Exercícios: Resolução de triângulos obliquângulos

Num triângulo $ABC$, são conhecidos os lados $a = 5$ cm e $b = 8$ cm, e o ângulo compreendido entre eles $C = 60^\circ$. Calcule o comprimento do lado $c$.

Os três lados de um triângulo medem $a = 3$ m, $b = 5$ m e $c = 7$ m. Determine a amplitude do ângulo de maior amplitude desse triângulo.

Num triângulo $ABC$, os ângulos $A$ e $B$ medem $30^\circ$ e $105^\circ$, respetivamente. Se o lado oposto ao ângulo $A$ tem um comprimento de $a = 8$ cm, determine o comprimento do lado $c$ (oposto ao ângulo $C$).

Num triângulo são conhecidos os seguintes dados: $a = 12$ m, $b = 8$ m e o ângulo $A = 120^\circ$. Calcule a medida do ângulo $B$.

Determine a área de um triângulo $ABC$ do qual são conhecidos os lados $b = 14$ cm, $c = 20$ cm e o ângulo que eles formam, $A = 60^\circ$.

Os lados adjacentes de um paralelogramo medem $6$ cm e $10$ cm, e formam um ângulo obtuso de $120^\circ$. Calcule o comprimento da diagonal maior do paralelogramo.

Num triângulo isósceles, o lado desigual (a base) mede $12$ m e os ângulos iguais medem $75^\circ$ cada um. Determine o comprimento dos lados iguais utilizando o teorema dos senos.

Num triângulo $ABC$, o lado $a$ mede $10$ cm e o ângulo oposto $A$ mede $45^\circ$. Calcule o raio $R$ da circunferência circunscrita a esse triângulo.

O Marcos tem de calcular o comprimento do lado $a$ de um triângulo do qual conhece $b = 5\text{ cm}$, $c = 8\text{ cm}$ e o ângulo compreendido $A = 120^\circ$. No seu caderno escreve a seguinte resolução:

1) Aponta o erro de cálculo que o Marcos cometeu ao operar com os sinais.

2) Sem necessidade de refazer as contas ainda, fundamenta por que motivo um resultado de $a = 7\text{ cm}$ é geometricamente impossível neste triângulo (relaciona a amplitude do ângulo $A$ com as medidas relativas dos lados).

3) Corrige o procedimento e calcula o valor correto do lado $a$ arredondado a duas casas decimais.

Num triângulo conhecemos os lados $a = 6\text{ cm}$ e $b = 6\text{ cm}$, e o ângulo compreendido entre eles $C = 62^\circ$.

1) Estima: antes de realizar qualquer cálculo numérico com fórmulas, fundamenta se o terceiro lado $c$ será ligeiramente maior, menor ou igual a $6\text{ cm}$. Para o justificar, imagina como seria a figura se o ângulo fosse exatamente de $60^\circ$ (triângulo equilátero) e analisa o que acontece ao abrir o ângulo mais dois graus.

2) Verifica: calcula com exatidão o comprimento do lado $c$ mediante o teorema de Carnot, ou seja, a lei dos cossenos (arredonda às centésimas).

3) Avalia se o resultado obtido confirma a tua estimativa qualitativa e calcula o erro absoluto que terias cometido se tivesses aproximado diretamente $c \approx 6\text{ cm}$.

Dois navios partem simultaneamente de um porto com rotas retilíneas que formam entre si um ângulo de $75^\circ$. O primeiro navio navega a uma velocidade constante de $15$ nós e o segundo a $20$ nós. Calcule a distância em milhas náuticas que separará ambos os navios após $2$ horas de navegação.

Para medir a altura $h$ de um aerogerador, posiciona-se num ponto $A$ no solo e mede-se o ângulo de elevação até ao ponto mais alto, obtendo-se $40^\circ$. Avança-se $30$ metros em linha reta em direção à base do aerogerador até chegar a um ponto $B$, de onde o novo ângulo de elevação é de $55^\circ$. Calcule a altura do aerogerador.

No projeto de um braço robótico articulado, o primeiro elo mede $40$ cm e o segundo mede $35$ cm. Se o ângulo que o primeiro elo forma com a base horizontal é de $50^\circ$ e a extremidade do segundo elo toca exatamente a base horizontal, calcule as duas possíveis distâncias da origem do braço até ao ponto de contacto na base.

Um terreno agrícola tem a forma de um quadrilátero $ABCD$. As medidas dos seus lados são $AB = 50$ m, $BC = 40$ m, $CD = 30$ m e $DA = 60$ m. Sabendo que o ângulo no vértice $B$ é de $70^\circ$, calcule a área total do terreno dividindo-o em dois triângulos.

Dois rebocadores puxam uma barcaça por meio de dois cabos que formam entre si um ângulo de $45^\circ$. Se as tensões exercidas pelos cabos são de $4500$ N e $6000$ N, determine o módulo da força resultante e o ângulo que essa resultante forma com o cabo que exerce a força de $6000$ N.

Um drone de vigilância encontra-se num ponto $C$ a observar um troço reto de estrada delimitado por duas cidades $A$ e $B$ que distam $5$ km entre si. Os ângulos de depressão do drone para as cidades são tais que, no triângulo formado, o ângulo em $A$ é de $35^\circ$ e o ângulo em $B$ é de $62^\circ$. Calcule a altitude a que o drone voa em relação à estrada.

Um heptágono regular (polígono de $7$ lados iguais) está inscrito numa circunferência de $10$ cm de raio. Utilizando o teorema dos cossenos e/ou dos senos nos triângulos centrais, calcule o perímetro e a área desse heptágono.

Um painel solar de $2$ metros de comprimento vai ser instalado sobre um telhado plano que tem uma inclinação de $15^\circ$ em relação à horizontal. Para maximizar o seu rendimento, o painel deve formar um ângulo de $35^\circ$ em relação à horizontal. Calcule o comprimento $x$ do suporte vertical que deve ser colocado na extremidade superior do painel para o unir ao telhado.

De um triângulo conhecem-se os seus três lados: $a = 4\text{ cm}$, $b = 7\text{ cm}$ e $c = 10\text{ cm}$. Para o resolver completamente é necessário determinar os seus três ângulos. Dois colegas propõem caminhos distintos para calcular o segundo ângulo após terem obtido o primeiro:

• Inês: «Calculo primeiro o ângulo menor, $A$, com o teorema de Carnot. Depois, para fazer contas mais rápidas e simples, calculo o ângulo maior, $C$, usando a lei dos senos ($\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$), e finalmente $B = 180^\circ - A - C$».

• Rodrigo: «É perigoso calcular $C$ com a lei dos senos. É muito mais seguro calcular diretamente $C$ com o teorema de Carnot, ou então usar a lei dos senos para calcular $B$, mas nunca para $C$».

1) Justifica matematicamente a objeção do Rodrigo: que limitação tem a função $\arcsin$ na calculadora ao procurar ângulos que poderiam ser obtusos?

2) Verifica a falha do método da Inês: calcula o ângulo $A$ com o teorema de Carnot e mostra que valor errado para $C$ forneceria a lei dos senos se aplicada diretamente.

3) Aplica o caminho seguro proposto pelo Rodrigo para calcular com precisão os três ângulos do triângulo.

Durante a campanha de prevenção de incêndios da Proteção Civil (dispositivo de combate a incêndios florestais), duas torres de vigilância florestal, Torre Almadén ($A$) e Torre Yelmo ($B$), situadas a uma distância de $12\text{ km}$ em linha reta, detetam uma coluna de fumo num ponto $C$. Os observadores tomam referências relativamente ao segmento retilíneo $AB$: a partir da torre $A$ observa-se o fumo sob um ângulo de $48^\circ$, e a partir da torre $B$, sob um ângulo de $74^\circ$ (ambas as visadas dirigidas para o mesmo lado da linha $AB$).

1) Modela geometricamente a situação e calcula a distância em linha reta desde cada uma das duas torres até ao foco do incêndio $C$.

2) Para atuar no terreno avaliam-se duas opções:

• Um helicóptero bombardeiro com base na torre $A$, que descola de imediato e voa em linha reta em direção ao fogo a uma velocidade constante de $190\text{ km/h}$.

• Um veículo de combate a incêndios florestais todo-o-terreno com base na torre $B$, que avança a uma média de $45\text{ km/h}$ por caminhos florestais, percorrendo um trajeto real que se estima $25\,\%$ superior à distância em linha reta.

Calcula o tempo de deslocação (em minutos e segundos) de cada meio e determina fundamentadamente qual chegará primeiro ao foco do incêndio.

Os lados de um triângulo são dados pelas expressões $x$, $x+2$ e $x+4$ centímetros. Sabendo que o ângulo de maior amplitude do triângulo mede $120^\circ$, formula a equação correspondente, encontra o valor exato de $x$ e calcula o perímetro do triângulo.

Num triângulo $ABC$, sabe-se que o lado $a = 10$ cm, o ângulo $B = 30^\circ$ e que a área total do triângulo é de $20\sqrt{3}$ cm$^2$. Formule um sistema para encontrar o valor exato dos lados $b$ e $c$, e determine a amplitude dos ângulos $A$ e $C$.

Demonstre geometricamente ou mediante o uso dos teoremas trigonométricos (do Seno e do Cosseno) que em qualquer triângulo $ABC$ é válida a relação de projeções: $a = b \cos C + c \cos B$. Em seguida, utilize esta identidade juntamente com o teorema dos senos para demonstrar a fórmula do seno da soma de dois ângulos: $\sin(B+C) = \sin B \cos C + \cos B \sin C$.

Os ponteiros de um relógio de parede medem $12$ cm (o ponteiro dos minutos) e $8$ cm (o ponteiro das horas). Calcule a distância exata em centímetros entre as pontas de ambos os ponteiros quando o relógio marca exatamente 10:10. Considere o deslocamento proporcional do ponteiro das horas.

Dois aviões voam à mesma altitude. O avião 1 encontra-se no ponto $A$ e voa para o Norte a uma velocidade constante de $800$ km/h. O avião 2 encontra-se no ponto $B$, situado a exatamente $200$ km a Nordeste ($45^\circ$ em relação ao Norte) do ponto $A$. Se o avião 2 voa para Oeste a uma velocidade constante $v$ e ambos colidem num ponto $C$, determine o valor da velocidade $v$ e o tempo que demoram a colidir.

Num triângulo $ABC$ de lados $a=13$ cm, $b=14$ cm e $c=15$ cm, traçam-se a circunferência circunscrita de raio $R$ e a circunferência inscrita de raio $r$. Calcule a área do triângulo utilizando a fórmula de Heron e, a partir dela, obtenha os valores exatos de $R$ e $r$.

Dado o triângulo $ABC$ com lados $a = 7$ cm, $b = 5$ cm e $c = 8$ cm. Traça-se a bissetriz interna do ângulo $C$, que corta o lado $AB$ no ponto $D$. Aplicando a lei dos cossenos para encontrar o ângulo $C$ e utilizando as propriedades das áreas ou a lei dos senos, calcule o comprimento exato do segmento bissetriz $CD$ (denotado como $x$).

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Uma pirâmide regular de base quadrada tem um lado da base de $100$ m. Sabendo que o ângulo diedro formado por duas faces triangulares adjacentes é de $105^\circ$, formule a geometria da secção transversal adequada e calcule a altura total da pirâmide.

Um perito topógrafo necessita de reconstruir as medidas originais de uma parcela triangular $ABC$ a partir de um relatório antigo incompleto que apenas recolhe três dados exatos:

• A área da parcela é de $80\text{ m}^2$.

• O limite $b$ mede exatamente o dobro do limite $a$ ($b = 2a$).

• O ângulo compreendido $C$ cumpre que $\cos C = 0,6$.

1) A partir da fórmula fundamental da trigonometria e da fórmula da área de um triângulo em função de dois lados e do ângulo compreendido, formula uma equação e deduz os comprimentos exatos dos lados $a$ e $b$.

2) Calcula o comprimento do terceiro lado $c$ aplicando o teorema de Carnot (lei dos cossenos).

3) Problema inverso: fundamenta por que motivo existe outra parcela não congruente com a anterior que tem exatamente a mesma área ($80\text{ m}^2$) e os mesmos comprimentos $a$ e $b$, mas uma forma distinta. Determina o valor do seu novo ângulo compreendido $C'$, calcula o comprimento que teria o lado $c$ nesta segunda configuração e determina qual das duas parcelas exigiria menos metros de vedação para o seu encerramento perimetral.

A Elena resolve na aula de Matemática um exercício de delimitação de um terreno triangular $ABC$ do qual se conhecem $a = 14\text{ m}$, $b = 20\text{ m}$ e o ângulo $A = 35^\circ$. Apresenta no quadro o seguinte desenvolvimento:

«Aplico o teorema dos senos:

Como os três ângulos somam $180^\circ$, temos $C = 180^\circ - 35^\circ - 55^\circ = 90^\circ$. Como o triângulo acaba por ser retângulo em $C$, calculo o lado restante $c$ usando o teorema de Pitágoras: $c = \sqrt{20^2 - 14^2} = \sqrt{204} \approx 14,28\text{ m}$».

1) Localiza e explica detalhadamente os dois erros conceptuais cometidos pela Elena:

a) Porque é que a sua dedução para o ângulo $B$ é incompleta e omite uma solução geométrica válida?

b) Mesmo no caso de o ângulo $C$ ser de $90^\circ$, porque é que a aplicação que faz do teorema de Pitágoras é falsa?

2) Resolve o problema com total rigor: determina os dois possíveis triângulos que cumprem os dados iniciais, indicando para cada um deles os valores dos ângulos $B$ e $C$ e o comprimento do lado $c$.

3) Se vedar o perímetro do terreno custa $45\text{ \euro/m}$, calcula a diferença económica que representaria optar por uma configuração ou por outra.

Desafio do tema. Redesenha a rede de vigilância ambiental do teu município utilizando o visualizador oficial da Direção-Geral do Território (DGT).

1. Recolha de dados e contagem: Seleciona 4 pontos elevados do teu ambiente. Aplica técnicas de contagem ($C_{4,3}$) para calcular quantos triângulos de cobertura distintos poderias formar. Escolhe um deles, anota as suas coordenadas ou distâncias e expressa os seus ângulos tanto em graus sexagesimais como em radianos.

2. Resolução de triângulos oblíquos: Determina todos os lados e ângulos desconhecidos do referido triângulo aplicando com precisão a lei dos senos e a lei dos cossenos no GeoGebra ou numa folha de cálculo.

3. Cálculo de alturas e razões compostas: Para instalar uma antena sobre um dos vértices, propõe o seu cálculo através da resolução de triângulos retângulos com visadas escalonadas (por exemplo, a distâncias $d$ e $2d$, ou com ângulos $\alpha$ e $2\alpha$). Utiliza as fórmulas do ângulo duplo ou da diferença de ângulos para isolar a altura da torre sem a medir diretamente.

4. Proposta fundamentada: Elabora um relatório técnico breve com a captura do mapa, o desenvolvimento analítico das razões trigonométricas empregadas e as conclusões de cobertura.

Será valorizado:

• Rigor na conversão de graus para radianos e no uso de identidades (soma/diferença ou ângulo duplo).

• Resolução algébrica e geométrica correta de triângulos retângulos e oblíquos através da lei dos senos e da lei dos cossenos.

• Aplicação adequada da contagem combinatória e precisão com os dados cartográficos reais.