$ (catetos iguais) e como varia a função tangente para ângulos agudos pequenos.
2. b) Calcula a medida exata do ângulo de inclinação $\alpha$ da rampa com a horizontal e o comprimento que um utilizador percorrerá sobre ela em linha reta.
3. c) A regulamentação portuguesa de acessibilidade estabelece uma inclinação máxima geral de $8\,\%$ para rampas e, neste projeto, adota-se como condicionante de projeto mais restritiva uma inclinação não superior a $6\,\%$ (isto é, $\tan(\alpha) \le 0,06$). Verifica se a rampa desenhada cumpre ambos os limites e indica se a tua estimativa inicial da alínea a) era coerente.

A partir de um ponto no solo, observa-se a nacela de um aerogerador com um ângulo de elevação de $32^\circ$. Ao avançar $25$ m em linha reta em direção à base da torre, o novo ângulo de elevação é de $50^\circ$. Monte um sistema de equações trigonométricas e calcule a altura do aerogerador.

Calcule a área e o perímetro de um hexágono regular que está inscrito numa circunferência de $12$ cm de raio. (Lembre-se de dividir o polígono em triângulos para usar a trigonometria).

A partir da lanterna de um farol, situada a $45$ m acima do nível do mar, observam-se dois barcos que navegam alinhados com a base do farol. O ângulo de depressão segundo o qual se vê o barco mais próximo é de $34^\circ$, e o do barco mais afastado é de $18^\circ$. Calcule a distância exata que separa os dois barcos.

As diagonais de um losango medem $24$ cm e $10$ cm. Sabendo que as diagonais de um losango se intersetam perpendicularmente no seu ponto médio, calcule a medida dos lados do losango e a amplitude dos seus quatro ângulos internos.

Um sinal de trânsito adverte para uma inclinação prolongada de $15\%$. Isto indica que, por cada $100$ m percorridos na projeção horizontal, se sobem $15$ m na vertical. Calcule o ângulo de inclinação da estrada e a distância real que um veículo percorrerá sobre o asfalto se avançar $600$ m na projeção horizontal.

Duas chaminés industriais verticais de $20$ m e $35$ m de altura estão construídas sobre um terreno plano. A partir do ponto médio do segmento retilíneo que une as suas bases, observa-se o topo da primeira chaminé com um ângulo de elevação de $35^\circ$. Com que ângulo de elevação se observará o topo da segunda chaminé a partir desse mesmo ponto médio?

A partir de um ponto $P$ exterior a uma circunferência de raio $8$ cm, traçam-se as duas retas tangentes à mesma. Se a distância do ponto $P$ ao centro da circunferência é de $17$ cm, calcule a amplitude do ângulo formado entre as duas retas tangentes.

Um painel solar retangular de $2,5$ m de comprimento está inclinado $35^\circ$ em relação à horizontal de uma cobertura plana. Calcule o comprimento da sombra projetada pelo painel sobre a cobertura quando os raios solares incidem de forma completamente perpendicular ao plano da cobertura.

Num troço do desfiladeiro de montanha de Pajares (Astúrias), um sinal de trânsito da DGT adverte para uma inclinação perigosa de «$12\,\%$», o que indica um desnível vertical de $12\text{ m}$ por cada $100\text{ m}$ de avanço em projeção horizontal. O conta-quilómetros de um veículo indica que percorreu $2,5\text{ km}$ ao longo do asfalto em subida contínua por esse troço.

1. a) Modela a situação através de um triângulo retângulo, identificando com precisão a que elemento geométrico (cateto ou hipotenusa) corresponde a distância registada pelo veículo, e determina o ângulo de inclinação $\alpha$ da estrada em graus sexagesimais.
2. b) Calcula a altitude ganha pelo veículo, em metros, e a distância horizontal real percorrida.
3. c) Um condutor calcula mentalmente o desnível multiplicando diretamente a distância do asfalto pela percentagem: $2500 \cdot 0,12 = 300\text{ m}$. Explica matematicamente que confusão conceptual entre razões trigonométricas cometeu, calcula o erro, em metros, da sua aproximação e explica por que razão, para inclinações habituais em estradas, essa diferença se torna tão pequena.

Ao resolver um problema de topografia para determinar a altura $h$ da torre da Sé de Viseu medindo ângulos a partir de dois pontos alinhados com a sua base em terreno plano, um aluno anotou no quadro apenas a equação final a que chegou após formular um sistema e eliminar a incógnita da distância horizontal:

1. a) Reconstrói o enunciado completo do problema original: descreve a posição relativa dos dois pontos de observação em relação à torre, especifica a que distância se encontram entre si e esclarece o significado topográfico dos ângulos $28^\circ$ e $44^\circ$.
2. b) Justifica geometricamente por que razão no parêntese surge uma subtração de razões e não uma soma: onde deveriam ter-se situado os dois observadores para que os termos se somassem em vez de se subtraírem?
3. c) Resolve a equação e determina a altura $h$ da torre com duas casas decimais.

Na cobertura plana de um edifício encontra-se instalada uma antena de telecomunicações. A partir de um ponto no solo, situado a $45$ m da base do edifício, um topógrafo observa a base da antena com um ângulo de elevação de $38^\circ$ e o topo da antena com um ângulo de elevação de $46^\circ$. Calcule a altura do edifício e o comprimento exato da antena.

Num triângulo retângulo, o comprimento de um cateto é $x$ cm, o do outro cateto é $(x+7)$ cm e a hipotenusa mede $(x+14)$ cm. Formule e resolva a equação correspondente para determinar o valor de $x$. Em seguida, calcule o valor exato (na forma de fração irredutível) do seno e do cosseno do ângulo de menor amplitude do triângulo.

Dois observadores, $A$ e $B$, encontram-se separados por uma distância de $300$ m numa planície horizontal. Ambos olham para um drone estático que se encontra exatamente no plano vertical que passa pela linha reta que os une, e situado espacialmente entre eles. O observador $A$ vê o drone com um ângulo de elevação de $60^\circ$ e o observador $B$ vê-o com um ângulo de $45^\circ$. Calcule a altura exata a que o drone voa, expressando o resultado com radicais.

Duas circunferências secantes têm raios de $10$ cm e $17$ cm. O comprimento da corda comum a ambas as circunferências é de $16$ cm e os centros situam-se em lados opostos dessa corda. Calcule a distância entre os centros das duas circunferências e determine o ângulo formado entre as respetivas retas tangentes num dos pontos de interseção.

Pretende-se construir uma rampa reta para vencer um desnível vertical de altura $h$. Se o ângulo de inclinação da rampa em relação à horizontal é $\alpha$, demonstre, utilizando as definições das razões trigonométricas, que a soma do comprimento da base da rampa (a sua projeção horizontal) com o comprimento da própria rampa é igual a $h \cdot \frac{1 + \cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$.

Um guarda-costas deteta que um navio $A$ navega em linha reta para Leste a uma velocidade constante de $20$ nós, e um navio $B$ navega para Norte a $15$ nós. Num determinado instante ($t=0$), ambos os navios encontram-se exatamente no mesmo ponto, onde as suas trajetórias se cruzam. Sob que ângulo em relação à direção Norte observará o capitão do navio $A$ o navio $B$ exatamente $2$ horas após se cruzarem?

Num triângulo isósceles cuja base mede $12$ cm e cuja altura relativa a essa base é de $18$ cm, inscreve-se um retângulo de modo que um dos seus lados se apoia na base do triângulo e os outros dois vértices tocam os lados iguais. Se as diagonais desse retângulo se cortam formando um ângulo de $60^\circ$ (sendo este o ângulo que abrange a base do retângulo), formule o sistema trigonométrico e geométrico necessário para calcular as dimensões exatas desse retângulo.

Um poste vertical projeta uma sombra num terreno plano. Num momento da manhã, quando a elevação do sol é de $\alpha = 30^\circ$, a sombra mede $L$ metros. Duas horas mais tarde, quando a elevação do sol aumentou para $\beta = 45^\circ$, verifica-se que a sombra diminuiu exatamente $10$ metros. Formule um sistema de equações e calcule a altura exata do poste expressa com radicais.

Sobre uma falésia vertical sobre o mar ergue-se uma torre de vigia de $18\text{ m}$ de altura. A partir de uma lancha de patrulha costeira parada na água, medem-se os ângulos de elevação até à base da torre ($\alpha = 24^\circ$) e até ao seu topo ($\beta = 31^\circ$). Pretende-se calcular a altura $H$ da falésia sobre o nível do mar.

Dois oficiais propõem métodos trigonométricos distintos:

• Método 1 (Ângulos com a horizontal): Utilizar a distância horizontal desconhecida $d$ até à falésia através de $\tan(24^\circ) = \frac{H}{d}$ e $\tan(31^\circ) = \frac{H+18}{d}$, isolando $d$ na primeira e substituindo na segunda.

• Método 2 (Ângulos com a vertical / zenitais): Trabalhar com os ângulos que as linhas de visão formam em relação à vertical da falésia ($\theta_1 = 90^\circ - 24^\circ = 66^\circ$ e $\theta_2 = 90^\circ - 31^\circ = 59^\circ$), expressando $d = H \cdot \tan(66^\circ)$ e $d = (H+18) \cdot \tan(59^\circ)$, e igualando ambas as expressões.

1. a) Resolve o problema aplicando ambos os métodos de forma completa até encontrares $H$.
2. b) Analisa algebricamente ambos os caminhos: qual dos dois requer isolar uma incógnita situada no denominador e qual conduz a uma equação linear direta em $H$ sem frações algébricas?
3. c) Se num caderno de campo se arredondarem os valores das tangentes a apenas duas casas decimais nos passos intermédios, demonstra numericamente qual dos dois métodos propaga um maior erro no resultado final e justifica qual escolherias para programar o software de navegação da embarcação.

Uma equipa técnica projeta um parque solar fotovoltaico sobre a cobertura horizontal plana de um centro logístico em Évora. Cada fila de painéis mede $2,4\text{ m}$ de comprimento sobre o seu plano inclinado e é montada virada a sul com um ângulo de elevação fixo de $36^\circ$ em relação à cobertura.

1. a) Modela a secção transversal de uma fila através de um triângulo retângulo e calcula a altura vertical $h$ da sua extremidade superior e o comprimento da sua base horizontal projetada $b$.
2. b) No solstício de inverno às 12:00 (hora solar), os raios de sol atingem nessa latitude a sua inclinação mínima do ano, com um ângulo de elevação solar de apenas $\gamma = 25^\circ$ sobre o horizonte. Modela o triângulo retângulo que descreve a sombra projetada pela fila e deduz a distância horizontal mínima $D$ que deve existir entre a parte posterior de uma fila e o início da seguinte para evitar qualquer sombreamento sobre os painéis.
3. c) Se a cobertura mede exatamente $45\text{ m}$ de profundidade na direção norte-sul, determina o número máximo de filas completas que podem ser instaladas garantindo a ausência total de sombras no solstício de inverno e indica quantos metros de profundidade da cobertura ficam por aproveitar no final.